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2024-2025 学年福建省福州市福九联盟高二上学期期中联考数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知两直线l :x−2y+3=0与直线l :3x+my−1=0平行，则m=( )
1 2
3 3
A. −6 B. 6 C. D. −
2 2
2.在空间直角坐标系中，点(−2,1,4)关于y轴对称的点坐标是( )
A. (−2,1,−4) B. (2,1,−4) C. (−2,−1,−4) D. (2,−1,4)
3.过点P(1,2)的直线l与圆O：x2+ y2=16交于A,B两点，当弦AB最短时，直线l的方程为( )
A. x+2y−5=0 B. 2x−y=0 C. x−2y+3=0 D. 2x+ y−4=0
x2 y2
4.已知椭圆 + =1的焦距为6，则m的值是( )
40 m−1
A. 5 B. 32 C. 5或77 D. 32或50
5.若直线l :y=kx−k+1与直线l 关于直线l:x−y+1=0对称，则直线l 一定过定点( )
1 2 2
A. (2,0) B. (0,−2) C. (0,2) D. (−2,0)
y
6.已知实数x,y满足x2+ y2−6x+5=0，则 的取值范围为( )
x+1
A. B. [ √3 √3]
[−√3,√3] − ,
3 3
C. ( √3] [√3 ) D.
−∞,− ∪ ,+∞ (−∞,−√3］⋃ [√3,+∞)
3 3
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1 17.如图，在圆锥SO中，AB是底面圆O的直径，SO=AB=4，AC=BC，D为SO的中点，N为AD的中
点，则点N到平面SBC的距离为( )
4 5
A. B. 1 C. D. 2
3 3
8.已知椭圆 x2 y2 的左、右焦点分别为 ，过 的直线与椭圆 交于 两点，若
C: + =1(a>b>0) F ,F F C M,N
a2 b2 1 2 2
且 ，则椭圆 的离心率为( )
S =3S ∠F N F =∠F F N C
ΔF MN ΔF F M 1 2 1 2
1 1 2
1 √2 3 1
A. B. C. D.
2 2 5 3
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法中，正确的有( )
A. 点斜式y−y =k(x−x )可以表示任何直线
1 1
1
B. 直线y=4x−2在x轴上的截距为
2
C. 直线2x−y+1=0关于点(1,1)对称的直线方程是2x−y−3=0
D. 过点A(2,4)且在两坐标轴上截距相等的直线方程是x+ y−6=0
10.已知圆 ： 和圆 ： ，则( )
O x2+ y2=1 C (x−3) 2+(y−4) 2=r2 (r>0)
A. 若两圆相交，则r∈(4,6)
B. 直线x=−1可能是两圆的公切线
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2 1C. 两圆公共弦长的最大值为2
D. 两圆公共弦所在的直线方程可以是3x+4 y−11=0
11.已知正方体ABCD−A B C D 棱长为2，P为平面ADD A 内一点，E为B C 中点．下列论述正确
1 1 1 1 1 1 1 1
的是( )
⃗ 3 ⃗
A. 若AP= AD ，则EP⊥BC
4 1 1
⃗ 1 ⃗ √30
B. 若AP= AD ，则B 到直线BP的距离为
2 1 1 3
⃗ ⃗ 1 ⃗
C. 若AP=t AD+ A A (t∈[0,1])，则有且仅有一个点P，使得B D⊥平面BA P
2 1 1 1
⃗ ⃗ √2 √6
D. 若 AP=λAD 1 (λ∈[0,1]) ，则平面B 1 CP与底面ABCD所成角正弦值的取值范围为[ 2 , 3 ]
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知向量⃗
a=(2,4,5),
⃗
b=(4,x,y)
分别是平面
α,β
的法向量，若
α ∕ ∕ β
，则
x+ y=
