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2024—2025 学年度第一学期高三第二次月考试题
数 学
时量：120分钟 分值：150分
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂
黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在
答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将答题卡交回。
第Ⅰ卷 选择题（共58分）
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的）
1．已知集合 ， ，则 （ ）
A． B．
C． D．
2．若复数z满足 （i为虚数单位），则z的模 |z|＝（ ）
A． B．1 C． D．5
3．“ ” 是 “ ” 的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．已知函数f(x)＝ ，则f (2024)的值为（ ）
A．－1 B．0 C．1 D．2
5．已知 ， ， ，则（ ）A．a>b>c B．b>a>c C．c>a>b D．a > c>b
6．已知函数f(x)＝ 若函数g(x)＝f(x)－b有三个不同的零点，则实数b的
取值范围为（ ）
A．(0，1] B．[0，1] C．(0，＋∞) D．(1，＋∞)
7．若α∈ ，tan 2α＝，则tan α＝（ ）
A． B． C． D．
8．挂钟的时针和分针从凌晨 0时起到下午14点所在的14小时内，分针与时针会重合
（ ）次（注意：0时开始的那次重合不计算在内）
A．11
B．12
C．13
D．14
二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项
符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9．已知正数 满足 ，则下列选项正确的是（ ）
A． 的最小值是4 B． 的最大值是1
C． 的最小值是1 D． 的最大值是
10．已知函数 的部分图象如图所示，则下列说
法正确的是（ ）
A．
B．函数 的图象关于直线 对称
C．函数 图象向右平移 个单位后得到
函数 的图像D．函数 在区间 上是减函数
11．对于已知函数 ，下列论述正确的有（ ）
A．若 ，则函数 的单调递减区间为
B．若函数 在区间 上是增函数，则
C．当 ， 时，函数 图像的对称轴为
D．当 ， 时，函数 图像的对称中心为第Ⅱ卷 非选择题（共92分）
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分，其中14题第一空2分，第二空3
分）
12．函数 是定义在 上的奇函数，当 时， ，则 ＝ 。
13．如图是某个函数 的图象在 的一段
图像。写出函数 在 时满足图像的
一个解析式 ＝__________（写出一个即可）。
14．设 （其中 ， 为任意角），则求下列：
（1）当 时，且 时， 的取值范围为__________；
（2）当 时，且 时， 的取值范围为__________。
四、解答题（本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明证明过程或演算步骤。）
15.（本小题满分13分）
某公园为了提升公园形象，提高游客旅游的体验感，他们更新了部分设施，调整了
部分旅游线路。为了解游客对新措施是否满意，随机抽取了 100名游客进行调查，男游
客与女游客的人数之比为2∶3，其中男游客有35名满意，女游客有15名不满意。
满意 不满意 总计
男游客 35
女游客 15
合计 100
（1）请完成2×2列联表，依据表中数据，以及小概率值 的独立性检验，能否
认为游客对公园新措施满意与否与性别有关?
（2）从被调查的游客中按男、女分层抽样抽取5名游客，再随机从这5名游客中抽取3
名游客征求他们对公园进一步提高服务质量的建议，其中抽取男游客的人数为 。
求出 的分布列及数学期望。
参考公式： ，其中 .
参考数据：
0.10 0.05 0.010 0.0052.706 3.841 6.635 7.879
16.（本小题满分15分）
已知函数 .
（1）求函数 的最小正周期和单调递增区间；
（2）若把 的图像先向右平移 个单位，再向上平移1个单位，得到
的图像。则当 时，求使得 时所有 的取值。
17.（本小题满分15分）
在锐角△ABC中，内角A, B, C的对边分别为a, b, c，已知
（1）求角C；
（2）若 ，AB边上的中线长为 ，求△ABC的面积S.
