2007年辽宁高考理科数学真题及答案_数学高考真题试卷_旧1990-2007·高考数学真题_1990-2007·高考数学真题·PDF_辽宁

2007 年辽宁高考理科数学真题及答案 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3 至4页．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷（选择题 共60分） 参考公式： 如果事件A，B互斥，那么 球的表面积公式 P(AB) P(A)P(B) S 4πR2 如果事件A，B相互独立，那么 其中R表示球的半径 P(A B) P(A) P(B) 球的体积公式   4 如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么 V  πR3 3 n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率 其中R表示球的半径 P (k)Ckpk(1 p)nk(n0，1，2， ，n) n n  一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的． 1．设集合U {1，2，3，4，5}，A{1，3}，B{2，3，4}，则 ð A ð B（ ） U  U A．{1} B．{2} C．{2，4} D．{1，2，3，4} 2．若函数y  f(x)的反函数图象过点(1，5)，则函数y  f(x)的图象必过点（ ） A．(1，1) B．(1，5) C．(5，1) D．(5，5) 3． 角为（ ） π π π A．0 B． C． D． 6 3 2 4．设等差数列{a }的前n项和为S ，若S 9，S 36，则a a a （ ） n n 3 6 7 8 9 A．63 B．45 C．36 D．27 3 5  5．若  π，π ，则复数(cossin)(sincos)i在复平面内所对应的点在（ ） 4 4  A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 6．若函数y  f(x)的图象按向量 平移后，得到函数y  f(x1)2的图象，则向量 （ ） 第1页 | 共13页A．(1，2) B．(1，2) C．(1，2) D．(1，2) 7．若m，n是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，则下列命题中的真命题是 （ ） A．若m，，则m B．若 m  n，m∥n，则∥   C．若m，m∥，则 D．若，⊥，则 x y2≤0，  y 8．已知变量x，y满足约束条件x≥1， 则 的取值范围是（ ） x  x y7≤0，  9   9 A． ，6  B． ，  6， 5   5 C．，3 6， D．[3，6]  9．一个坛子里有编号为1，2，…，12的12个大小相同的球，其中1到6号球是红球，其 余的是黑球，若从中任取两个球，则取到的都是红球，且至少有1个球的号码是偶数的概率 是（ ） 1 1 3 2 A． B． C． D． 22 11 22 11 5 1 10．设 p，q是两个命题： p:log (|x|3)0，q:x2  x 0，则 p是q的（ ） 1 6 6 2 A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 y2 11．设 P为双曲线 x2  1上的一点， F，F 是该双曲线的两个焦点，若 12 1 2 |PF |:|PF |3:2，则△PFF 的面积为（ ） 1 2 1 2 A．6 3 B．12 C．12 3 D．24 12．已知 f(x)与g(x)是定义在R上的连续函数，如果 f(x)与g(x)仅当x0时的函数值 为0，且 f(x)≥g(x)，那么下列情形不可能出现的是（ ） A．0是 f(x)的极大值，也是g(x)的极大值 B．0是 f(x)的极小值，也是g(x)的极小值 C．0是 f(x)的极大值，但不是g(x)的极值 第2页 | 共13页D．