文档内容
深圳外国语学校（集团）龙华高中部 2025 届高三年级
第一次月考 数学试卷
本试卷共4页，19小题，满分150分.考试用时120分钟.
注意事项：
1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答
题卡上.用2B铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡相应位置上.将条形码横贴在答题卡右上角“条形
码粘贴处”.
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上.
3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置
上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求
作答的答案无效.
4．考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求
的.
{ }
1．设集合A= x ex −3x<0 ，B={−1,0,1,2}，则集合AB=（ ）
A． {−1,2 } B． {−1,1,2 } C． { 1,2 } D．{ 1 }
2−z
2．已知 =−i，则 z=（ ）
1+i
A．1+i B．1−i C．3−i D．3+i
3．已知向量a=(x,1)，b=(2,−1)，若(a+b)⊥(a−2b)，则实数x=（ ）
1
A．2 B．− C．−2或4 D．4
2
3 1
4．已知sin2θ=− ，则tanθ+ =（ ）
4 tanθ
4 1 8 8
A． B．− C． D．−
3 2 3 3
5．已知圆锥的底面半径为2，高为4，有一个半径为1的圆柱内接于此圆锥，则该圆柱的侧面积是（ ）
A．π B．2π C．3π D．4π
2x,x≤0,
6．已知函数 f (x)= 则下列说法正确的是（ ）
1
x2,x>0,
A． f (x)是R上的增函数 B． f (x)的值域为[0,+∞)
1 1
C．“x> ”是“ f (x)> ”的充要条件
4 2
D．若关于x的方程 f (x)=a恰有一个实根，则a>1
第1页 共4页
学科网（北京）股份有限公司 π π π π
7．已知函数 f(x)=sin(2x+ϕ)ϕ< 满足 f = f ，若 f (x)在区间 ,t 上恰有3个零点，则实数
2 4 3 2
t的取值范围为（ ）
25π 37π 25π 49π 37π 49π 37π 49π
A． , B． , C． , D． ,
24 24 24 24 24 24 24 24
8．已知函数y= f (x)具有以下的性质：对于任意实数a和b，都有 f (a+b)+ f (a−b)=2f (a)⋅ f (b)，则以
下选项中，不可能是 f (1)值的是（ ）
A．−2 B．−1 C．0 D．1
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部
选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．若随机变量X ~ N ( 0,σ2) ， f (x)=P(X ≤x)，则（ ）
A． f (−x)=1− f (x) B． f (2x)=2f (x)
C．P ( X 0) D．若 f 1+x > f (2)，则 1 b>0)的两个焦点，P为椭圆C上一点，且△PFF 的周长为6，面
1 2 a2 b2 1 2
积的最大值为 3 ，则椭圆C的离心率为 .
第2页 共4页
学科网（北京）股份有限公司13．已知函数 f(x)=x3−x,g(x)=x2+a，曲线y= f(x)在点(−1, f(−1))处的切线也是曲线y=g(x)的切线．则
a的值是
14．有一道楼梯共10阶，小王同学要登上这道楼梯，登楼梯时每步随机选择一步一阶或一步两阶，小王同
学7步登完楼梯的概率为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）如图，一智能扫地机器人在A处发现位于它正西方向的B处和北偏东30°方向上的C处分别有
需要清扫的垃圾，红外线感应测量发现机器人到B的距离比到C的距离少0.4m，于是选择沿A→B→C路线
清扫.已知智能扫地机器人的直线行走速度为0.2m/s，忽略机器人吸入垃圾及在B处旋转所用时间，10s完
成了清扫任务.
(1)求B、C两处垃圾之间的距离；
(2)求智能扫地机器人此次清扫行走路线的夹角B的余弦值.
x2 y2 x2
16．（15分）已知双曲线C: − =1(a>0,b>0)的焦点与椭圆 + y2 =1的焦点重合，其渐近线方程为
a2 b2 5
3
y=± x.
3
(1)求双曲线C的方程；
1
(2)若A,B为双曲线C上的两点且不关于原点对称，直线l:y= x过AB的中点，求直线AB的斜率.
3
17．（15分）如图，在四棱锥B－ACDE中，正方形ACDE所在平面与正ABC所在平面垂直，M，N 分别
为BC，AE的中点，F在棱CD上．
(1)证明：MN //平面BDE．
30
(2)已知AB=2，点M 到AF 的距离为 ，求三棱锥C－AFM 的 体积．
5
18．（17分）蓝莓种植技术获得突破性进展，喷洒A型营养药有 --定的改良蓝莓
植株基因的作用，能使蓝莓果的产量和营养价值获得较大提升．某基地每次喷洒A型营养药后，可以使植
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学科网（北京）股份有限公司株中的80%获得基因改良，经过三次喷洒后没有改良基因的植株将会被淘汰，重新种植新的植株．
(1)经过三次喷洒后，从该基地的所有植株中随机检测一株，求-株植株能获得基因改良的概率；
(2)从该基地多个种植区域随机选取一个，记为甲区域，在甲区域第一次喷洒A型营养药后，对全部N株植
株检测发现有162株获得了基因改良，请求出甲区域种植总数N的最大可能值；
(3)该基地喷洒三次A型营养药后，对植株进行分组检测，以淘汰改良失败的植株，每组n株(n≤50)，一株
检测费为10元，n株混合后的检测费用为n+8元，若混合后检测出有未改良成功的，还需逐一检测，求n
的估计值，使每株检测的平均费用最小，并求出最小值．（结果精确到0.1元）
附：当 a <0.01，n≤50时，(1+a)n ≈1+na，n∈N*.
19．（17分）“函数ϕ(x)的图象关于点(m,n)对称”的充要条件是“对于函数ϕ(x)定义域内的任意x，都有
ϕ(x)+ϕ(2m−x)=2n，若函数 f (x)的图象关于点(1，2)对称，且当x∈[0，1]时， f(x)=x2−ax+a+1
(1)求 f(0)+ f(2)的值；
4x
(2)设函数g(x)=
2−x
①证明函数g(x)的图象关于点(2,−4)称；
2
②若对任意x
1
∈[ 0,2 ]，总存在x
2
∈
−
3
,1
，使得 f (x
1
)=g(x
2
)成立，求实数a的取值范围.
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