2007年海南高考文科数学真题及答案_数学高考真题试卷_旧1990-2007·高考数学真题_1990-2007·高考数学真题·PDF_海南

2007 年海南高考文科数学真题及答案 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。答卷前，考生务必将自己的 姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 参考公式： 样本数据x,x , ,x 的标准差 锥体体积公式 1 2  n 1 1 s [(x x)2(x x)2 (x x)2] V  Sh n 1 2  n 3 其中x 为样本平均数 其中S为底面面积，h为高 柱体体积公式 球的表面积、体积公式 4 V Sh S4R2, V  R3 3 其中S为底面面积，h为高 其中R为球的半径 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的。 （1）设集合A{x x1}, B{x 2x2}，则A B  （A）{x x2} （B）{x x1} （C）{x 2x1} （D）{x 1x2} （2）已知命题 p:xR，sin x„ 1，则 （A）p:xR, sin x… 1 （B）p:xR, sin x… 1 （C）p:xR, sin x1 （D）p:xR, sin x1   （3）函数ysin(2x )在区间[ , ]的简图是 3 2 第1页 | 共9页（A） （B） （C） （D） 1 3 （4）已知平面向量a(1,1), b(1,1), 则向量 a b= 2 2 （A）(2,1) （B）(2,1) （C）(1,0) （D）(1,2) （5）如果执行右面的程序框图， 开始 那么输出的S  k=1 （A）2 450 （B）2 500 S=0 （C）2 550 否 （D）2 652 k≤50? 是 输出S S=S+2k k=k+1 结束 （6）已知a,b,c,d 成等比数列，且曲线yx2 2x3的顶点是(b,c)，则ad等于 （A）3 （B）2 （C）1 （D）2 （7）已知抛物线y2 2px(p0)的焦点为F ，点P(x,y )、P(x ,y )、P(x ,y )在抛物线 1 1 1 2 2 2 3 3 3 上，且2x x x ，则有 2 1 3 （A） FP  FP  FP （B） FP 2  FP 2 FP 2 1 2 3 1 2 3 （C）2 FP  FP  FP （D） FP 2 FP  FP 2 1 3 2 1 3 （8）已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：cm），可得这个几何体的 体积是 第2页 | 共9页4000 （A） cm3 3 20 8000 （B） cm3 3 （C）2000 cm3 20 20 正视图 侧视图 （D）4000 cm3 10 10 20 俯视图 cos2 2 （9）若  ，则cossin的值为  2 sin( ) 4 7 1 1 7 （A） （B） （C） （D） 2 2 2 2 （10）曲线yex在点(2,e2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为 9 e2 （A） e2 （B）2e2 （C）e2 （D） 4 2 （11）已知三棱锥 SABC的各顶点都在一个半径为 r的球面上，球心 O在 AB上， SO底面ABC，AC  2r . 则球的体积与三棱锥体积之比是 （A） （B）2 （C）3 （D）4 （12）甲、乙、丙三名射箭运动员在某次测试中各射箭20次，三人的测试成绩如下表 甲的成绩 乙的成绩 丙的成绩 环数 7 8 9 10 环数 7 8 9 10 环数 7 8 9 10 频数 5 5 5 5 频数 6 4 4 6 频数 4 6 6 4 s 、s 、s 分别表示甲、乙、丙三名运动员这次测试成绩的标准差，则有 1 2 3 （A）s s s （B）s s s 3 1 2 2 1 3 （C）s s s （D）s s s 1 2 3 2 3 1 第Ⅱ卷 本卷包括必考题和选考题两部分。第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做 答。第22题～第23题为选考题，考生根据要求做答。 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。 （13）已知双曲线的顶点到渐近线的距离为2，焦点到渐近线的距离为6，则该双曲线的离 心率为 . （14）设函数 f(x)(x1)(xa)为偶函数，则a . 