2007年重庆高考理科数学真题及答案_数学高考真题试卷_旧1990-2007·高考数学真题_1990-2007·高考数学真题·PDF_重庆

2007 年重庆高考理科数学真题及答案 本卷满分150分，考试时间120分钟 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个备选项中，只 有一项是符合题目要求的. 1、若等差数列{a }的前3项和S 9且a 1，则a 等于（ ） n 3 1 2 A、3 B、4 C、5 D、6 2、命题“若x2 1，则1 x 1”的逆否命题是（ ） A、若x2≥1，则x≥1或x≤1 B、若1 x 1，则x2 1 C、若x 1或x  1，则x2 1 D、若x≥1或x≤1，则x2≥1 3、若三个平面两两相交，且三条交线互相平行，则这三个平面把空间分成（ ） A、5部分 B、6部分 C、7部分 D、8部分 1 4、若(x )n展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为（ ） x A、10 B、20 C、30 D、120 5、在ABC中，AB  3,A 45,C 75，则BC等于（ ） A、3 3 B、 2 C、2 D、3 3 6、从5张100元，3张200元，2张300元的奥运预赛门票中任取3张，则所取3张中至 少有2张价格相同的概率为（ ） 1 79 3 23 A、 B、 C、 D、 4 120 4 24 2ab 7、若a是12b与12b的等比中项，则 的最大值为（ ） |a|2|b| 2 5 2 5 2 A、 B、 C、 D、 15 4 5 2 an1 abn1 8、设正数a,b满足lim 等于（ ） n an1 2bn 1 1 A、0 B、 C、 D、1 4 2 9、已知定义域为R的函数 f(x)在(8,)上为减函数，且函数y  f(x8)为偶函数，则 （ ） A、 f(6)  f(7) B、 f(6)  f(9) C、 f(7)  f(9) D、 f(7)  f(10) 第1页 | 共10页D 10 、 如 右 图 ， 在 四 边 形 ABCD 中 ， C | AB|| BD|| DC | 4， | AB|| BD|| BD|| DC | 4， ABBD  BDDC 0，则(ABDC)AC的值为（ ） A B A、2 B、2 2 C、4 D、4 2 二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.把答案填写在答卷相应位置上. 2i 11、复数 的虚部为_______________. 2i3 x y 1,  12、已知x、y满足2x y  4,则函数z  x3y的最大值是____________.  x 1,  13、若函数 f(x)  2x22axa 1的定义域为R，则a的取值范围为___________________. 14、设{a }为公比q 1的等比数列，若a 和a 是方程4x2 8x30的两根，则 n 2004 2006 a a _____________. 2006 2007 15、某校要求每位学生从7门课程中选修4门，其中甲、乙两门课程不能都选，则不同的 选课方案有__________种.（以数字作答） 16、过双曲线x2  y2  4的右焦点F作倾斜角为105的直线，交双曲线于P、Q两点，则 | FP|| FQ|的值为_____________. 三、解答题：本大题共6小题，共76分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17（本小题满分13分，其中（Ⅰ）小问9分，（Ⅱ）小问4分） 设 f(x) 6cos2 x 3sin2x. （Ⅰ）求 f(x)的最大值及最小正周期； 4 （Ⅱ）若锐角满足 f(32 3，求tan 的值. 5 18（本小题满分13分，其中（Ⅰ）小问4分，（Ⅱ）小问9分） 某单位有三辆汽车参加某种事故保险.单位年初向保险公司缴纳每辆900元的保险金， 对在一年内发生此种事故的每辆汽车，单位可获9000元的赔偿（假设每辆车最多只赔偿一 次）.设这三辆车在一年内发生此种事故的概率分别为1/9、1/10、1/11，且各车是否发生 事故相互独立.求一年内该单位在此保险中： （Ⅰ）获赔的概率； 第2页 | 共10页（Ⅱ）获赔金额的分布列与期望. 19（本小题满分13分，其中（Ⅰ）小问8分，（Ⅱ）小问5分） 如右图，在直三棱柱ABC  A BC 中，AA  2,AB 1,ABC 90；点D、E分 1 1 1 1 别在BB、A D上，且B E  A D，四棱锥C  ABDA 与直三棱柱的体积之比为3:5. 