18.（本小题满分17分）
已知双曲线 的焦距为 且左右顶点分别为 ，过点
的直线 与双曲线 的右支交于 两点。
（1）求双曲线的方程；
（2）若直线 的斜率为 ，求弦长 ；
（3）记直线 的斜率分别为 ，证明： 是定值。
19.（本小题满分17分）
已知函数 ，
（1）若 ， 时，求 的极值；
（2）若 时，
①证明： 有唯一零点 ，且 ；
②若我们任取 开始，实施如下步骤：
在 处作曲线 的切线，交 轴于点 ；
在 处作曲线 的切线，交 轴于点 ；……。
在 处作曲线 的切线，交 轴于点 ；
可以得到一个数列 ，它的各项都是 不同程度的零点近似值.
设 ，求 的解析式(用 表示 )；
并证明：当 ，总有 .2024—2025 学年度第一学期高三第二次月考答案
数 学
第Ⅰ卷 选择题（共58分）
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D B A C D D A B
二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项
符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
题号 9 10 11
答案 BD BCD A D
【部分选择题解析】
4．因为f(x)＝所以f(2 024)＝f(2 023)＝f(2 022)＝…＝f(1)，
又f(1)＝f(1－1)＝f(0)＝－ln(0＋e)＋2＝－1＋2＝1，所以f(2 024)＝1. 故选C.
5．由题得a>1 ，b<0. 0<c<1。故选：D
6．依题意，函数g(x)＝f(x)－b有四个不同的零点，
即f(x)＝b有三个解，转化为函数y＝f(x)与y＝b的图象有三个交点，
由函数y＝f(x)可知，当x∈(－∞，－1]时，函数单调递减，y∈[0，＋∞)；
当x∈(－1，0]时，函数单调递增，y∈(0，1]；
当x∈(0，1)时，函数单调递减，y∈(0，＋∞)；
当x∈[1，＋∞)时，函数单调递增，y∈[0，＋∞)．
结合图象，可知实数b的取值范围为(1，＋∞)．故选D
7．∵tan 2α＝∴tan 2α＝＝＝，
∵α∈，∴cos α≠0，∴＝，解得sin α＝，
∴cos α＝＝，∴tan α＝＝.
8．分针的角速度 , 时针的角速度 ,
所以 ，
因为14小时为 ， 。 故重合
12次
9．对于A：因为正数 ， 满足 ，所以 ，
当且仅当 ，即 时取等号，故A错误；
对于B： ，所以 ，
当且仅当 时等号成立，故B正确；
对于C：因为 ，即 ，
且 ， ，
由抛物线的性质可得，当 时，最小值为 ，故C错误；
对于D：由C可得 ，当 时，
最大值为 ，故D正确；故选：BD
10．由图可得， ， ，解得 ， 又函数图象经过点 ，
则 ，即 ，
因 ，故 ，解得 ，故 . 故
A错误；
对于B，当 时， ，此时函数取得最小值，故B正
确；
对于C， ，故C正
确；
对于D，将函数 在区间 上是减
函数，
当 时， ，故D正确。
11． . 则A对；
在区间 上恒成立，即 即
, 故B错；
三次函数图像没有对称轴，故C错；对于D有两种解法：
解法一：函数 ， 为奇函数，则
关于（0,0）对称，所以 关于（1,0）对称，故D对。
解法二：直接利用拐点结论
任何三次函数都有对称中心，对称中心的横坐标是二阶导数的零点，， ， 由
，
于 是 该 三 次 函 数 的 对 称 中 心 为 ， 由 题 意
也是对称中心，
故 ，故D对。
第Ⅱ卷 非选择题（共92分）
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分，其中14题第一空2分，第二空3
分）
12． 13． ， ， , 或者 (写一个，答案不唯一)
14．
【部分填空题解析】
14．（1）当 ,
因为 ， ，
（ ）当 时，
2 x = 8
令 , ,则 ,则
四、解答题（本题共5小题，共77分。）
15．解：（1）因为调查的男游客人数为： ，
所以，调查的女游客人数为 ，
于是可完成 列联表如下：满意 不满意 总计
男游客 35 5 40
女游客 45 15 60
合计 80 20 100
………………（2分 错1个扣1
分）
零假设为 ：游客对公园新措施满意与否与性别无关.根据列
联表中的数据，得：
………………（5分，公式给1分）
根据小概率值 的 独立性检验，没有充分证据推
断 不成立，因此可以认为 成立，即游客
对公园新措施满意与否与性别无关…（6分）
（2）由（1）可知男游客抽2人，女游客抽3人， ……（7分）
依题意可知 的可能取值为0，1，2， ……（8
分）
并且 服从超几何分布，即 ，
，
. …………（11分 每对一个给1分）
所以 的分布列为：
0 1 2
…………（12分）
.
