文档内容
辽宁省大连市滨城高中联盟2025-2026学年高二上学期期中数学试卷
一、单选题
1．若直线 的斜率为 ，则 的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
2．已知向量 在基底 下的坐标是 ，则向量 在基底 下的坐标为（ ）
A． B． C． D．
3．两平行平面 ， 分别经过坐标原点 和点 ，且两平面的一个法向量 ，则两平面
间的距离是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，已知在长方体 中， ， ，点 ， 分别在棱 和 上，且 ，
则直线 与直线 所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
5．已知圆 和圆 ，则（ ）
A．圆 与圆 相切
B．两圆公共弦所在直线的方程为C．两圆的公切线段长为3
D．有且仅有一个点 ，使得过点 能作两条与两圆都相切的直线
6．如图，在正四棱柱 中，底面边长为2，直线 与平面 所成角的余弦值为 ，则正四棱柱
的高为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
7．已知 为直线 的倾斜角，若直线 的法向量为 ， ，那么当实数 变化时， 的
取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．在平面直角坐标系中，已知 是以点 为圆心的圆上的一点，折叠该圆两次使点 分别与圆上不
相同的两点（异于点 ）重合，两次的折痕方程分别为 和 ，若圆 上存在点 ，使
得 ，其中点 、 ，则 的最小值为（ ）
A．4 B． C． D．
二、多选题
9．已知椭圆 的左、右焦点分别为 ， ，点 与焦点不重合，若 关于 ， 对称的点
分别为 ， ，线段 的中点 在椭圆 上，则（ ）
A．若形成 ，则周长是定值为B．
C． 的最小值为
D．当点 与原点 重合时，点 的轨迹方程是
10．在平面直角坐标系中，设曲线 的方程为 ，则（ ）
A．曲线 既是轴对称图形，又是中心对称图形
B．曲线 围成图形的面积为
C．曲线 的周长为
D．曲线上任意两点间距离的最大值8
11．历史上，许多数学家研究过圆锥的截口曲线.如图，在圆锥中，母线与旋转轴夹角为 ，现有一截面
与圆锥的一条母线垂直，与旋转轴的交点 距离圆锥顶点 的长度为1，则以下关于该截口曲线描述正确
的命题有（ ）
A． 点与该曲线上的任意一点的距离中，最大值为
B．该曲线上任意两点之间的最大距离为
C．该截口曲线的焦距是
D．点 为该曲线的一个焦点
三、填空题12．直线 与直线 平行，则 ．
13．已知直线 的方向向量为 ，平面 的法向量为 ， ，若 ，
则 的值为 .
14．已知直线 关于 对称的直线 与圆 相离，则 的范围为是
四、解答题
15．设 为实数，直线 恒过一定点记作 ， 为 的一个直角顶点，另
两个顶点为 、 ，其中点 在 轴上，点
(1)求点 ， 的坐标；
(2)求 斜边中线所在的直线方程；
(3)设点 ，若 是线段 上的动点，求 的取值范围.
16．已知在正方形 中， ，点 在边 上，且 ，把 沿 折起，使得点 到达点
处， .设 ， ，
(1)用 ， ， 表示 ；
(2)求 .
17．已知点 及圆
(1)若直线 过点 且与圆 相切，求直线 的方程；
(2)设过 直线 与圆 交于 、 两点，当 时，求以 为直径的圆的方程；(3)设直线 与圆 交于 ， 两点，是否存在实数 ，使得过点 的直线 垂直平分弦 ，
若存在，求出实数 的值；若不存在，说明理由.
18．如图， 是以 为直径的圆 上异于 ， 的点，平面 平面 ， ，
， ， 分别是 ， 的中点，记平面 与平面 的交线为直线 .
(1)求证：直线 平面 ；
(2)若直线 上存在一点 （与 都在 的同侧），且直线 与直线 所成的角为 ，求平面 与平
面 所成角的余弦值.
