文档内容
2024 年高二上学期数学月考试卷
一、单选题（每题5分，共40分）
1. 已知向量 ，且 ，则实数 的值等于（ ）
A. B. C. D. 或
2. 下列表达式化简结果与 相等的是（ ）
A. B.
C. D.
3. 空间内有三点 ，则点P到直线EF的距离为（ ）
A B. C. D.
4. 已知P（1，2）点为圆（x+1） 2 +y 2 =9的弦AB的中点，则直线AB的方程为
A. x–y–3=0 B. x+y+3=0
C. x+y–3=0 D. x–y+3=0
5. 某学校高二年级拟举办艺术节，要求各班级从《黄河大合唱》，《我和我的祖国》，《北京欢迎你》，
《我爱你中国》和《我们走在大路上》这五首指定曲目中任选一首作为表演节目，则高二（1）班与高二
（2）班抽到不同曲目的概率为（ ）
A. B. C. D.
6. 如图，已知双曲线 的左右焦点分别为 ，过 的
直线 与圆 相切，与双曲线在第四象限交于一点 ，且有
轴，则离心率为（ ）
A. 3 B. C. D. 2
7. 设 ，两直线 与 垂直，则 的最大值为（
）
A B. C. 1 D. 2
8. 若等比数列 满足 ，则 （ ）A. B. 1012 C. D. 1013
9. 将一张画有平面直角坐标系的图纸折叠一次，使得点A(0，2)与点B(4，0)重合，若此时点C(7，3)与点
D(m，n)也重合，则m+n的值为（ ）
A. B. C. D.
二、多选题（每题5分，共20分）
10. 已知直线 和直线 ，下列说法正确的是（ ）
A. 始终过定点
B. 若 ，则 或
C. 若 ，则 或2
D. 当 时， 始终不过第三象限
11. 已知等差数列 的前 项和为 ，且 ，则（ ）
A. 等差数列 为单调递增数列
B. 数列 是递增数列
C. 有最小值
D. 存在正整数 ，当 时，总有
12. 已知椭圆 的左，右焦点分别为 ，点 为椭圆 上一点，则（
）
A. 若 ，则 的面积为
B. 存在点 ，使得
C. 的周长为
D. 使得 为等腰三角形的点 共有4个
三、填空题（每题5分，共20分）
13. 倾斜角为 ，在 轴上截距为 的直线方程为__________．
14. 写出与圆 和圆 都相切的一条直线方程________.
15. 阿波罗尼斯圆（ApolloniusCircle）是指在平面上，给定两点A､B以及一个常数 ，所有满
足 （ 为动点）的点 的轨迹.这个轨迹是一个圆，最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，因此得名.现已知定点 点 是圆 上的动点，则
的最小值为__________.
16. 直线 斜率为 ，若 ，则直线的倾斜角的范围是__.
四、解答题（共70分）
17. 在四棱锥P﹣ABCD中，底面四边形ABCD是一个菱形，且 ABC ，AB＝2，PA 平面ABCD．
∠ ⊥
（1）若Q是线段PC上的任意一点，证明：平面PAC 平面QBD．
⊥
（2）当平面PBC与平面PDC所成的锐二面角的余弦值为 时，求PA的长．
18. 已知数列 是首项为2的等比数列，各项均为正数，且 .
（1）求数列 的通项公式；
（2）设 为数列 的前 项和.若 对任意的
恒成立，求实数 的取值范围.
19. 在高一学生预选科之前，为了帮助他们更好地了解自己是否适合选读物理，我校从高一年级中随机抽
取了100名学生的物理成绩，整理得到如图所示的频率分布直方图．
（1）求a的值．若根据这次成绩，学校建议 的学生选报物理， 的学生选报历史，某同
学想选报物理，请同他的物理成绩应不低于多少分较为合适?（小数点后保留一位）
（2）这100名学生中，成绩位于 内的学生成绩方差为12，成绩位于 内的同学
成绩方差为10．请估计该年级成绩在80分及以上的学生成绩的方差．（3）现学校要选拔学生参加物理竞赛，需要再进行考试．考试分为两轮，第一轮需要考2个模块，每个
模块成绩从高到低依次有A+，A，B，C，D五个等级，若两个模块成绩均为A+，则直接参加；若一个模
块成绩为A+，另一个模块成绩不低于B，则要参加第二轮实验操作，实验操作通过也能参加，否则均不
能参加．现有甲、乙二人报名参加，二人互不影响，甲在每个模块考试中取得A+，A，B，C，D的概率
分别为 ；乙在每个模块考试中取得A+，A，B，C，D的概率分别为
；甲、乙在实验操作中通过的概率分别为 ．求甲、乙能同时参加物理竞赛
的概率．
20 已知
（1）求与 方向相同的单位向量 ；
（2）若 与单位向量 垂直，求 ， .
21. 已知抛物线 的焦点为 上的动点 到点 的距离与到其准线
的距离之和的最小值为2.
（1）求抛物线 的方程；
（2）已知点 是抛物线 上不同 三点.
（i）若直线 过点 ，且交准线 于点 ，求
的值；
（ii）若直线 的斜率分别为 ，且 ，求直线 的斜率 的取值
范围.
22. 已知双曲线 的离心率 分别为其两条渐近线上的点，若
满足 的点 在双曲线上，且 的面积为8，其中 为坐标原点.
（1）求双曲线 的方程；
（2）过双曲线 的右焦点 的动直线与双曲线相交于 两点，在 轴上是否存在定
点 ，使得 为常数?若存在，求出点 的坐标；若不存在，请说明理由.
