文档内容
2024－2025 学年第一学期定西市普通高中高二年级教学质量统一
检测试题（卷）
数学
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改
动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在
本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
4．本试卷主要考试内容：湘教版选择性必修第一册．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的．
1. 已知直线 经过点 ， ，则 的倾斜角为（ ）
A. B. C. 0 D.
【答案】C
【解析】
的
【分析】根据倾斜角 定义可求答案.
【详解】因为直线经过 ， ，所以直线 为 轴，
所以直线 的倾斜角为0．
故选：C.
2. 从甲地到丙地要经过乙地，已知从甲地到乙地有4条路，从乙地到丙地有3条路，则从甲地到丙地不同
的走法有（ ）
A. 3种 B. 4种 C. 7种 D. 12种
【答案】D
【解析】【分析】根据分步乘法计数原理，可直接得出结果.
【详解】由分步乘法计数原理，可知从甲地到丙地不同的走法有 种．
故选：D
3. 已知数列0， ， ， ，…，根据该数列的规律，该数列中小于1的项有（ ）
A. 8项 B. 9项 C. 10项 D. 11项
【答案】B
【解析】
【分析】观察数列可得通项公式为 ，解不等式可得结果.
【详解】根据规律可得该数列的通项公式为 ，
由 得， ．
∵ ，∴该数列中小于1的项有9项．
故选：B.
4. 若双曲线 （ ， ）的离心率为 ，则其渐近线方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由双曲线的离心率为 ,即可求得渐近线方程 .
【详解】由题,因为 ,所以 ,
所以渐近线方程为 ,
故选:B
【点睛】本题考查求双曲线的渐近线方程,考查双曲线的离心率的应用.
5. 将2个相同的红球和2个相同的黑球放入2个不同的盒子中，每个盒子中至少放1个球，则不同的放法有（ ）
A. 5种 B. 6种 C. 7种 D. 8种
【答案】C
【解析】
【分析】满足条件的放法可分为两类，第一类，每个盒子放；两个球，第二类，一个盒子放一个球，另一
个盒子放 个球，结合分类加法原理求结论.
【详解】满足条件的放法可分为两类，
第一类，每个盒子放；两个球，满足条件的放法有3种；
第二类，一个盒子放一个球，另一个盒子放 个球，满足条件的放法有 种，
由分类加法计数原理可得，满足条件的不同的放法共有 种．
故选：C.
6. 已知椭圆 的左、右焦点分别为 ， ，上顶点为 ．过 且垂直于 的直线与 交
于 ， 两点，则 的周长为（ ）
A. 4 B. C. 8 D.
【答案】C
【解析】
【分析】结合垂直平分线性质可得 的周长与 的周长相等，再结合椭圆的定义求 的
周长即可.
【详解】因为 为线段 的垂直平分线，
根据对称性， ， ，所以 的周长等于 的周长，
利用椭圆的定义得到 的周长为 ．
故选：C.
7. 图中展示的是一座抛物线形拱桥，当水面在 时，拱顶离水面 ，水面宽 ，水面下降 后，水面
宽度为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】建立直角坐标系，直线交抛物线于两点，抛物线方程为 ， 代入抛物线，解得答
案.
【详解】建立如图所示的平面直角坐标系，则点 .设抛物线的方程为 ，
由点 可得 ，解得 ，所以 .
当 时， ，所以水面宽度为 .
故选：C.
8. 如图，给编号为1，2，3，…，6的区域涂色，要求每个区域涂一种颜色，相邻两个区域所涂颜色不能
相同，中心对称的两个区域（如区域1与区域4）所涂颜色相同．若有5种不同颜色的颜料可供选择，则
不同的涂色方案有（ ）A. 60种 B. 80种 C. 100种 D. 125种
【答案】A
【解析】
【分析】由题意可得，只需确定区域1，2，3的颜色，即可确定所有区域的涂色．根据分步乘法计算原理
运算求解.
