2007年山东高考理科数学真题及答案_数学高考真题试卷_旧1990-2007·高考数学真题_1990-2007·高考数学真题·PDF_山东

2007 年山东高考理科数学真题及答案 一 选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，选 择一个符合题目要求的选项。 1 若z cosisin（i为虚数单位），则z2 1的值可能是     （A） （B） （C） （D） 6 4 3 2  1  2 已知集合M 1,1，N x 2x1 4,xZ，则M N   2  （A）1,1 （B） 1 （C）0 （D） 1,0 3下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是 （A）(1),(2) （B） (1),(3) （C）(1),(4) （D） (2),(4)  1  4 设a1,1, ,3，则使函数y  x的定义域为R且为奇函数的所有值为  2  （A）1,3 （B） 1,1 （C）1,3 （D） 1,1,3   5 函数y sin(2x )cos(2x )的最小正周期和最大值分别为 6 3 （A）,1 （B） , 2 （C）2,1 （D） 2, 2 6 给 出 下 列 三 个 等 式 ： f(xy) f(x) f(y)， f(x y) f(x)f(y)， f(x) f(y) f(x y) 。下列函数中不满足其中任何一个等式的是 1 f(x)f(y) （A） f(x)3x （B） f(x)sinx （C） f(x)log x （D） f(x)tanx 2 7 命题“对任意的xR，x3x2 10”的否定是 （A）不存在xR，x3x2 10 （B）存在xR，x3x2 10 （C）存在xR，x3 x2 10 （D）对任意的xR，x3 x2 10 第1页 | 共12页8 某班50名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与19秒之间，将测试结果按如 下方式分成六组：第一组，成绩大于等于13秒且小于14秒；第二组，成绩大于等于14秒 且小于15秒；……第六组，成绩大于等于18秒且小于19秒。右图是按上述分组方法得到 的频率分布直方图。设成绩小于17秒的学生人数占全班总人数的百分比为x，成绩大于等 于15秒且小于17秒的学生人数为y，则从频率分布直方图中可分析出x和y分别为 （A）0.9,35 （B） 0.9,45 （C）0.1,35 （D） 0.1,45 9 下列各小题中， p是q的充要条件的是 （1） p:m2或m6；q: y  x2 mxm3有两个不同的零点。 f(x) （2） p: 1; q: y  f(x)是函数。 f(x) （3） p:coscos; q:tantan。 （4） p:AB A; q:C BC A。 U U （A）(1),(2) （B） (2),(3) （C）(3),(4) （D） (1),(4) 10 阅读右边的程序框图，若输入的n是100，则输出的变量S和T的值依次是 （A）2500,2500 （B） 2550,2550 （C）2500,2550 （D） 2550,2500 第2页 | 共12页11 在直角ABC中，CD是斜边AB上的高，则下列等式不成立的是 2   2   （A） AC  ACAB （B） BC  BABC     2   2 (ACAB)(BABC) （C） AB  ACCD （D） CD  2 AB 12 位于坐标原点的一个质点P按下述规则移动：质点每次移动一个单位；移动的方向为 1 向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是 .质点P 移动5次后位于点(2,3)的概率为 2 1 1 1 1 （A）( )5 （B） C2( )5 （C）C3( )3 （D） C2C3( )5 2 5 2 5 2 5 5 2 第Ⅱ卷（共90分） 注意事项： 1.用黑色或蓝色钢笔、圆珠笔直接答在试题卷上. 2.答卷前将密封线内的项目填写清楚. 得 分 评卷人 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，答案须填在题中横线上. (13)设O是坐标原点，F是抛物线y2=2px(p>0)的焦点，A是抛物线上的一点，FA与x轴正 向的夹角为60°,则OA为 . x2y10，  2x y3, (14)设D是不等式组 表示的平面区域，则D中的点P（x,y）到直线x+y=10距 0x4,   y1 离的最大值是 . (15)与直线x+y-2=0和曲线x2+y2-12x-12y+64=0都相切的半径最小的圆的标准方程是 . (16)函数y=log(x+3)-1(a>0,a1)的图象恒过定点A，若点A在直线mx+ny+1=0上，其中 a 第3页 | 共12页1 2 mn>0,则  的最小值为 . m n 