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公众号：云儿和花
湖南师大附中 2024—2025 学年意高二第一学期第一次大徐习
数学
时量：120分钟 满分：150分
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的．
1. 已知 ，则 （ ）
A. B. C. D.
2. 设集合 ，则 （ ）
A. B. C. D.
3. 若圆锥的轴截面是面积为 的等边三角形，则该圆锥的表面积为（ ）
A. B. C. D.
4. 若角 满足 ，则 （ ）
A. B. C. D.
5. 已知平面上三个单位向量 满足 ，则 （ ）
A. B. C. D.
6. 若函数 在定义域 上 的值域为 ，则称 为“ 函数”．已知函数
是“ 函数”，则实数 的取值范围是（ ）公众号：云儿和花
A. B. C. D.
7. 已知 两点的坐标分别为 ，两条直线 和
的交点为 ，则 的最大值为（ ）
A. B. C. 1 D. 2
8. 已知点P在椭圆τ： (a>b>0)上，点P在第一象限，点P关于原点O的对称点为A，点P关
于x轴的对称点为Q，设 直线AD与椭圆τ的另一个交点为B，若PA⊥PB，则椭圆τ的离心率
e=（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 若圆 上至多存在一点，使得该点到直线 的距离为2，
则实数 可能为（ ）
.
A 5 B. 6 C. 7 D. 8
10. 已知函数 的定义域为 为偶函数， 为奇函数，则下列选项正确的是（ ）
A. 的图象关于直线 对称
B. 的图象关于点 对称
C.
D. 的一个周期为8公众号：云儿和花
11. 在棱长均为1的三棱柱 中， ，点 满足
，其中 ，则下列说法一定正确的有（ ）
A. 当点 为三角形 的重心时，
B. 当 时， 的最小值为
C. 当点 在平面 内时， 的最大值为2
D. 当 时，点 到 的距离的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知随机事件 满足 ，则 ____________．
的
13. 已知正三棱台 高为1，上、下底面边长分别为 和 ，其顶点都在同一球面上，则该球的表面
积为__________．
14. 已知2024是不等式 的最小整数解，则 的取值范围为____________．
四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 某研究小组经过研究发现某种疾病的患病者与未患病者的某项医学指标有明显差异，经过大量调查，
得到如下的患病者和未患病者该指标的频率分布直方图：公众号：云儿和花
利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值 ，将该指标大于 的人判定为阳性，小于或等于 的人
判定为阴性．此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率，记为 ；误诊率是将未患病者判定
为阳性的概率，记为 ．假设数据在组内均匀分布．
（1）当漏诊率 时，求临界值 和误诊率 ；
（2）已知一次调查抽取的未患病者样本容量为100，且该项医学指标检查完全符合上面频率分布直方图
（图2），临界值 ，从样本中该医学指标在 上的未患病者中随机抽取2人，则2人中恰有一
人为被误诊者的概率是多少？
16. 已 知 圆 ， 过 点 的 直 线 与 圆 交 于 两 点 ， 点 满 足
，其中 为坐标原点．
（1）求点 的轨迹方程；
（2）若 的面积为2，求 ．
17. 如图，在四棱锥 中，底面 是矩形， ， ，
，点M，N分别是棱 ， 的中点.
（1）求证： 平面 ；
（2）若平面 平面 ，求直线 与平面 所成角的正弦值.公众号：云儿和花
18. 已知P( ， )是椭圆C： (a>b>0)上一点，以点P及椭圆 的左、右焦点F
1
，F
2
为顶点
的三角形面积为2 ．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）过F 作斜率存在且互相垂直的直线l，l，M是l 与C两交点的中点，N是l 与C两交点的中点，求
2 1 2 1 2
△MNF 面积的最大值．
2
19. 基本不等式是最基本 重的要不等式之一，二元基本不等式为 ．由低维到高维，知识与
方法上的类比是探索发展的重要途径，是发现新问题、新结论的重要方法．基本不等式可以推广到一般的
情形：对于 个正数 ，它们的算术平均数 （注：
）不小于它们的几何平均数 （注：
），即 ，当且仅当 时，等号成立．
（1）已知 ，求 的最小值；
（2）已知 且 ．
（ⅰ）求证： ；
（ⅱ）当 ，求 的最小值，其中 ．