19．已知平面内的动点 的轨迹是阿波罗尼斯圆（动点 与两定点 ， 的距离之比 ，（
且 的常数），其方程为 ，定点分别为椭圆 的上焦点 与上顶点 ，
且椭圆 与 轴的两个交点之间的距离为 ，过点 作斜率为 的直线 交圆 于点 ，
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)若 为锐角（其中 是原点），求斜率 的取值范围；
(3)设椭圆 的下焦点为 ，求 面积的最大值.题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C C B A D D A D ABC ACD
题号 11
答案 ABC
12．
13．
14．
15．（1）
由 可得 ，
令 且 ，解得 ， ，
故直线恒过定点
设 ，则 ，
故 则 ，
解得 ，故
（2）由于 ， ，
故 的中点坐标 ，则 ，
故直线 方程为 ，即
（3）法一：设 与 轴的交点为 ，
①当动点 在 上运动时，由斜率 的几何意义可得，
当 与 重合时， ，
当 在 轴上时， ，所以 .
②当动点 在 上运动时，
由斜率 的几何意义可得，
当 在 轴上时， ，
当 与 重合时， ，所以 ，
综上可得 .
法二：由于 ， ，
得 ，所以 ，即
则线段 的方程为 且 ③③
设 ，其中 不为0，
得 代入③化简整理得 ，
即 ， 且 ，
令 ， 且 ，
解得 ，则 ，即 .
16（1）因为 ，且 ， ，所以 ，
， .
（2）由题意得 ，
所以 ， ， ， ， ，
所以
即
计算得
所以 .
17．（1）由 得
设直线 的斜率为 ，则方程为 .
又圆 的圆心为 ，半径 ，
由 ，解得 或 .
所以直线方程为 或 ，
即直线 的方程为 或 .
（2）设 的中点为 ，则 ，
又 ，所以 ，
,
化简得
（2）（1）得 代入（2）得
或
或 ，
以 为直径的圆的方程为 或 .
（3）存在实数 满足题意
由直线 与圆 交于 ， 两点，
则圆心 到直线的距离 ，解得 .
设符合条件的实数 存在，由于 垂直平分弦 ，故圆心 必在 上.
所以 的斜率 ，而 ，所以
由于
故存在实数 ，使得过点 的直线 垂直平分弦 .
18．（1） ， 是 . 的中点， ，
又 平面 ， 平面 平面 ，
平面 ，平面 面 ， ，
，平面 面 ，平面 平面 ，
平面 ，
平面 ；
（2） ，平面 平面
以 为坐标原点， 所在直线为 轴， 所在直线为 轴，过 垂直于平面 的直线为 轴，建立
空间直角坐标系，
则点 在平面 内， ， ， ， ， ，
则 ， ， ，
设 ，
则点 坐标为 ， ， ，
，解得 ，
则 点坐标为 ，知 ， ，
设平面 的法向量 ，即 ，即 ，取 ，可得 ；
设平面 法向量为 ，
则 ，即 ，取 ，可得 ；
，
即平面 与平面 所成角的余弦值为 .
19．（1）取 ，由阿波罗尼斯圆定义可得 ，
由题可知 ，代入上式可解得 ，
则 ，所以椭圆 的标准方程为 .
（2）由题设可知：斜率 存在且不为零，设 ，联立方程 ，消去y得 ，
则 ，解得 ，
设两交点 ， ，可得 ， ，
若使 为锐角，则满足 ，
因为
，
可得 ，解得 ，可得 或 ，
所以斜率 的取值范围为 .
（3）解法一：因为斜率 存在且不为零，设 ，
圆 的圆心为 ，半径 ，
则点 到直线 的距离为 ，
且原点 到直线 的距离 ，则 ，可得 ，
令 ，则 ，
可得 ，
当且仅当 ，即 ， 时，等号成立，
所以 面积的最大值为3；
解法二：由题意可知： ， ， 同号，
且 ， ，
因为
，
令 ，则 ，
可得 ，
当且仅当 ，即 ， 时，等号成立，
所以 面积的最大值为3.
