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湖南师大附中 2024-2025 学年度高二第一学期期中考试
数学
时量：120分钟 满分：150分
得分：__________
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1. 已知双曲线 的一条渐近线方程为 ，则 （ ）
A. 1 B. 2 C. 8 D. 16
【答案】A
【解析】
【分析】利用双曲线方程先含参表示渐近线方程，再待定系数计算即可.
【详解】依题意，得m>0，
令 ，即 的渐近线方程为 ，
所以 .
故选：A
2. 已知直线l：mx－2y＋1＝0，l：x－(m－1)y－1＝0，则“m＝2”是“l 平行于l”的( )
1 2 1 2
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】利用两直线平行的等价条件求得m，再结合充分必要条件进行判断即可.
【详解】由直线l 平行于l 得－m(m－1)＝1×(－2)，得m＝2或m＝－1，经验证，当m＝－1时，直线l 与
1 2 1
l 重合，舍去，所以“m＝2”是“l 平行于l”的充要条件，
2 1 2
故选C.【点睛】本题考查两直线平行的条件，准确计算是关键，注意充分必要条件的判断是基础题
3. 记等差数列 的前 项和为 ，则 （ ）
A. 120 B. 140 C. 160 D. 180
【答案】C
【解析】
【分析】利用下标和性质先求出 的值，然后根据前 项和公式结合下标和性质求解出 的值.
【详解】因为 ，所以 ，所以 ，
所以 ，
故选：C.
4. 已知数列 的通项 ，若 是递增数列，则实数 的取值范围是（
）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意，列出不等式组求解即可.
【详解】解：由已知得 ，即 ，解得 .
故选：B.
5. 已知直线 ，从点 射出的光线经直线 反射后经过点 ，则光线从 到
的路程为（ ）
A. 2 B. 3 C. 5 D. 6
【答案】C
【解析】
【分析】求出 关于直线 的对称点 的坐标，再求得 的长即得．【详解】设点 关于直线 的对称点为 ，则有 解得 ，
因为光线从 到 的路程即 的长，而 .所以光线从 到 的路程为5.
故选：C．
6. 已知两圆C ：（x-4）2+y2=169，C ：（x+4）2+y2=9.动圆M在圆C 内部且和圆C 相内切，和圆C 相外
1 2 1 1 2
切，则动圆圆心M的轨迹方程是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由两圆外切和内切，得出圆心距与两圆 的半径和差的关系，设出动圆的半径 ，消去 ，再由圆
锥曲线的定义，可得动圆的圆心 的轨迹，进一步求出其方程.
【详解】设动圆的圆心 ，半径为
圆 与圆 : 内切，与C ： 外切.
2
所以 .
由椭圆的定义， 的轨迹是以 为焦点，长轴为16的椭圆.则 ，所以
动圆的圆心 的轨迹方程为：
故选：D
【点睛】本题考查两圆的位置关系以及判断方法和动点的轨迹方程，椭圆的定义，属于中档题.
7. 设直线 与圆 相交于 两点，且 的面积为8，则 （
）
A. B. C. 1 D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用三角形 的面积公式可得 ，由圆心 到直线 的距离 ，再利用
点线距公式建立方程，解之即可.
【详解】由三角形的面积公式可得 ，
得 ，由 ，得 ，
所以 为等腰直角三角形，
所以圆心 到直线 的距离为 ，
由点到直线的距离公式得 ，解得 .
故选：C
8. 设 ， 是双曲线 的左，右焦点， 是坐标原点，过点 作 的一条渐
近线的垂线，垂足为 ．若 ，则 的离心率为（ ）A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
设过点 作 的垂线，其方程为 ，联立方程，求得 ， ，即
，由 ，列出相应方程，求出离心率.
【详解】解：不妨设过点 作 的垂线，其方程为 ，
由 解得 ， ，即 ，
由 ，所以有 ，
化简得 ，所以离心率 ．
故选：B.
【点睛】本题主要考查双曲线的概念、直线与直线的位置关系等基础知识，考查运算求解、推理论证能力，
属于中档题．
二､多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 数列0，1，0， ，0，1，0， ，…的一个通项公式是（ ）
A. B. C. D.
【答案】AD
【解析】【分析】根据选项取值验算可得正确答案.
【详解】当 时， ，故C不正确；
当 时， ，排除B；
当 ， 时，经验算，AD均正确，由周期性可知AD正确，
故选：AD.
10. 已知抛物线y2=2px(p>0)上三点A(x ,y )， ， ，F为抛物线的焦点，则下列说法
1 1
正确的是（ ）
A. 抛物线的准线方程为
B. 若 ，则
C. 若 三点共线，则
D. 若 ，则 的中点到 轴距离的最小值为2
【答案】ABD
【解析】
【分析】将点B的坐标代入抛物线方程即可求得 ，从而求出准线方程判断A；利用向量坐标运算得
，进而利用焦半径公式即可判断B；设直线 ： ，与抛物线方程联立，利用根与系
数关系求解即可判断C；结合焦半径公式，利用 及焦半径公式即可判断D.