三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 得 分 评卷人 n 17（本小题满分12分） 设数列a 满足a 3a 32a ...3n1a  ,nN*. n 1 2 3 n 3 (I)求数列a 的通项; n n (II)设b  ,求数列b 的前n项和S . n a n n n 18（本小题满分12分）设b和c分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数,用随机变量表示方 程x2 bxc0实根的个数(重根按一个计). (I)求方程x2 bxc0 有实根的概率; (II) 求的分布列和数学期望; (III)求在先后两次出现的点数中有6的条件下,方程方程x2 bxc0 有实根的概率. 19（本小题满分12分）如图,在直四棱柱ABCDABC D 中,已知 1 1 1 1 DC  DD 2AD2AB,AD DC,AB DC. 1  (I)设E是DC 的中点,求证: DE 平面ABD; 1  1 (II)求二面角A BDC 的余弦值. 1 1 第4页 | 共12页得 分 评卷人 (20)(本小题满分12分) 如图，甲船以每小时30 2 海里的速度向正北方向航行，乙船 按固定方向匀速直线航行.当甲船位于A处时，乙船位于甲船的 1 北偏西105°方向的B处，此时两船相距20海里.当甲船航行20 1 分钟到达A处时，乙船航行到甲船的北偏西120°方向的B处， 1 1 此时两船相距10 2 海里，问乙船每小时航行多少海里？ 得 分 评卷人 （21）（本小题满分12分） 已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，椭圆C上的点到焦点距离的最大值为3；最 小值为1； （Ⅰ）求椭圆C的标准方程； （Ⅱ）若直线ly=kx+m与椭圆C相交于A,B两点（A，B不是左右顶点），且以AB为直径的 1 圆过椭圆C的右顶点.求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标. 第5页 | 共12页] 得 分 评卷人 (22)(本小题满分14分) 设函数f(x)=x2+b ln(x+1),其中b≠0. 1 (Ⅰ)当b> 时，判断函数f(x)在定义域上的单调性； 2 （Ⅱ）求函数f(x)的极值点； 1 1 1 （Ⅲ）证明对任意的正整数n,不等式ln(( 1)  )都成立. n n2 n3 第6页 | 共12页参考答案 1-12．【答案】: DBDAAB，CADDCB 21 13．【答案】: p 2 14．【答案】:4 2. 15．【答案】:. (x2)2 (y2)2 2 16．【答案】: 8。 n 17【答案】: (I)a 3a 32a ...3n1a  , 1 2 3 n 3 n1 a 3a 32a ...3n2a  (n2), 1 2 3 n1 3 n n1 1 3n1a    (n2). n 3 3 3 1 a  (n2). n 3n 1 验证n1时也满足上式，a  (nN*). n 3n (II) b n3n， n S 13232 333 ...n3n n 3S 132 233 334 ...n3n1 n 2S 332 333n n3n1 n 33n1 2S  n3n1， n 13 n 1 3 S  3n1 3n1  n 2 4 4 18【答案】:（I）基本事件总数为6636， 若使方程有实根，则b2 4c0，即b2 c 。 当c1时，b2,3,4,5,6； 当c2时，b3,4,5,6； 当c3时，b4,5,6； 当c4时，b4,5,6； 第7页 | 共12页当c5时，b5,6； 当c6时，b5,6, 目标事件个数为54332219, 19 因此方程x2 bxc0 有实根的概率为 . 36 (II)由题意知，0,1,2，则 17 2 1 17 P(0) ，P(1)  , P(2) ， 36 36 18 36 故的分布列为 0 1 2  P 17 1 17 36 18 36 17 1 17 的数学期望E0 1 2 1. 36 18 36 (III)记“先后两次出现的点数中有5”为事件M，“方程ax2 bxc0 有实根” 为事件 11 7 N，则P(M) ，P(MN) ， 36 36 P(MN) 7 P(N M)  . P(M) 11 19【答案】:(I)连结BE，则四边形DABE为正方形， BE  AD AD ，且BE AD AD ， 1 1   1 1 四边形ADEB为平行四边形， 1 1 DE AB. 1  1 DE 平面ABD，AB平面ABD，  1 1 1 1 DE 平面ABD. 1  1 (II) 以D为原点，DA,DC,DD 所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系， 1 不妨设DA1，则D(0,0,0),A(1,0,0),B(1,1,0),C (0,2,2),A(1,0,2). 1 1   DA (1,0,2),DB(1,1,0). 