_______________
13.平面内点 P 满足 ｜PF 1 |+|PF 2 |=8，其中F 1 (2,0) ，F 2 (−2,0) ，且 P ⃗ F ⋅P ⃗ F =8 ，则ΔPF 1 F 2 的
1 2
面积为____．
14.在直角坐标平面内， ， ， 是 ， 两点的直线距离，定义：
P(x ,y ) Q(x ,y ) √(x −x ) 2+(y −y ) 2 P Q
1 1 2 2 1 2 1 2
｜x −x |+|y −y |叫做P，Q两点的“城市街区距离”。已知A是圆x2+ y2=4上一点，B是直线
1 2 1 2
x+2y−6=0上一点，则A，B两点的直线距离最小值是 ，A，B两点的“城市街区距离”最小值
是 ．
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3 1四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
在▵ABC中，已知B(−4,0)，AB边上的中线CD所在直线方程是x+2y−1=0，BC边的高线AE所在直
线方程是7x−y−12=0．
(1)求点C的坐标；(2)判断▵ABC的形状．
16.(本小题15分)
1
在平行六面体ABCD−A B C D 中，E 在A A上且A E= A A，F 为CD的中点，
1 1 1 1 1 1 3 1
∠B 1 BC=∠B 1 BA= π 3 ，∠CBA= π 2 ，|AB|=|BC|=4，|BB 1 |=3，记⃗BC=⃗a， B ⃗ A= ⃗ b ， B ⃗ B 1 = ⃗ c ．
(1)用⃗a，⃗b，⃗c表示⃗EF；
(2)求异面直线AB与EF所成角的余弦值．
17.(本小题15分)
如图，某海面上有O,A,B三个小岛(面积大小忽略不计)，A岛在O岛的北偏东45∘方向距O岛30√2千米处，
B岛在O岛的正东方向距O岛20千米处．以O为坐标原点，O的正东方向为x轴的正方向，1千米为单位长
度，建立平面直角坐标系，圆C经过O,A,B三点．
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4 1(1)求圆C的方程；
(2)若圆C区域内有暗礁，现有一船D在O岛的北偏西45∘方向距O岛20√2千米处，正沿着北偏东30∘方向
行驶，若不改变方向，试问该船有没有触礁的危险？
18.(本小题17分)
如图，四边形ABCD与BDEF均为菱形，∠DAB=∠DBF=60∘，AB=2，FA=FC。
(1)求证：AC⊥平面BDEF；
(2)P为线段DE上的动点，求FP与平面ABF所成角正弦值的最大值；
(3)设EF中点为K，G为四边形ABCD内的动点(含边界)且GK=CF，求动点G的轨迹长度．
19.(本小题17分)
已知椭圆X2 y2 的离心率为1，左、右焦点分别为 、 ， 是椭圆上任一点，
+ =1(a>b>0) F F P ▵PF F
a2 b2 2 1 2 1 2
的面积的最大值为√3．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)四边形ABCD 的 顶点在椭圆上，且对角线AC、BD过原点O，设A(x ,y ),B(x ,y )，
1 1 2 2
①若3x x =4 y y ，求证：直线AB和直线BC的斜率之和为定值；
1 2 1 2
若 ⃗ ⃗ ，求四边形 周长的取值范围．
② OA⋅OB=0 ABCD
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5 1参考答案
1.A
2.B
3.A
4.D
5.C
6.B
7.C
8.D
9.BC
10.ABC
11.ABD
12.18
13.4√3
6√5
14. −2；3−√5
5
1
15.解：(1)∵k =7，∴k =− ，
AE BC 7
1
所以直线BC方程是y=− (x+4)，化简得x+7 y+4=0，
7
{x+7 y+4=0 { x=3
联立 ，解得 ，
x+2y−1=0 y=−1
所以C(3,−1)；
a−4 b
(2)设A(a,b)，则D( , )，代入CD方程得a+2b−6=0，
2 2
{a+2b−6=0
联立方程 ，解得a=2，b=2，所以A(2,2)，