0是 f(x)的极小值，但不是g(x)的极值 第Ⅱ卷（非选择题 共90分） 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分． acosx(x≥0)， 13．已知函数 f(x) 在点x0处连续，则a  ． x2 1(x0) x2 y2 14．设椭圆  1上一点P到左准线的距离为10，F 是该椭圆的左焦点，若点M 满 25 16  1    足OM  (OPDF)，则|OM |= ． 2 3 15．若一个底面边长为 ，棱长为 6 的正六棱柱的所有顶点都在一个平面上，则此球的 2 体积为 ． 16．将数字 1，2，3，4，5，6 拼成一列，记第i个数为a (i1，2， ，6)，若a 1， i  1 a 3，a 5，a a a ，则不同的排列方法有 种（用数字作答）． 3 5 1 3 5 三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）  π  π x 已知函数 f(x)sin  x  sin  x  2cos2 ，xR（其中0）  6  6 2 （I）求函数 f(x)的值域； （II）若对任意的aR，函数 y  f(x)，x(a，aπ]的图象与直线 y 1有且仅有 两个不同的交点，试确定的值（不必证明），并求函数y  f(x)，xR的单调增区间． 18．（本小题满分12分） 如图，在直三棱柱 ABCABC 中，ACB90， AC  BC a， D，E分别为棱 1 1 1 AB，BC的中点，M 为棱AA 上的点，二面角M DEA为30． 1 （I）证明：AB C D； 1 1 1 （II）求MA的长，并求点C到平面MDE 的距离． 第3页 | 共13页A C 1 1 M B 1 C A E D B 19．（本小题满分12分） 某企业准备投产一批特殊型号的产品，已知该种产品的成本C与产量q的函数关系式为 q3 C  3q2 20q10(q 0) 3 该种产品的市场前景无法确定，有三种可能出现的情况，各种情形发生的概率及产品价格 p 与产量q的函数关系式如下表所示： 市场情形 概率 价格 p与产量q的函数关系式 好 0.4 p1643q 中 0.4 p1013q 差 0.2 p704q 设L，L，L 分别表示市场情形好、中差时的利润，随机变量，表示当产量为q，而市 1 2 3 k 场前景无法确定的利润． （I）分别求利润L，L，L 与产量q的函数关系式； 1 2 3 （II）当产量q确定时，求期望E ； k （III）试问产量q取何值时，E 取得最大值． k 第4页 | 共13页20．（本小题满分14分） 已知正三角形OAB的三个顶点都在抛物线y2 2x上，其中O为坐标原点，设圆C是OAB 的内接圆（点C为圆心） （I）求圆C的方程； （II）设圆M 的方程为(x47cos)2 (y7cos)2 1，过圆M 上任意一点P分别  作圆C的两条切线PE，PF ，切点为E，F，求CE，CF 的最大值和最小值． 21．（本小题满分12分） 已知数列{a }，{b }与函数 f(x)，g(x)，xR满足条件： n n a b ， f(b ) g(b )(nN*). n n n n1 （I）若 f(x)≥tx1，t 0，t 2，g(x)2x， f(b) g(b)，lima 存在，求x的取 n n 值范围； （II）若函数 y  f(x)为R上的增函数，g(x) f 1(x)，b1， f(1)1，证明对任意 nN*，lima （用t表示）． n n 第5页 | 共13页22．（本小题满分12分） 1 已知函数 f(x) x2t 2t(x2 x)x2 2t2 1，g(x) f(x)． 2 （I）证明：当t 2 2 时，g(x)在R上是增函数； （II）对于给定的闭区间[a，b]，试说明存在实数 k，当 t k 时， g(x)在闭区间 [a，b]上是减函数； 3 （III）证明： f(x)≥ ． 2 参考答案 一、选择题：本在题考查基本知识和基本运算。每小题5分，满分60分。 1．C 2．A 3．C 4．D 5．B 6．B 7．C 8．