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襄阳四中 2024 级高二年级上学期期中考试
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合
题目要求的.
1. 复数 满足 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据复数代数形式的除法运算化简 ，从而得到 ，再计算其模.
【详解】因为 ，所以 ，
则 ，所以 .
故选：B
2. 过直线 与 的交点，且与直线 垂直的直线
的方程为 （ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先求直线 与 的交点，再利用垂直直线的斜率关系求得斜率，代入点斜式方程求解即可.
【详解】联立 与 ，
将 的 代入 得 ，
整理得 ，
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学科网（北京）股份有限公司化简得 ，所以 .再将 代入 得 ，即交点为 .
直线 斜率为 ，由垂直关系得直线 斜率 .
的
所以过点 且斜率为 的直线点斜式为 ，即 .
故选：D
3. 一组正数 的平均数为 ，则 的最小值为 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先通过平均数列式求得 ，然后利用基本不等式常数代换技巧求解最值即可.
【详解】因为正数 的平均数为 ，
所以 ，所以 .
所以
，当且仅当 即 时取等号.
故选：C
4. 若 满足 ，则 的最小值为 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由题意得方程表示圆心为 、半径为 的右半圆，然后结合截距的概念，利用直线与半圆的
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学科网（北京）股份有限公司位置关系数形结合求解即可.
【详解】由题意，方程 需满足 ，
将方程平方整理得 ，即圆心为 、半径为 的右半圆，
令 ，即 ，所以 为直线 在 轴上的截距，
当直线过右半圆上顶点 时，直线 在 轴上的截距最大，此时 最小，
所以 的最小值为 ．
故选：B
5. 若 既在直线 上，又在以 为焦点的椭圆 上，则椭圆 的离心率的最
大值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】将问题转化为求 的最小值，利用对称性即可求解.
【详解】因为椭圆焦点为 、 ，
所以焦距 ，即 ，离心率 ，因此求 的最大值等价于求 的最小值，
因为 是椭圆上任意点，所以 ，
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学科网（北京）股份有限公司因此 的最小值对应 的最小值 点 在直线 上 ，
直线 与两焦点 、 同侧，取 关于直线的对称点 ，
所以线段 的中点 在直线上，故 ，即 ；
直线 与直线垂直 斜率乘积为 ，故 ，即 ，
联立得 ， ，即 ，
当 、 、 共线时， 最小，最小值为 ，
，
因此 的最小值为 ，即 ，
代入离心率公式得： ．
故选：D．
6. 我们知道，空间中，过点 且一个法向量为 的平面，其方程可以写成
，则点 到平面 的距离 （ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
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学科网（北京）股份有限公司【分析】由题意可知平面法向量，然后利用点面距离的向量公式求解即可.
【详解】在平面 上任取一点，不妨取原点 ，设点 为 ，
所以 ，点 为坐标原点，
由题意平面的法向量为 ，
则点 到平面 的距离 ．
故选：D
7. 已知正四棱柱 中， (点E在棱BB 上)， ，则该四棱柱
1
被过点 ， ， 的平面截得的截面面积为
A. B. 36 C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】在 上取点 ，使 ，连接 ， ，得出截面四边形 是平行四边形，利用
勾股定理，分别求得 ，结合余弦定理和面积公式，即可求解.
【详解】由题意，正四棱柱 中， ， ，
可得 ， ，
在 上取点 ，使 ，如图所示，
连接 ， ，可得 且 ，则四边形 是平行四边形，
四棱柱被过点 ， ， 的平面截得的截面为 ，
由勾股定理可得 ， ，
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学科网（北京）股份有限公司，
所以 ，
所以 ，
所以平行四边形 的面积为 .
故选: C.
8. 若 ，向量 满足 ，则 的最大值为 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由已知根据数量积的运算律得 ，设 ，则 ，从而求得
，利用 列不等式，解不等式即可得解．
【详解】因为 ，即 ．
又 ，则 ，设 ，
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学科网（北京）股份有限公司则 ，故 ．
由 为 与 的夹角 ，
则 ，解得 ．
因为 ，即 ，解得 ，
故 的最大值为 ．
故选：B
二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.
9. 下列命题为真命题的是（ ）
A. 若 ，则 与 相互独立
B. 若 与 互斥，则
C. 方差、标准差、极差均能反映一组数据的离散程度
D. 数据 的第 百分位数为
【答案】ABC
【解析】
【分析】根据独立事件的定义判断A；根据互斥的定义求解概率判断B；根据方差、标准差、极差的概念
判断C；根据百分位数的求法求解判断D.
【详解】选项A：根据相互独立事件的定义，若事件 与 满足 ，则 与 相互独
立，故A为真命题；
选项B：若 与 互斥，则 和 不能同时发生，即 ，因此 ，故B为真命题；
选项C：方差、标准差反映数据与均值的偏离程度，极差 最大值减最小值 反映数据的波动范围，三者
均能刻画数据的离散程度，故C为真命题；
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学科网（北京）股份有限公司选项D：数据 共 个，计算第 百分位数 为整数 ，
因此第 百分位数为第 个数 与第 个数 的平均值，即 ，故D为假命题.