【详解】由题意可得，只需确定区域1，2，3的颜色，即可确定所有区域的涂色．
先涂区域1，有5种选择；再涂区域2，有4种选择；最后涂区域3，有3种选择．
故不同的涂色方案有 种．
故选：A.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知 ，则（ ）
A. B.
的
C. D. 展开式中所有项 二项式系数的和为16
【答案】ABD
【解析】
【分析】借助赋值法令 可得A；借助二项式的展开式的通项公式计算可得B；借助赋值法令 ，
结合A中所得可得C；借助二项式系数的和的性质可得D.
【详解】对A：令 ，可得 ，故 ，A正确；
对B： ，所以 ，B正确；
对C：令 ，可得 ，则 ，C错误；对D：展开式中所有项的二项式系数的和为 ，D正确．
故选：ABD.
10. 已知等比数列 的前 项积为 ， ，且 ，则下列结论正确的是（ ）
A. B. 的公比为
C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据 的定义，由 可求 ，判断A，结合等比数列通项公式求 ，判断B，结合指数幂的
运算性质，等差数列通项公式求 ，判断D，再求 判断C.
【详解】因为 ，所以 ，A正确．
设公比为 ，因为 ， ，
所以 ，B正确．
，D正确．
，C错误．
故选：ABD .
11. 已知圆 ，直线 ，下列结论正确的是（ ）
A. 若直线 与圆 相切，则
B. 若 ，则圆 上到直线 的距离为 的点恰有2个
C. 若圆 上存在点 ，直线 上存在点 ，使得 ，则 的取值范围为D. 已知 ， ， 为圆 上异于 的一点，若 ，则 的最大值为
【答案】BCD
【解析】
【分析】由直线与圆相切可得圆心到直线的距离等于半径，列方程求 判断A，求 时圆心到直线 的
距离，由此判断B，在直线 与圆的不同位置关系下，转化条件列不等式求 的范围，判断C，设
，利用 表示 ，结合余弦函数及二次函数性质求 的最值，判断D.
【详解】圆 的圆心 的坐标为 ，半径为 ，圆心 到直线 的距离 ，
因为直线 与圆 相切，所以 ，解得 ，A错误．
当 时，圆心 到直线 的距离 ， ，
故圆 上到直线 的距离为 的点恰有 个，B正确．
当直线 与圆 相交或相切时，满足圆 上存在点 ，直线 上存在点 ，使得 ．
当直线 与圆 相离时， 与圆 相切时， 最大，
要满足题意，只需 ，即 ， ，解得 ，C正确．
根据圆的对称性，不妨令 在 轴右侧，
设 的中点为 且 ， ．
要使 最大，只需保证 在 轴上方，即 ，如下图，．
当 时， 与 轴垂直时， 取最大值，为 ，D正确．
故选：BCD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 抛物线 的准线方程为______．
【答案】
【解析】
【分析】抛物线 ，其准线方程为 .
【详解】抛物线 的准线方程为 ．
故答案为： .
13. 的展开式中，各项系数的最大值是______．
【答案】7
【解析】
【分析】先写出通项公式，列出不等式组，求解出 可得答案.
【详解】展开式的通项为 且 ．设展开式中第 项的系数最大，则 即 ，
又 ，所以 或6，故展开式中系数最大的项是第6项或第7项，
且该项系数为 ．
故答案为：7
14. 已知 是各项都为正整数的递减数列，若 ，则 的最大值为______；当 取最
大值时， 的最小值为______．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】先证明 ，再证明 时，满足条件 的存在，再由 时， ，并证明
满足条件的数列不存在， 时存在满足条件的数列，由此可得结论.
【详解】当 时， ，与条件矛盾，
所以 ，
数列 满足要求，
所以 的最大值为 ，
当 时，由已知 ，
当 ，则数列只能为 ，
但 ，与条件矛盾，当 时，存在数列 满足条件，
所以当 取最大值时， 的最小值为 ．
故答案为： ； .
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15. 甲、乙、丙、丁、戊五名同学站成一排拍照．
（1）甲，乙两人不相邻的站法共有多少种？
（2）甲不站排头或排尾，且甲、乙两人相邻的站法共有多少种？
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用插空法结合分步乘法计数原理求解；
（2）将满足条件的站法分为两类，乙站在排头或排尾，甲、乙都不站排头或排尾，结合捆绑法及分类加
法计数原理求解.