1 1 1 1 1 （Ⅰ）求异面直线DE与BC 的距离； 1 1 （Ⅱ）若BC  2，求二面角A 1 DC 1 B 1 的平面角的正切值. A 1 C 1 B 1 E D A CC B 20（本小题满分13分，其中（Ⅰ）、（Ⅱ）、（Ⅲ）小问分别为6、4、3分） 已知函数 f(x)  ax4 lnxbx4 c(x 0)在x 1处取得极值3a，其中a、b为 常数. （Ⅰ）试确定a、b的值； （Ⅱ）讨论函数 f(x)的单调区间； 第3页 | 共10页（Ⅲ）若对任意x 0，不等式 f(x) 2c2恒成立，求c的取值范围. 21（本小题满分12分，其中（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问7分） 已 知 各 项 均 为 正 数 的 数 列 {a }的 前 n项 和 S 满 足 S 1， 且 n n 1 6S (a 1)(a 2),nN . n n n  （Ⅰ）求{a }的通项公式； n （Ⅱ）设数列{b }满足a (2b n 1) 1，并记T 为{b }的前n项和，求证： n n n n 3T 1log (a 3),nN . n 2 n  22（本小题满分12分，其中（Ⅰ）小问4分，（Ⅱ）小问8分） 如右图，中心在原点O的椭圆的右焦点为F(3,0)，右准线l的方程为：x 12. （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）在椭圆上任取三个不同点P、P、P ，使PFP P FP P FP，证明： 1 2 3 1 2 2 3 3 1 1 1 1 y   为定值，并求此定值. | FP | | FP | | FP | l 1 2 3 P P 1 2 O F x P 3 第4页 | 共10页参考答案（理工科） 一、选择题 ADCBA CBBDC 二、填空题： 4 11、 12、7 13、[1,0] 5 8 3 14、18 15、25 16、 3 三、解答题： 1cos2x 17、解：（Ⅰ） f(x) 6  3sin2x 3cos2x 3sin2x3 2 3 1   2 3( cos2x sin2x)3  2 3cos(2x )3 2 2 6 2 故 f(x)的最大值为2 33； 最小正周期T  . 2   （Ⅱ）由 f() 32 3得2 3cos(2 )332 3，故cos(2 )  1. 6 6      5 又由0 得  2  ，故2 ，解得 . 2 6 6 6 6 12 4  从而tan  tan  3. 5 3 18、解：设A 表示第k辆车在一年内发生此种事故，k 1,2,3. k 1 1 1 由题意知A ,A ,A 独立，且P(A )  ,P(A )  ,P(A )  . 1 2 3 1 9 2 10 3 11 （Ⅰ）该单位一年内获赔的概率为 8 9 10 3 1P(A A A ) 1P(A )P(A )P(A ) 1    . 1 2 3 1 2 3 9 10 11 11 （Ⅱ）的所有可能值为0,9000,18000,27000. 8 9 10 8 P(0)  P(A A A )  P(A )P(A )P(A )     , 1 2 3 1 2 3 9 10 11 11 P(9000)  P(A A A )P(A A A )P(A A A ) 1 2 3 1 2 3 1 2 3  P(A )P(A )P(A )P(A )P(A )P(A )P(A )P(A )P(A ) 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 9 10 8 1 10 8 9 1 242 11            ， 9 10 11 9 10 11 9 10 11 990 45 P(18000)  P(A A A )P(A A A )P(A A A ) 1 2 3 1 2 3 1 2 3  P(A )P(A )P(A )P(A )P(A )P(A )P(A )P(A )P(A ) 1 2 3 1 2 3 1 2 3 第5页 | 共10页1 1 10 1 9 1 8 1 1 27 3            ， 9 10 11 9 10 11 9 10 11 990 110 1 1 1 1 P( 27000)  P(A A A )  P(A )P(A )P(A )     . 