第3页 | 共9页（15）i是虚数单位，i2i2 3i3  8i8  . (用abi的形式表示，a,bR)  （16）已知{a }是等差数列，a a 6，其前5项和S 10，则其公差d  . n 4 6 5 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 （17）（本小题满分12分） 如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D. 现测得BCD，BDC ，CDs，并在点C测得塔顶A的仰角为，求塔高AB. （18）（本小题满分12分） 如图，A，B，C，D为空间四点. 在△ABC中，AB=2，AC=BC= 2. 等边三角形ADB以AB 为轴转动. （Ⅰ）当平面ADB⊥平面ABC时，求CD； （Ⅱ）当△ADB转动时，是否总有AB⊥CD？证明你的结论. D A B C （19）（本小题满分12分） 设函数 f(x)ln(2x3)x2. （Ⅰ）讨论 f(x)的单调性； 3 1 （Ⅱ）求 f(x)在区间[ , ]的最大值和最小值. 4 4 （20）（本小题满分12分） 设有关于x的一元二次方程x2 2axb2 0. （Ⅰ）若a是从0,1,2,3四个数中任取的一个数，b是从0,1,2三个数中任取的一个数，求 上述方程有实根的概率. 第4页 | 共9页（Ⅱ）若a是从区间[0,3]任取的一个数，b是从区间[0,2]任取的一个数，求上述方程有 实根的概率. （21）（本小题满分12分） 在平面直角坐标系xOy中，已知圆x2  y2 12x320的圆心为Q，过点P(0,2)且斜率 为k的直线与圆Q相交于不同的两点A、B. （Ⅰ）求k的取值范围；    （Ⅱ）是否存在常数k，使得向量OAOB与PQ共线？如果存在，求k值；如果不存在， 请说明理由. 请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分。做答时请写 清题号。 （22）（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲 如图，已知AP是⊙O的切线，P为切点，AC是⊙O的割线，与⊙O交于B、C两点，圆 心O在PAC的内部，点M是BC的中点. P （Ⅰ）证明A，P，O，M四点共圆； （Ⅱ）求∠OAM＋∠APM的大小. A O M B C （23）（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程 ⊙O和⊙O的极坐标方程分别为4cos,  4sin. 1 2 （Ⅰ）把⊙O和⊙O的极坐标方程化为直角坐标方程； 1 2 （Ⅱ）求经过⊙O，⊙O交点的直线的直角坐标方程. 1 2 参考答案和评分参考 评分说明: 1. 本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题 的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则. 2. 对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的 内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的 第5页 | 共9页一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分. 3. 解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 4. 只给整数分数. 选择题和填空题不给中间分. 一．选择题 （1）A （2）C （3）A （4）D （5）C （6）B （7）C （8）B （9）C （10）D （11）D （12）B 二．填空题 1 （13）3 （14）1 （15）44i （16） 2 三．解答题 （17）解： 在△BCD中， CBD. ……2分 由正弦定理得 BC CD  , ……5分 sinBDC sinCBD CDsinBDC 所以 BC  sinCBD ssin  . ……8分 sin() 在Rt△ABC中， ABBCtanACB stansin  . ……12分 sin() （18）解： （Ⅰ）取AB的中点E，连结DE，CE，因为ADB是等边三角形，所以DE⊥AB. 当平面 ADB⊥平面ABC时，因为平面 ADB 平面ABC  AB，所以DE⊥平面ABC，可知DE⊥CE.  ……2分 D 由已知可得DE= 3，EC=1. 