1 第8页 | 共12页 设n(x,y,z)为平面ABD的一个法向量， 1     x2y 0 由n DA,n DB得 ， 1  x y 0  取z 1，则n(2,2,1).  设m(x ,y ,z )为平面C BD的一个法向量， 1 1 1 1     2y 2z 0 由m DC,m DB得 1 1 ， x  y 0  1 1  取z 1,则m(1,1,1). 1     mn 3 3 cosm,n   .   m n 9 3 3 由于该二面角A BDC 为锐角， 1 1 3 所以所求的二面角A BDC 的余弦值为 . 1 1 3 20 20【答案】解如图，连结AB ，A B 10 2，AA  30 2 10 2， 1 2 2 2 1 2 60 AA B 是等边三角形，B AB 1056045， 1 2 2 1 1 2 在AB B 中，由余弦定理得 1 2 1 BB2  AB2  AB2 2AB AB cos45 1 2 1 1 1 2 1 1 1 2 ， 2 202 (10 2)2 22010 2 200 2 BB 10 2. 1 2 10 2 因此乙船的速度的大小为 6030 2. 20 答：乙船每小时航行30 2 海里. x2 y2 21【答案】(I)由题意设椭圆的标准方程为  1(ab0) a2 b2 ac3,ac1，a2,c1,b2 3 第9页 | 共12页x2 y2   1. 4 3  y kxm  (II)设A(x ,y ),B(x ,y )，由x2 y2 得 1 1 2 2  1   4 3 (34k2)x2 8mkx4(m2 3)0， 64m2k2 16(34k2)(m2 3)0，34k2 m2 0. 8mk 4(m2 3) x x  ,x x  . 1 2 34k2 1 2 34k2 3(m2 4k2) y y (kx m)(kx m)k2x x mk(x x )m2  . 1 2 1 2 1 2 1 2 34k2 以AB为直径的圆过椭圆的右顶点D(2,0), k k 1，  AD BD y y  1  2 1，y y x x 2(x x )40， x 2 x 2 1 2 1 2 1 2 1 2 3(m2 4k2) 4(m2 3) 16mk   40， 34k2 34k2 34k2 7m2 16mk4k2 0，解得 2k m 2k,m  ，且满足34k2 m2 0. 1 2 7 当m2k 时，l: y k(x2)，直线过定点(2,0),与已知矛盾； 2k 2 2 当m 时，l: y k(x )，直线过定点( ,0). 7 7 7 2 综上可知，直线l过定点，定点坐标为( ,0). 7 22【答案】(I) 函数 f(x) x2 bln(x1)的定义域为1,. b 2x2 2xb f '(x)2x  ， x1 x1  1   1 令g(x)2x2 2xb，则g(x)在  , 上递增，在 1, 上递减，  2   2 第10页 | 共12页1 1 g(x)  g( ) b. min 2 2 1 1 当b 时，g(x)  b0， 2 min 2 g(x)2x2 2xb0在1,上恒成立.  f '(x)0, 1 即当b 时,函数 f(x)在定义域1,上单调递增。 2 （II）分以下几种情形讨论： 1 （1）由（I）知当b 时函数 f(x)无极值点. 2 1 2(x )2 1 2 （2）当b 时， f '(x) ， 2 x1  1 x  1, 时， f '(x)0,  2  1  x   , 时， f '(x)0,  2  1 b 时，函数 f(x)在1,上无极值点。 2 1 1 12b 1 12b （3）当b 时，解 f '(x)0得两个不同解x  ，x  . 2 1 2 2 2 1 12b 1 12b 当b0时，x  1，x  1， 1 2 2 2 x 1,,x 1,, 1 2 1 12b 此时 f(x)在1,上有唯一的极小值点x  . 2 2 1 当0b 时，x ,x 1,, 2 1 2 f '(x)在1,x ,x ,都大于0 ， f '(x)在(x ,x )上小于0 ， 1 2 1 2 1 12b 1 12b 此时 f(x)有一个极大值点x  和一个极小值点x  . 1 2 2 2 1 12b 综上可知，b0时， f(x)在1,上有唯一的极小值点x  ； 2 2 第11页 | 共12页1 1 12b 1 12b 0b 时， f(x)有一个极大值点x  和一个极小值点x  ； 2 1 2 2 2 1 b 时，函数 f(x)在1,上无极值点。 2 （III） 当b1时， f(x) x2 ln(x1). 令h(x) x3 f(x) x3x2 ln(x1),则 3x3 (x1)2 h'(x) 在0,上恒正， x1 h(x)在0,上单调递增，当x0,时，恒有h(x)h(0)0. 即当x0,时，有x3x2 ln(x1)0, ln(x1) x2 x3， 1 1 1 1 对任意正整数n，取x 得ln( 1)  n n n2 n3 第12页 | 共12页