A 9．D 10．D 11．A 12．B 二、填空题：本题考查基本知识和基本运算，每小题4分，共16分。 13．1 14．72 15．4 3 n 16．2 三、解答题 17．（本小题满分12分） 本小题主要考查频率、概率、总体分布的估计、独立重复试验等基础知识，考查运用统 计的有关知识解决实际问题的能力，满分12分。 第6页 | 共13页（Ⅰ）解： [900 ， [1100 ， [1300 ， [1500 ， [1700 ， [1900 ， 分组 [500，900］ 1100） 1300） 1500） 1700） 1900） ） 频数 48 121 208 223 193 165 42 频率 0.048 0.121 0.208 0.223 0.193 0.165 0.042 ……4分 （Ⅱ）解：由（Ⅰ）可得0.048+0.121+0.208+0.223＝0.6，所以灯管使用寿命不是1500 小时的频率为0.6.……8分 （Ⅲ）解：由（Ⅱ）知：1只灯管使用寿命不足1500小时的概率P=0.6.根据在n次独 立重复试验中事件恰好发生k次的概率公式可得 P(2)P (3)C10.62 0.40.62 0.648。 1 3 1 所以至少有2支灯管的使用寿命不足1500小时的概率是0.648.……12分 18．（本小题满分12分） 本小题主要考查空间中的线面关系、解三角形等基础知识，考查空间想象能力与思维能 力。满分12分。 （Ⅰ）证明：连结CD， ∵三棱柱ABC-ABC 是直三棱柱。 1 1 1 ∴CC⊥平面ABC， 1 ∴CD为CD在平面ABC内的射影， 1 ∵△ABC中，AC=BC，D为AB中点。 ∴AB⊥CD， ∴AB⊥CD， 1 ∵AB∥AB， 1 1 ∴AB⊥CD。 1 1 1 （Ⅱ）解法一：过点A作CE的平行线，交ED的延长线于F，连结MF. 第7页 | 共13页∵D、E分别为AB、BC的中点。 ∴DE∥AC。 又∵AF∥CE，CE⊥AC， ∴AF⊥DE。 ∵MA⊥平面ABC， ∴AF为MF在平面ABC内的射影。 ∴MF⊥DE， ∴∠MFA为二面角M-DE-A的平面角，∠MFA＝30°。 1 a 在Rt△MAF中，AF＝ BC  ,MFA30, 2 2 3 ∴AM= a 6 作AC⊥MF，垂足为G。 ∵MF⊥DE,AF⊥DE, ∴DE⊥平面AMF, ∴平面MDE⊥平面AMF. ∴AG⊥平面MDE a 在Rt△GAF中，∠GFA＝30°，AF= , 2 a a ∴AG= ,即A到平面MDE的距离为 。 4 4 ∵CA∥DE,∴CA∥平面MDE, a ∴C到平面MDE的距离与A到平面MDE的距离相等，为 。 4 解法二：过点A作CE的平行线，交ED的延长线于F，连结MF， 第8页 | 共13页∵D、E分别为AB、CB的中点， DE∥AC, 又∵AF∥CE,CE⊥AC, ∴AF⊥DE, ∵MA⊥平面ABC, ∴AF为MF在平面ABC内的射影， ∴MF⊥DE, ∴∠MFA为二面角M-DE-A的平面角，∠MFA＝30°。 1 a 在Rt△MAF中，AF= BC= ,MFA30, 2 2 3 ∴AM= a.……8分 6 设C到平面MDE的距离为h。 ∵V V , MCDE CMOC 1 1 ∴ S MA S h, 3 CDE 3 MDE 1 a2 3 S  CEDE ,MA a, CDE 2 8 6 1 1 AF 3 S  CEMF  DE  a2, MDE 2 2 cos30 12 1 a2 3 1 3   a  a2 h， 3 8 6 3 12 a a ∴h= ，即C到平面MDE的距离为 。……12分 4 4 19．（本小题满分12分） 本小题主要考查三角函数公式，三角函数图象和性质等基础知识，考查综合运用三角函 数有关知识的能力。满分12分。 3 1 3 1 f(x) sinx cosx sinx cosx(cosx1) 2 2 2 2 3 1 （Ⅰ）解：2( sinx cosx)1 2 2  2sin(cos )1. 6 第9页 | 共13页  由-1≤sin(cosx )≤1，得-3≤2sin(cosx )1≤1。 