文档内容
三明市 2024～2025 学年第一学期普通高中期末质量检测
高二数学试题
（满分：150分 考试时间：120分钟）
本试卷共5页．
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试
卷上无效．
3．考试结束后，将答题卡交回．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个
选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上．
1. 设函数 ，则 （ ）．
A. 0 B. C. D. 以上均不正确
2. 过点 和点 的直线的倾斜角为（ ）．
A. B. C. D.
3. 如图，在直三棱柱 中， ， 分别为棱 ， 的中点.设 ， ，
，则 （ ）A. B. C. D.
4. 已知等差数列 的前n项和为 ， ， ，则公差d为（ ）．
A. 1 B. C. 2 D.
5. “ ”是“直线 与直线 垂直”的（ ）．
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
6. 三明永安市贡川镇的会清桥是一座集通行、宗教祭祀等功能为一体的廊桥．该桥始修于明成化乙巳年（
年），南北坐向，两墩三孔，各桥孔呈抛物线型，其中最大一桥孔（如图所示），当孔顶到水面距
离为 时，跨度达到了 ．若水面从图中示意位置上升 ，则水面宽变为（ ）．
A. B. C. D.
7. 已知点 是坐标原点，点 是圆 上的动点，当动点 在直线 上
运动时， 的最小值为（ ）
A. B. C. D.
8. 古希腊著名数学家阿波罗尼斯，在其著作《圆锥曲线论》中提出了圆锥曲线的光学性质．光线从椭圆的
一个焦点发出，经过椭圆反射，反射光线经过另一个焦点．已知点 、 是椭圆
的左、右焦点，从点 发出的光线经过椭圆上一点M反射，反射光线交椭圆于另一点N．若点 、N关于 的角平分线对称，且 ，则椭圆C的离心率为（
）．
.
A B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题的选项中，有多项符合题目要
求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分．
9. 设 ，向量 ， ， ，且 ， ，则（ ）．
A. B. C. D.
10. 已知O为坐标原点，抛物线 上一点 到其准线的距离为3，过C的焦点F
的直线交C于A，B两点，则（ ）．
A. 抛物线C的方程为
B. 的最小值为
C. 为钝角三角形
D. 过点 且与抛物线相切的直线为
11. 直四棱柱 的所有棱长都为4， ，点P在四边形 及其内部运动，
且满足 ，则（ ）．
A. 存在点P使得 平面B. 直线 与平面 所成的角为定值
C. 点P到平面 的距离的最小值为
D. 直线 与 所成角 范围为
的
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知双曲线 ，则点 到 的渐近线的距离为______．
13. 若曲线 在点 处 的切线方程是 ，则
__________．
14. 已知数列 满足 ， ，令 ，数列 的前n项和为
，若对任意 ， 恒成立，则实数 的取值范围为__________．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知公差不为0的等差数列 ， ，且 ， ， 成等比数列．
（1）求数列 的通项公式；
（2）记数列 的前n项和为 ，若 ，求数列 的前n项和 ．
16. 已知O为坐标原点，动点M到两个定点 ， 的距离的比为 ，记动点M的轨迹为曲线
C．
（1）求曲线C的标准方程；
（2）若直线l过点 ，曲线C截l所得弦长等于 ，求直线l 的方程．
17. 如图，在三棱柱 中，底面是边长为2的等边三角形， ， 分别是线段 ，
的中点， 在平面 内的射影为D．（1）求证： 平面 ；
（2）在棱 上是否存在点F，使得平面 与平面 夹角的余弦值为 ，若存在，指出点F
的位置；若不存在，请说明理由．
18. 已知中心在原点的双曲线 与椭圆 有相同的焦点 ， ，且 的长半轴长是 的
实半轴长的3倍．
（1）求双曲线 的方程；
（2）若P为两条曲线的交点，求 的面积；
（3）若过点 的直线交双曲线 的左支于A，B两点，证明： 为定值．
19. 设有穷数列A： ， ，…， 的所有项之和为 ，所有项的绝对值之和为 ，若数列A满
足下列两个条件，则称其为n阶“0－2数列”：① ；② ．
（1）若2025阶“0－2数列”A： ， ，…， 是递减的等差数列，求 ；
（2）若 阶“0－2数列”A： ， ，…， 是等比数列，求A的通项公式 （
，用n，k表示）；
（3）设n阶“0－2数列”A： ， ，…， 的前m项和为 ，若
，使得 ，证明：数列B： ， ，…， 不可能为n阶“0－2数列”．