【详解】对A，把点 代入抛物线 ，得 ，
所以抛物线的准线方程为 ，故A正确；
对B，因为A(x ,y )， ， ，F(1,0)，
1 1所以 ， ， ，
又由 ，得 ，
所以 ，故B正确；
对C，因为 三点共线，所以线段 是焦点弦，
设直线 ： ，
联立 得 ，
所以 ，故C不正确；
对D，设 的中点为 ，
因为 ， ，
所以 ，得 ，
即 的中点到 轴距离的最小值为 ，故D正确.
故选：ABD
11. 曲线 ，下列结论正确的是（ ）
A. 曲线 关于原点对称
B. 曲线 关于直线 对称
C. 当 时，曲线 上点的横坐标的取值范围为
D. 若曲线 在第一象限内存在位于直线 左侧的点，则
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据图象关于点对称的定义判断A，根据图象关于直线对称的定义判断B，利用方程研究曲线的范围可判断C，由题意建立不等式求解可判断D.
【详解】对选项A：设曲线上有一点 ，则 ①，而点 关于原点
对称的点为 ，若曲线关于原点对称，则 也应在曲线上，则有
②；联立①②，得 ，此时 无解，故A错误；
对选项B：设曲线上有一点 ，则 ③，而点 关于 对称的点
为 ，若曲线关于 对称，则 也应在曲线上，则有
④；联立③④，得 ，即 ，该式恒成立，则 和 是
在曲线上且关于 对称的点，即 是该曲线的对称轴，故B正确；
对选项C：由原方程得 ，解得 ，所以C正确；
对选项 D：由原方程得 ，由题意知，当 时有点 在曲线上，因为
，所以 在 上有解，即 在 上有解，又因为
函数 在 上单调递减，所以 ，所以D正确.
故选：BCD.
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知椭圆 的左、右焦点分别为 ，上顶点为 ，若 ，则 的短
轴长为______.
【答案】【解析】
【分析】由题意可得 为等腰直角三角形，又 ，计算可求 ，可求 的短轴长.
【详解】设 ，易知 ，
结合 ，可知 为等腰直角三角形，
所以 ，故 ，
所以 ，
所以 的短轴长为 .
故答案为： .
13. 已知各项均为正数的数列 的前 项和为 ，且满足 ，则 __________.
【答案】2024
【解析】
【分析】根据 的关系，分 是否等于1讨论即可.
【详解】由于数列 的各项均为正数，即 ，
当 时， ，即 ，
当 时，由 ，可得 ，两式相减得 ，
又 ，
为一个以2为首项，2为公差的等差数列， .
故答案为：2024.
14. 已知双曲线 ，其左右焦点分别为 ， ，点P是双曲
线右支上的一点，点I为 的内心（内切圆的圆心）， ，若 ，，则 的内切圆的半径为______.
【答案】
【解析】
【分析】根据题意可得 ，结合双曲线的定义可得 ， ，在 中，利
用余弦定理求得 ，再根据 即可得出答案.
【详解】解：由 ，结合点I是 的内切圆的圆心可知 ，
又有 ，所以 ，
再结合双曲线的定义可得 ， ，
再根据 ，由余弦定理可得 ，
即 ，解得 ，
则 ，
可得内切圆的半径角 .
故答案为： .
四､解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15. 已知圆 过点 和 ，且圆心 在直线 上.
（1）求圆 的标准方程；
（2）经过点 的直线 与圆 相切，求 的方程.【答案】（1）
（2） 或
【解析】
【分析】（1）设出圆的标准方程，根据题意，列出方程组，即可求解；
（2）根据题意，分直线 的斜率不存在和存在，两种情况讨论，结合直线与圆的位置关系，列出方程，即
可求解.
【小问1详解】
解：设圆 的方程为 ，
根据题意，可得 ，解得 ，
所以圆 的方程为 .
【小问2详解】
解：当直线 的斜率不存在时，直线 的方程为 ，符合题意；
当直线 的斜率存在时，设直线 的方程为 ，
由圆心到直线的距离等于圆的半径，可得 ，解得 ，
则直线 的方程为 ，即 .
故直线 的方程为 或 .
16. 已知等比数列 的各项均为正数，且 ， ．
（1）求 的通项公式；（2）设 ， ，求数列 的前 项和 .
【答案】（1） ；（2） ．
【解析】
【分析】
（1）根据 是等比数列，设 的公比为 ，根据条件列出方程组．求出 和 可得数列 的通项
公式；
（2）求出 的通项公式，代入 ，利用错位相减法即可求出数列 的前 项和．
【详解】（1）设等比数列 的公比为 ，
由题可得 ，
因为 ，所以 ，
所以 ．
（2）因为 ，所以 ，
所以 ，
所以 ，
，
两式相减得故 ．
【点睛】本题主要考查数列通项公式和前 项和的求解，利用错位相减法是解决本题的关键，属于难题.