6 6 可知函数 f(x)的值域为［-3,1］ （Ⅱ）解：由题设条件及三角函数图象和性质可知，y f(x)的周其为w，又由w＞0， 2 得 ，即得w=2。 w     于是有 f(x)2sin(2x )1，再由2k 2 2k (kZ)，解得 6 2 6 2   k xk (kZ)。 6 3   所以y f(x)的单调增区间为［k ,k (kZ)］ 6 3 20．（本小题满分12分） 本小题主要考查等差数列、等比数列等基础知识，考查基本运算能力，满分12分。 （Ⅰ）解：由题设得a b (a b )2(n2)，即 n n n1 n1 C C 2(n2) n c1 易知{Cn}是首项为a+b=3，公差为2的等差数列，通项公式为 1 1 Cn=2n+1 1 （Ⅱ）解：由题设得a b  (a b )(n2)，令d a b ，则 n n 2 n1 n1 n n n 1 d  d (n2)。 n 2 n1 1 易知{d }是首项a b 1，公比为 的等比数列，通项公式为 n n n 2 1 d ＝ ……8分 n 2n1 a b 2n1, n n  由于 1 解得 a b    n n 2n1 第10页 | 共13页1 1 a ＝ n 。……10分 n 2n 2 求和得 1 n2 S   n1。……12分 n 2n 2 21．（本小题满分14分） 本小题主要考查平面向量，圆与抛物线的方程及几何性质等基本知识，考查综合运用解 析几何知识解决问题的能力。满分14分。 y2 y2 （Ⅰ）解法一：设A、B两点坐标分别为（ 1 ,y ），（ 2 ,y ），由题设知 2 1 2 2 y2 y2 y2 y2 ( 1 )2  y2  ( 2 )2  y2  ( 1  2 )2 (y  y )2 ， 2 1 2 2 2 2 1 2 解得y2  y2 12， 1 2 所以A（6，2 3 ），B（6，-2 3 ）或A（6，-2 3 ），B（6，2 3 ）。 2 设圆心C的坐标为（r,0），则r  64，所以圆C的方程为 3 (x4)2  y2 16. 解法二：设A、B两点坐标分别为（x，y），（x，y），由题设知 1 1 2 2 x2  y2 x2  y2 1 1 2 2 又因为y2 2x ,y2 2x ，可得x2 2x x2 2x ，即 1 1 2 2 1 1 1 2 (x  x )(x  x 2)0。 1 2 1 2 由x＞0，x ＞0，可知x＝0，故A、B两点关于x轴对称，所以圆心C在x轴上， 1 2 1 3 3 3 3 设C点的坐标为（r,0），则A点的坐标为（ , r ），于是有( r)2 2 r，解得 2 2 2 2 r=4，所以圆C的方程为 (x4)2  y2 16。……4分 第11页 | 共13页（Ⅱ）解：设∠ECF＝2a，则 CECF |CE||CF|cos2a32cos2 a16……8分 r 4 在Rt△PCE中，cosa  ，由圆的几何性质得 |PC| |PC| PC  MC 1718, PC  MC 1716 1 2 所以 cos ,由此可得 2 3   16 8CECF  9   16 故CECF 的最大值为 ，最小值为—8。 9 22．（本小题满分12分） 本小题主要考查函数的性质、导数的应用、不等式的解法等知识，考查数形结合能力以 及综合运用基本关系解决问题的能力。满分12分。 解（I）由题设得g(x)3x2 18xcos48cos,由 g(1e1)0,g(xsint)0 3  得：g(1e0) g(2)0,g(3sin ) g(2)0,g(4) g(3sin )0 2 2 即有： g(2)1236cos48cos0  g(4)4872cos48cos0 由上式得3636cos0，即1cos0又1cos0，故cos1得： f(x) x2 9x2 24x （II）解：由题设知，对任意的m∈[-26，6]恒有mx9x2 24x110,令 h(m)mx9x2 24x11, 则有 h(26)26x9x2 24x110  h(6)6x9x2 24x110 第12页 | 共13页解得：  11   x1   9  1 11    x  3 3 第13页 | 共13页