在Rt△DEC中， A CD DE2 EC2 2 . ……6分 E （Ⅱ）当△ADB以AB为轴转动时，总有AB⊥CD. B C ……8分 证明： 第6页 | 共9页（ⅰ）当D在平面ABC内时，因为AC=BC，AD=BD，所以C，D都在线段AB的垂直平分 线上，即AB⊥CD. ……9分 （ⅱ）当D不在平面ABC内时，由（Ⅰ）知AB⊥DE. 又因AC=BC，所以AB⊥CE. 又DE，CE为相交直线，所以AB⊥平面CDE，由CD平面CDE，得AB⊥CD. 综上所述，总有AB⊥CD. ……12分 （19）解： 3 f(x)的定义域为( ,). 2 2 4x2 6x2 2(2x1)(x1) （Ⅰ） f(x) 2x  . ……3分 2x3 2x3 2x3 3 1 1 当 x1时， f(x)0；当1x 时， f(x)0；当x 时， f(x)0.从 2 2 2 3 1 1 而， f(x)分别在区间( ,1)，( ,)单调增加，在区间(1, )单调减少. 2 2 2 ……7分 3 1 1 1 （Ⅱ）由（Ⅰ）知 f(x)在区间[ , ]的最小值为 f( )ln2 . ……9分 4 4 2 4 3 1 3 9 7 1 又 f( ) f( )ln  ln  4 4 2 16 2 16 3 1 ln  7 2 1 49  (1ln ) 2 9 0. 3 1 1 1 7 所以 f(x)在区间[ , ]的最大值为 f( ) ln . ……12分 4 4 4 16 2 （20）解： 设事件A为“方程x2 2axb2 0有实根”. 当a… 0，b… 0时，方程x2 2axb2 0有实根的充要条件为a… b. （Ⅰ）基本事件共有12个： (0,0)，(0,1)，(0,2)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，(3,0)，(3,1)， (3,2) . 其中第一个数表示a的取值，第二个数表示b的取值. 事件A中包含9个基本事件，事件A发生的概率为 9 3 P(A)  . ……6分 12 4 （Ⅱ）试验的全部结果所构成的区域为 {(a,b)0„ a„ 3,0„ b„ 2}. 构成事件A的区域为 {(a,b)0„ a„ 3,0„ b„ 2,a… b}. 所以所求的概率为 1 32 22 2 2 P(A)  . ……12分 32 3 第7页 | 共9页（21）解： （Ⅰ）圆的方程可写成(x6)2  y2 4，所以圆心为Q(6,0). 过P(0,2)且斜率为k的直 线方程为 ykx2， 代入圆方程得 x2 (kx2)2 12x320， 整理得 (1k2)x2 4(k3)x360. ① ……3分 直线与圆交于两个不同的点A、B等价于 [4(k3)]2 436(1k2) 42(8k2 6k)0, 3 3 解得 k 0，即k的取值范围为( ,0). ……6分 4 4   （Ⅱ）设A(x,y ),B(x ,y )，则OAOB(x x ,y  y )， 1 1 2 2 1 2 1 2 由方程①， 4(k3) x x  . ② 1 2 1k2 又 y  y k(x x )4. ③ ……8分 1 2 1 2  而P(0,2),Q(6,0),PQ(6,2).    所以OAOB与PQ共线等价于 2(x x )6(y  y )， 1 2 1 2 3 将②③代入上式，解得k  . ……11分 4 3 由（Ⅰ）知k( ,0)，故没有符合题意的常数k. ……12分 4 （22） P （Ⅰ）证明：连结OP，OM. 因为AP与⊙O相切于点P，所以 A O OP⊥AP. 因为M是⊙O的弦BC的中点，所以 M B OM⊥BC. C 于是∠OPA＋∠OMA=180°，由圆心O在PAC的内部，可知四边形APOM的对角互补， 所以A，P，O，M四点共圆. ……6分 （Ⅱ）解：由（Ⅰ）得A，P，O，M四点共圆，所以 ∠OAM=∠OPM. 由（Ⅰ）得OP⊥AP. 由圆心O在PAC的内部，可知∠OPM＋∠APM=90°. 所以∠OAM＋∠APM=90°. ……10分 （23）解： 以极点为原点，极轴为x轴正半轴，建立平面直角坐标系，两坐标系中取相同的长度单 位. 第8页 | 共9页（Ⅰ）xcos, ysin，由4cos得 2 4cos， 所以x2  y2 4x. 即x2  y2 4x0为⊙O的直角坐标方程. 1 同理x2  y2 4y0为⊙O的直角坐标方程. ……6分 2 x2  y2 4x0, （Ⅱ）由 x2  y2 4y0 x 0, x 2, 解得  1  2 y 0; y 2. 1 2 即⊙O，⊙O交于点（0，0）和(2, 2). 过交点的直线的直角坐标方程为yx. 1 2 ……10分 第9页 | 共9页