【小问1详解】
先排丙、丁、戊，有 种站法．
再插空排甲、乙．有 种站法．
故甲、乙两人不相邻的站法共有 种．
【小问2详解】
满足条件的站法可分为两类，
第一类：乙站在排头或排尾，则有 种站法．
第二类：甲、乙都不站排头或排尾，则有 种站法．
故甲不站排头或排尾，且甲、乙两人相邻的站法共有 种．
16. 已知等差数列 的公差为 ， 是等比数列， ．（1）求 和 的通项公式；
（2）求数列 的前 项和 ．
【答案】（1） ，
（2）
【解析】
【分析】（1）根据等差数列以及等比数列定义计算即可求得结果；
（2）利用分组求和由等差数列和等比数列前 项和公式代入计算可得结果.
【小问1详解】
设 的公比为 ．
因为 ，所以 ，故 ．
又 ，所以 ．
【小问2详解】
记 和 的前 项和分别为 ， ，则 ．
又 ，
，
所以 ．
17. 已知 的顶点 ， 边上的高所在直线 的方程为 ，角 的平分线所在
直线 的方程为 ．
的
（1）求直线 方程；（2）求直线 的方程．
【答案】（1） ；
（2） ．
【解析】
【分析】（1）根据垂直直线的斜率关系由AB边上的高的方程求直线AB的斜率，再由点斜式求结论；
（2）联立直线 与直线AB的方程求点 的坐标，求点 关于 的对称点的坐标，由此可得直线 的斜
率，利用点斜式求结论.
【小问1详解】
因为 边上的高所在直线 的方程为 ，
所以直线 的斜率为 ，直线 的斜率为 ，
所以直线 的方程为 ，即 ．
【小问2详解】
联立 ，解得 ，即 ．
设点 关于直线 对称的点为 ，
所以 ，
解得 ，即 ．
直线 的斜率为 ，
所以直线 的方程为 ，整理得 ．18. 已知数列 满足 ，当 时， ．
（1）求 的通项公式；
（2）求数列 的前 项和 ．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据递推关系式利用裂项相消法求和可得 ，可得结果；
（2）解法一：利用错位相减法计算可得
解法二：分情况讨论n的奇偶，再分别求出表达式.
【小问1详解】
当 时， ，
即 ．
设 ，则 ， ，
．
所以 ．当 时，也符合 ，
所以 ．
【小问2详解】
解法一： ，①
，②
①－②得
，
所以 ．
解法二： ．
当 为偶数时， ．
当 为奇数时，
．
综上，
19. 已知 是椭圆 的一个顶点，点 是 上一点．
（1）求椭圆 的方程．（2）若过点 的直线 与椭圆 交于 ， 两点（异于点 ），设直线 ， 的斜率分别为
， ．
为
（ⅰ）证明： 定值．
（ⅱ）求 的最小值．
【答案】（1）
（2）（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）3
【解析】
【分析】（1）由条件列关于 的方程，解方程求 可得结论；
（2）（ⅰ）结合题意确定直线 的斜率不为 ，设直线方程为 ，联立方程组化简，结合设而不求
法证明结论；
（ⅱ）结合（ⅰ）表示 ，再求其最小值即可.
【小问1详解】
由题可知
解得 ， ，
所以椭圆 的方程为 ．
【小问2详解】
（ⅰ）证明：若直线 的斜率为 ，则直线 与椭圆的交点为 ，矛盾，
故直线 的斜率不为 ，设其方程为 ，M(x ,y )， ．
1 1由 ，
消 得: ，
方程的判别式 ，
由已知 为方程 的解，
所以 ， ，
因为 ， ，
所以
，为定值．
（ⅱ）
，
因为 ，当且仅当 时， 取得最小值 ，
所以 的最小值为 ．【点睛】（1）解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去 (或 )建立一元二次方程，
然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．（2）涉及到直线方程的设法时，
务必考虑全面，不要忽略直线斜率为 或不存在等特殊情形．