故选：ABC
10. 设椭圆 的左，右焦点分别为 ，点 是椭圆 上的动点，则下列结论正确的是（
）
A. 离心率
B. 的最小值为
C. 的大小可以是
D. 满足 为等腰三角形的点 有 个
【答案】ACD
【解析】
【分析】由椭圆的几何性质分别判断即可.
【详解】由椭圆方程知： ， ， ；
对于A，离心率 ，A正确；
对于B， 为椭圆左焦点， ，B错误；
对于C，当 为椭圆上下顶点时， ， ，
， ，
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学科网（北京）股份有限公司则当 在椭圆上运动时， ，则 大小可以是 ，C正确；
对于D，当 为椭圆上下顶点时， ，满足 为等腰三角形；
，即 ，
能成立，根据椭圆对称性知：此时有 点满足题意；
同理可知： 时，有 点满足题意；
满足 为等腰三角形的点 有 个，D正确.
故选：ACD
11. 如图，在长方体 中， ， 分别是棱 的
中点，点 在侧面 内，且 ，则（ ）
A. 的最小值是
B.
C. 三棱锥 的体积是定值
D. 三棱锥 的外接球表面积的取值范围是
【答案】BCD
【解析】
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学科网（北京）股份有限公司【分析】以点 为原点建立空间直角坐标系，设 ，根据
可求得点 的轨迹，从而可判断AB；证明 平面 ，即可判断
C；由三棱锥 的外接球的球心在过点 且垂直于平面 的直线上，设球心为 ， ，
根据 ，将 用 表示，从而可求得外接球半径的范围，即可判断D.
【详解】解：如图，以点 为原点建立空间直角坐标系，
则 ，
设 ，
则 ，
因为 ，
所以 ，得 ，所以 ，
则 ，得 ，
，
当 时， ，则 ，
当 时，则 ，则 ，
综上， ，
所以 三点共线，
即点 的轨迹即为线段 ，
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学科网（北京）股份有限公司对于A， ，
即 的最小值是 ，故A错误；
对于B， ，
则 ，
所以 ，故B正确；
对于C， ，则 为定值，
由点 的轨迹即为线段 ，
且 ，
所以 ，
又 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，
所以点 到平面 的距离为定值，即三棱锥 的高为定值，
所以三棱锥 的体积是定值，故C正确；
对于D，设 的中点为 ，
则在 中， 外接圆的圆心即为点 ，
则三棱锥 的外接球的球心在过点 且垂直于平面 的直线上，
设球心为 ， ，
则 ，
即 ，所以 ，
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学科网（北京）股份有限公司则 ，
为
因 ，所以 ，
即三棱锥 的外接球的半径 ，
所以三棱锥 的外接球表面积的取值范围是 ，故D正确.
故选：BCD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 从集合 中任取两个不相等正数 ，则 成立的概率是__________.
【答案】
【解析】
【分析】先用列举法将所有有序对 列出，共有 个，再根据 的取值，进行分类讨论，得到满足条
件的有序对 共有 个，根据古典概型概率公式即得.
【详解】根据题意，从集合 中任取两个不相等的正数 ，构成有序对 ，
总情况有 ， ， ， ， ，
， ， ， ， ，
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学科网（北京）股份有限公司， ， ， ， ，
， ， ， ， ，
， ， ， ， ，
， ， ， ， ，共 个，
当 时，由 ，得 ，有 ， ， ， ，共 个；
当 时，由 ，得 ，有 ，共 个；
当 时，由 ，得 ，无满足条件的 ；
综上，符合条件的有序对共 个，
所以， 成立的概率为 .
故答案为：
13. 古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：已知平面内两个定点A、B及动点 ，若 （ 且
），则点 的轨迹是圆．后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆（简称“阿氏圆”）．
在平面直角坐标系中，已知 ，直线 ，直线 ，
若 为 的交点，则 的最小值为_______．
【答案】
【解析】
【分析】由已知可得 ，则点 M 的轨迹是以 为直径的圆，除去 F 点，得到的轨迹方程为
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学科网（北京）股份有限公司， 由阿氏圆性质找到点 ，将 转化为 ，问题转化为求解到
两定点距离之和最小即可.
【详解】
当 时， ，此时交点为 ，
当 时，由直线 ，斜率 为k；
由直线 ，斜率为 ， ，
又 ，所以直线 恒过点 ，
，所以直线 恒过 ，
若M为 ， 的交点，则 ，
所以点M的轨迹是以 为直径的圆，除去F点，E点,
综合以上两种情况，点M的轨迹是以 为直径的圆，除去F点，
则圆心为 的中点 ，圆的半径为 ，
故M的轨迹方程为 ，即 ，
又 ,易知 在该圆内，又由题意可知圆C上一点
满足 ，取 ，则 ，满足 .下面证明任意一点 都满足 ，
即 ，
因为 ，
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学科网（北京）股份有限公司又 ,所以 ,
所以 ，
又 ， ，
如图,当且仅当 三点共线,且M位于N,D之间时,等号成立,即的最小值为 .
故答案为：
【点睛】思路点睛：利用阿氏圆的定义取点D，构造 ，转化线段和结合三角形三边关系计
算即可.