…………（13分）
16．解：（1）因为
…………（1分）
…………（2分）
…………（3分）
，
…………（4分）
所以 的最小正周期 ，
…………（5分）
令 ， ，
解得 ， ，
…………（7分）
所以函数的单调递增区间为 ，
. …………（7分）
（2）由已知可得
…………（8分）
，
…………（9分）解得 或
…………（10分）
或
…………（11分）
时， ，
时， ， （15分，对1个1
分）
17．解：（1）由 得 （2
分）
所以 ，
…………（3分）
即 …
………（4分）
又 ，所以 ，
…………（5分）
又 ，得 …………（7
分）
（2）由余弦定理，得 ，
即 ①，
…………（9分）
设 的中点为 ，则
两边同时平方
可得
…………（10分）
即： ，即：
② …（12分）
由①可得： ，
…………（13分）
于是： 的面积
……（15分）18.（1）解：由双曲线 的焦距为 ，得 ，
解得 ，所以双曲线 的方程为
…………（4分）
（2）解：设直线 的方程为 ,
与双曲线的方程 联立得：
…………（5分）
则 ，
…………（7分）
所以： .
…………（9分）
（3）证明：方法不唯一，可消x，也可消y
消x的方法：
依题意，设直线 的方程为
， ，
由 消去x并整理得
T
，…（10分）
由直线 与双曲线的右支交于 两
点，
得可得 ，
解得 ，
…………（12分）
则 ， ，即
…（13分）
而 ，
所以
…………（14分）…………（16分）
为定值.
…………（17分）
消y的方法：
若直线 斜率不存在，则方程为
,
与双曲线的方程 联立得：
.
所以 ，所以
…………（10分）
若直线 斜率存在，设直线 的方程
为 ,
与双曲线的方程 联立得：
则 ，
…………（11分）
,所以
或 （12分）
……（14分）
因为， ，代入得到：
…………（17分）
19.（1）解： ,则 …………（1
分）…………（3分）
故当 时， 有极大值f
无极小值 …………（4分）
（2）①证明： ，定义域为 ，
所以， 在
上恒成立，
所以 在 上单调递
增。 …………（5分）
因为
…………（6分）
，
…………（7分）
所以，存在唯一 ，使得
，
即： 有唯一零点 ，且
. …………（8分）
②解：由已知 ，
所以，曲线 在 处的切线
斜率为 ，……（9分）
所以，曲线 在 处的切线
方程为
，
即
…………（10分）
令 得
…………（11分）
所以，切线与 轴的交点
，即 ，
所以， .
…………（12分）对任意的 ，由已知，曲线
在 处的切线方程为：
，故令
，
令
所以， ，
所以，当 时，
单调递增，
当 时， 单调
递减；
所以，恒有 ，
即 恒成立，当且仅当
时等号成立， ………（14分）
另一方面，由（i）知， ，且当
时， ，
（若 ，则 ，
故任意 ，显然矛盾）
因为 是 的零点，所以
因为 为单调递增函数，
所以，对任意的 时，总有
又因为 ，所以，对于任意
，均有 ，
所以，
所以 ，
综上，当 ，总有
…………（17分）