17. 如图，已知四棱锥 中， 平面 ， ， ， 是边长为
的正三角形，点 在平面 内的投影恰好是 的中心 .
（1）求证：平面 平面 ；
（2）求直线 与平面 所成角的正弦值.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）推导出 平面 ，再利用面面垂直的判定定理可证得结论成立；
（2）推导出 ，然后以点 为坐标原点， 、 、 所在直线分别为 、 、 轴建立空
间直角坐标系，利用空间向量法可求得直线 与平面 所成角的正弦值.
【小问1详解】
证明：因为 平面 ， 平面 ，所以， ，因为 ，所以 ，
因为 ， 、 平面 ，所以 平面 ，
因为 平面 ，所以，平面 平面 .
【小问2详解】
解：如图，连接 、 、 ，
因为点 在平面 内的投影恰好是 的中心 ，
且 是边长为 的正三角形，所以，三棱锥 为正三棱锥，
因为 为等腰直角三角形，则 ，
取 的中点 ，连接 ，则 ，
因为 ， ， ，所以， ，
所以，四边形 是矩形，则 ，
又因为 ，则 ，
因为 平面 ， ，
以点 为坐标原点， 、 、 所在直线分别为 、 、 轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则A(0,0,0)、B(1,0,0)、C(1,1,0)、 、 、 ，
所以， ，
设平面 的法向量为 ，⃗BC=(0,1,0)， ，
则 ，取 ，则 ，
又 ，设直线 与平面 所成角为 ，
则 .
故直线 与平面 所成角 的正弦值为 .
18. 已知椭圆 的离心率为 ，点 在椭圆上， 分别为 的左，右焦
点，抛物线 的顶点在原点，焦点与 的右焦点重合.
（1）求椭圆 与抛物线 的标准方程；
（2）过焦点 的直线 交椭圆 于点 ，交抛物线 于点 ， 为过点 且垂直于 轴的直线上
异于 的一点.
（i）若 ，求直线 的方程；
（ii）设 的斜率分别为 ，求 的值.【答案】（1） ，
（2）（i） 或 ；（ii）2
【解析】
【分析】（1）根据离心率及2椭圆上的点求椭圆方程，再由椭圆右焦点得出抛物线方程；
（2）（i）设出直线方程，分别联立椭圆与抛物线，由根与系数的关系及弦长公式，由题意建立方程，解
出斜率即可得直线方程；
（ii）分别由斜率公式表示出斜率，计算化简即可得解.
【小问1详解】
根据题意可知，
解得
概圆 的方程为 .
，
抛物线 的方程为 .
【小问2详解】
如图，
（i）设 的方程为 ，联立 化简得 ，显然 ，
设A(x ,y ),B(x ,y )，则 ，
1 1 2 2
所以
，
联立 化简得 ，显然 ，
设 ，则 ，
所以
因为 ，所以 ，
即 ，即 ，
所以直线 的方程为 或 .
（ii）设 ，则 ，，
.
19. 已知集合 ，若对于任意 与 至少
有一个属于 ，则称 为开心集.
（1）分别判断集合 与集合 是否为开心集，并说明理由；
（2）当 时，若 ，求开心集 ；
（3）若集合 为开心集，且 中存在元素 ，使得 中所有
元素均为 的整数倍，求 的最小值.
【答案】（1） 不是开心集， 是开心集，理由见解析；
（2） 或 ；
（3）2023.
【解析】
【分析】（1）由开心集的定义判断即可；
（2）由题意可得 ，分 、 求解即可；
（3）由题意可得 ，从而得 ，且 也在 中，由已知可得
，从而得 ，
，即可得答案.
【小问1详解】解：对于集合 ，因为 ，
故 不是开心集；
对于集合 ，因为 ，
故集合 是开心集.
【小问2详解】
解：当 时， ，
因为 ，由题意得 ，故 ，
①若 ，由于 ，
故 ，故 ，即 ，此时 符合题意.
②若 ，由于 ，
故 ，故 ，即 ，此时 符合题意.
综上， 或
【小问3详解】
解：由题意， ，若 中存在元素 ，使得 中所有元素均为 的整数倍，
则必有 ，故 ，
分别考虑 和其他任意元素 ，
由题意可得 也在 中，而 ，
故 ，
特别地， ，
下考虑对于 ，因为 ，所以 ，
故 ，
特别地， ，故 ，即 ，
由 ，且 ，故 ，即 ，
以此类推， .
又因为 ，
所以 ，
又因为 ，即 ，
所以 ，
.
即 ，故
当 时， 满足条件.
综上， 的最小值为 .
【点睛】关键点点睛：对于新概念题目，理解定义是关键.