14. 已知椭圆 ： 的两条弦 相交于点 （点 在第一象限），且
轴， 轴.若 ，则椭圆 的离心率为______．
【答案】
【解析】
【分析】设 ，则 ， ，再根据 关
于x轴对称， 关于 轴对称，可求得 ，再由 在椭圆上，构造出 的齐次式即可得解.
【详解】设 ，则 ， ，
由题知 关于x轴对称， 关于 轴对称，
所以 ， ，即 ， ，
所以 ，
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学科网（北京）股份有限公司所以 ，即 ，
所以 ，即 ，
所以椭圆 的离心率为 ，
故答案为： .
四、解答题：本题共5小题，共60分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 已知 顶点 ，边 上中线 所在直线方程为 ，边 上的高所在直线
方程为 ．
（1）求边 所在直线方程；
（2）求点 和点 的坐标．
【答案】（1）
（2） ，
【解析】
【分析】（1）先利用 上的高所在方程求出斜率，再利用点斜式求出方程；
（2）先利用 是 与中线 的交点，联立直线 与 方程求出点 坐标，利用 是 中点，结
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学科网（北京）股份有限公司合 在 上的高所在直线方程上，求出点 坐标．
【小问1详解】
上的高所在直线方程为 ，斜率为 ，
而 与其高所在直线垂直， ，解得 ，
，根据点斜式得 ，整理得 ．
【小问2详解】
是 与中线 的交点，联立直线 与 方程 得， ，
.
设点 ， 是 的中线， 为 中点， ， ，
又 在直线 上， ，整理得 ，
又 在 上的高所在直线方程 上，联立 ，解得 ，
．
16. 某校高一年级开设有羽毛球训练课，期末对学生进行羽毛球五项指标(正手发高远球、定点高远球、吊
球、杀球以及半场计时往返跑)考核，满分100分.参加考核的学生有40人，考核得分的频率分布直方图如
图所示.
（1）由频率分布直方图，求出图中 的值，并估计考核得分的第60百分位数:
（2）为了提升同学们的羽毛球技能，校方准备招聘高水平的教练.现采用分层抽样的方法(样本量按比例分
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学科网（北京）股份有限公司配)，从得分在 内的学生中抽取5人，再从中挑出两人进行试课，求两人得分分别来自 和
的概率:
（3）现已知直方图中考核得分在 内的平均数为75，方差为6.25，在 内的平均数为85，方
差为0.5，求得分在 内的平均数和方差.
【答案】（1） ，85
（2）
（3）得分在 内的平均数为81，方差为26.8.
【解析】
【分析】（1）首先根据频率和为1求出 ，再根据百分数公式即可得到答案；
（2）求出各自区间人数，列出样本空间和满足题意的情况，根据古典概型公式即可；
（3）根据方差定义，证明出分层抽样的方差公式，代入计算即可.
【小问1详解】
由题意得: ，解得 ，
设第60百分位数为 ，则 ，
解得 ，第60百分位数为85.
【小问2详解】
由题意知，抽出的5位同学中，得分在 的有 人，设为 、 ，在 的有
人，设为 、 、 .
则样本空间为 .
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学科网（北京）股份有限公司设事件 “两人分别来自 和 ，则
，
因此 ，
所以两人得分分别来自 和 的概率为 .
【小问3详解】
由题意知，落在区间 内的数据有 个，
落在区间 内的数据有 个.
记在区间 的数据分别为 ，平均分为 ，方差为 ；
在区间 的数据分别为为 ，平均分为 ，方差为 ；
这20个数据的平均数为 ，方差为 .
由题意， ，且 ，则
.
根据方差的定义，
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学科网（北京）股份有限公司由 ，
可得
故得分在 内的平均数为81，方差为26.8.
【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键是充分利用方差定义，推导出分层抽样的方差计算公式即可.
17. 如图，四边形 中， ， ， ， ， ， 分别在 ，
上， ，现将四边形 沿 折起，使 ．
（1）若 ，在折叠后的线段 上是否存在一点 ，使得 平面 ？若存在，求出 的
值；若不存在，说明理由.
（2）求三棱锥 的体积的最大值，并求出此时点 到平面 的距离.
【答案】（1）存在，
（2）三棱锥ACDF的体积的最大值为3，此时点F到平面ACD的距离为
【解析】
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学科网（北京）股份有限公司【分析】(1)在AD上取一点P，使得 ，证明线面平行，则P点就是所求的点；
(2)先设 ，运用二次函数即可求出三棱锥 的体积最大值，再运用等体积法求出F到平面
ACD的距离.
【小问1详解】
AD上存在一点P，使得CP 平面ABEF，此时 ，
理由如下：当 时， ，
如图，过点P作M FD交AF于点M，连接ME，则 ，
∵BE＝1，∴FD＝5，∴MP＝3，又EC＝3，MP FD EC，∴MP EC，
故四边形MPCE为平行四边形，∴CP ME，
又CP⊄平面ABEF，ME⊂平面ABEF，
∴CP 平面ABEF；
【小问2详解】
设BE＝x，则AF＝x(0