1 2 3 1 2 3 9 10 11 990 综上知，的分布列为  0 9000 18000 27000 8 11 3 1 P 11 45 110 990 求的期望有两种解法： 解法一：由的分布列得 8 11 3 1 29900 0 9000 18000 27000   2718.18 11 45 110 990 11 （元） 解法二：设 表示第k辆车一年内的获赔金额，k 1,2,3， k 则有分布列 1  0 9000 1 8 1 P 9 9 1 故 9000 1000. 1 9 1 1 同理得 9000 900, 9000 818.18. 2 10 3 11 综上有    1000900818.18 2718.18（元）. 1 2 3 19、解法一： （Ⅰ）因BC  A B ，且BC  BB ，故BC 面AABB，从而BC⊥BE，又 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 BE⊥DE，故BE是异面直线BC 与DE的公垂线. 1 1 1 1 设BD的长度为x，则四棱椎C  ABDA 的体积V 为 1 1 1 1 1 V  S BC  (DB A A)ABBC  (x2)BC. 1 3 ABDA 1 6 1 6 而 直 三 棱 柱 ABC  A BC 的 体 积 V 为 1 1 1 2 1 V  S AA  ABBCAA  BC . 2 ABC 1 2 1 第6页 | 共10页1 3 8 由已知条件V 1 :V 2 3:5，故 6 (x2)  5 ，解得x  5 . A 1 C 1 B 8 2 1 从而BD B BDB  2  . F 1 1 5 5 E D 又直角三角形A B D中， 1 1 2 29 A D  A B 2 B D2  1( )2  , 1 1 1 1 5 5 A CC 1 1 B 又因S  A DB E  A B B D. A 1 B 1 D 2 1 1 2 1 1 1 AB B D 2 29 故B E  1 1 1  . 1 AD 29 1 （Ⅱ）如右图，过B 作BF⊥CD，垂足为F，连接AF.因AB⊥BC，AB⊥BD， 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 故AB⊥面BDC，由三垂线定理知CD⊥AF，故∠AFB 为所求二面角的平面角. 1 1 1 1 1 1 1 1 2 3 6 在直角C B D中，C D  BC 2 B D2  2( )2  ， 1 1 1 1 1 1 5 5 1 1 又因S  C DB F  BC B D，故 C 1 B 1 D 2 1 1 2 1 1 1 BC B D 2 3 A B 3 3 B F  1 1 1  ，所以tanA FB  1 1  . 1 C D 9 1 1 B F 2 1 1 20、解：（Ⅰ）由题意知 f(1)  3c，因此bc  3c，从而b  3. 1 又对 f(x)求导得 f /(x)  4ax3lnxax4  4bx3  x3(4alnxa4b). x 由题意 f /(1) 0，因此a4b 0，解得a 12. （Ⅱ）由（Ⅰ）知 f /(x)  48x3lnx(x 0).令 f /(x) 0，解得x 1. 当0 x 1时， f /(x)0，此时 f(x)为减函数； 当x 1时， f(x) 0，此时 f(x)为增函数. 因此 f(x)的单调递减区间为(0,1)，而 f(x)的单调递增区间为(1,). （Ⅲ）由（Ⅱ）知， f(x)在x 1处取得极小值 f(1)  3c，此极小值也是最小值. 要使 f(x) 2c2(x 0)恒成立，只需3c  2c2. 即2c2 c30，从而(2c3)(c1)0. 第7页 | 共10页3 解得c 或c  1. 2 3 所以c的取值范围为(,1] [ ,)  2 1 21、（Ⅰ）解：由a  S  (a 1)(a 2)，解得a 1或a  2.由假设a  S 1， 1 1 6 1 1 1 1 1 1 因 此a  2. 1 1 1 又由a  S S  (a 1)(a 2) (a 1)(a 2)，得 n1 n1 n 6 n1 n1 6 n n (a a )(a a 3) 0，即a a 30或a  a . n1 n n1 n n1 n n1 n 因a 0，故a  a 不成立，舍去. n n1 n 因此a a 3，从而{a }是公差为3，首项为2的等差数列，故{a }的通项 n1 n n n 为 a 3n1. n 1 3n （Ⅱ）证法一：由a (2b n 1) 1可解得b log (1 )log n n 2 a 2 3n1 n 3 6 3n 从而T b b  b log (    ). n5 1 2  n 2 2 5  3n1 3 6 3n 2 因此3T 1log (a 3) log [(    )3  ]. n 2 n 2 2 5  3n1 3n2 3 6 3n 2 令 f(n) (    )3  ，则  2 5 3n1 3n2 f(n1) 3n2 3n3 (3n3)3  ( )3  . f(n) 3n5 3n2 (3n5)(3n2)2 因(3n3)3 (3n5)(3n2)2 9n7 0，故 f(n1)  f(n). 27 特别地 f(n) f(1)  1，从而3T 1log (a 3) log f(n) 0， 20 n 2 n 2 即3T 1log (a 3). n 2 n 证法二：同证法一求得b 及T . n n 由二项式定理知，当c 0时，不等式(1c)3 13c成立. 1 1 1 由此不等式有3T 1log 2(1 )3(1 )3 (1 )3 n 2 2 5  3n1 第8页 | 共10页3 3 1 5 8 3n2 log 2(1 )(1 ) (1 ) log (2    ) log (3n2) log (a 3) 2 2 5  3n1 2 2 5  3n1 2 2 n . 证法三：同证法一求得b 及T . n n 3 6 3n 4 7 3n1 5 8 3n2 令A     ,B     ,C     . n 2 5  3n1 n 3 6  3n n 4 7  3n1 3n 3n1 3n2 3n2 因   ，因此A 3  A B C  . 3n1 3n 3n1 n n n n 2 从而 3 6 3n 3T 1log 2(    )3 log 2A 3 log 2A B C log (3n2)log (a 3) n 2 2 5  3n1 2 n 2 n n n 2 2 n 证法四：同证法一求得b 及T . n n 下面用数学归纳法证明：3T 1log (a 3). n 2 n 27 当n 1时，3T 1log ,log (a 3)log 5，因此3T 1log (a 3)，结 1 2 4 2 1 2 n 2 n 论成立. 假设结论当n  k时成立，即3T 1log (a 3)，则当n  k 1时， k 2 k 3T 1log (a 3) 3T 13b log (a 3) k1 2 k1 k k1 2 k1 (3k 3)3 log (a 3)log (a 3)3b log . 2 k 2 k1 k1 2 (3k 5)(3k 2)2 (3k 3)3 因(3k 3)3 (3k 5)(3k 2)2 9k 7 0，故log 0. 2 (3k 5)(3k 2)2 从而3T 1log (a 3).这就是说当n  k 1时结论也成立. n1 2 k1 综上3T 1log (a 3)对任何nN 成立. n 2 n  x2 y2 22、解：（Ⅰ）设椭圆方程为  1. a2 b2 y l 因焦点为F(3,0)，故半焦距c 3.又右 P a2 P 2 1 Q 1 准线l的方程为x  ，从而由已知 c O F A x P 3 第9页 | 共10页a2 12,a2 36， c 因此a 6,b  a2 c2  27 3 3. x2 y2 故所求椭圆方程为  1. 36 27 （Ⅱ）记椭圆的右顶点为A，并设AFP (i 1,2,3)，不失一般性，假设 i i 2 2 4 0  ，且   ,   . 1 3 2 1 3 3 1 3 c 1 又设P在l上的射影为Q ，因椭圆的离心率e   ， i i a 2 从 而 有 a2 1 | FP || PQ |e ( c| FP |cos)e  (9| FP |cos) (i 1,2,3). i i i c i i 2 i i 1 2 1 解得  (1 cos) (i 1,2,3). 因此 | FP | 9 2 i i 1 1 1 2 1 2 4    [3 (cos cos(  )cos(  ))]， | FP | | FP | | FP | 9 2 1 1 3 1 3 1 2 3 而 2 4 1 3 1 3 cos cos(  )cos(  )cos  cos  cos  cos  cos 0， 1 1 3 1 3 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 1 1 2 故    为定值. | FP | | FP | | FP | 3 1 2 3 第10页 | 共10页