7a−b−12=0
1
∵k = ，k =−3，∴k ⋅k =−1，
AB 3 AC AB AC
所以AB⊥AC，所以△ABC是直角三角形．
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6 116.解： ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗
(1)EF=E A +A D +D D+DF
1 1 1 1
1 ⃗ ⃗ ⃗ 1 ⃗
= BB +BC−BB − BA
3 1 1 2
⃗ 1 ⃗ 2 ⃗
=BC− BA− BB
2 3 1
⃗ 1⃗ 2⃗
=a− b− c;
2 3
⃗ ⃗ 1⃗ 2⃗
(2)由(1)可知EF=a− b− c
2 3
⃗ ⃗ ⃗ ⃗ 1⃗ 2⃗
∴BA⋅EF=b⋅(a− b− c)
2 3
⃗ ⃗ 1⃗ 2⃗ ⃗
=b⋅a− b2− b⋅c
2 3
π 1 2 π
=4×4×cos − ×42− ×4×3×cos
2 2 3 3
=0−8−4=−12
⃗ ⃗ ⃗ 1⃗ 2⃗
∴EF2=|EF|2=(a− b− c) 2
2 3
⃗ 1⃗ 4⃗ 1 ⃗ ⃗ 2 ⃗ ⃗ 2 1⃗ ⃗
=a2+ b2+ c2−2× ×a⋅b−2× ×c⋅a+2× × c⋅b
4 9 2 3 3 2
1 4 1 π 2 π 2 1 π
=16+ ×16+ ×9−2× ×4×4×cos −2× ×3×4×cos +2× × ×3×4×cos
4 9 2 2 3 3 3 2 3
=16+4+4−0−8+4=20
⃗
∴|EF|=2√5
π
设BA与EF所成角为θ(0<θ≤ )
2
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7 1⃗ ⃗
|BA⋅EF| 12 3√5
则cosθ= = =
⃗ ⃗ 4×2√5 10
|BA||EF|
3√5
所以异面直线AB与EF所成角的余弦值是 ．
10
17.解： 设过 ， ， 三点的圆 的方程为 ， ，
(1) O A B C x2+ y2+Dx+Ey+F=0 (D2+E2−4F>0)
代入O(0,0)，A(30,30)，B(20,0)，解得D=−20，E=−40，F=0，
所以圆 的方程为： 即 ．
C x2+ y2−20x−40 y=0 (x−10) 2+(y−20) 2=500
(2)该船初始位置为点D，则D(−20,20)，且该船航线所在直线l的斜率为√3，
故该船航行方向为直线l:y−20=√3(x+20)，即l:√3x−y+20+20√3=0，
由于圆心 C 到直线 l 的距离 d=
|10√3−20+20+20√3|
=15√3>10√5 ，
√(√3) 2+12
故该船没有触礁危险．
18.解：(1)设AC与BD相交于点O，连接FO，
∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD，且O为AC中点，
∵FA=FC，∴AC⊥FO，
又FO∩BD=O，FO，BD⊂平面BDEF，∴AC⊥平面BDEF
(2)连接DF，∵四边形BDEF为菱形，且∠DBF=60∘，∴△DBF为等边三角形，
∵O为BD中点，∴FO⊥BD，又AC⊥FO，
又AC∩BD=O，AC，BD⊂平面ABCD
∴FO⊥平面ABCD
∵OA，OB，OF两两垂直，
∴建立空间直角坐标系O−xyz，如图所示，
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8 1∵AB=2，四边形ABCD为菱形，∠DAB=600，
∴BD=2，AC=2√3，
∵ΔDBF为等边三角形，∴OF=√3，
∴A(√3,0,0)，B(0,1,0)，C(−√3,0,0)，D(0,−1,0)，
⃗
E(0,−2,√3)，F(0,0,√3)，∴⃗AB=(−√3,1,0)，AF=(−√3,0,√3) ，
设平面ABF法向量为⃗n=(x,y,z)，
{ ⃗ ⃗
AB⋅n=−√3x+ y=0
⃗
则
⃗ ⃗
取x=1得n=(1,√3,1)
AF⋅n=−√3x+ y=0
⃗ ⃗ ⃗ ⃗
∵p为线段DE上的动点，设 EP=λED ，FE=(0,−2,0) ，ED=(0,1,−√3)
⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗
∴FP=FE+EP=FE+λED=(0,−2,0)+λ(0,1,−√3)=(0,λ−2,−√3λ)
设FP与平面ABF所成角为θ
⃗ ⃗
|FP⋅n| |√3(λ−2)−√3λ| 2√3 √3
sinθ= = = =
⃗ |⃗| √(λ−2) 2+(−√3λ) 2·√5 √4λ2−4λ+4√5 √ 1 3
|FP|n (λ− ) 2+ √5
2 4
1 2√5
当λ= 时，sinθ取最大值为 ．
2 5
(3)∵K为EF中点，∴K(0,−1,√3)，设G(x,y,0)，
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9 1⃗ ⃗
则KG=(x,y+1,−√3) ，CF=(√3,0,√3) ，
∵GK=CF，
∴|K
⃗
G|=|C
⃗ F|即√x2+(y+1) 2+(−√3) 2=√(√3) 2+(√3) 2
化简得x2+(y+1) 2=3，
故动点G的轨迹为心D为圆心，√3为半径的圆在四边形ABCD内部部分即圆心角为1200的圆弧
2π 2√3
∴所求轨迹长度为 √3= π．
3 3
c 1
19.解：(1)由题意e= = ，2ab=4√3，
a 2
又a2=b2+c2，解得a=2，b=√3
x2 y2
所以椭圆的标准方程为 + =1．
4 3
(2)①如图所示显然直线AB斜率存在，设AB方程为y=kx+m.设A(x ,y )，B(x ,y ).
1 1 2 2
{x2 y2
+ =1
联立 4 3 ，消去y整理得，(3+4k2 )x2+8kmx+4m2−12=0，
y=kx+m
则Δ=64k2m2−4(3+4k2 )(4m2−12)=48(4k2−m2+3)．
8kn
{x +x =−
1 2 3+4k2
由韦达定理，得
4m2−12
x x =
1 2 3+4k2
−12k2+3m2
y y =(kx +m)(kx +m)=k2x x +km(x +x )+m2=
1 2 1 2 1 2 1 2 3+4k3
∵3x x =4 y y ，
1 2 1 2
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10 14m2−12 −12k2+3m2
∴ = ，解得4k2−3=0，
3+4k2 3+4k2
y + y 2m 3 3 4k2−3
又∵k = 2 1=k+ =− ．k +k =k− = =0，
BC x +x x +x 4k AB BC 4k 4k
2 1 2 1
所以直线AB和直线BC的斜率之和为定值0．
②若直线AB斜率不存在，则设A(x ,y )，则B(x ,−y )，因为⃗OA⋅⃗OB=0，所以|x |=|y |，
0 0 0 0 0 0
x2 y2 2√21 4√21
所以 0+ 0=1，所以|y |= .所以|AB|=2|y |= ．
4 3 0 7 0 7
若直线AB斜率存在，设AB方程为y=kx+m.于
⃗ ⃗ 4m2−12 8kn
是 OA⋅OB=x x + y y =(k2+1)x x +km(x +x )+m2=(k2+1) −km +m2=0，化
1 2 1 2 1 2 1 2 3+4k2 3+4k2
简得7m2=12k2+12．
√48(4k2−m2+3) 4√21√(k2+1)(16k2+9)
故|AB|=√k2+1|x −x |=√k2+1 = ．
1 2 3+4k2 7 (3+4k2 ) 2
t+1
令3+4k2=t(t≥3)，则k2+1= ，16k2+9=4t−3．
4
4√21√(t+1)(4t−3) 2√21√ 1 3 2√21√ 1 1 49
所以AB= = 4+ − = −3( − ) 2+ ．
7 4t2 7 t t2 7 t 6 12
1 1 1 1 4√21 1 1
因为 ∈(0, )，所以当 = 时，AB = .当 = 时，AB =√7，
t 3 t 3 min 7 t 6 max
4√21
综上，|AB|的取值范围为[ ,√7].
7
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11 116√21
四边形ABCD周长的取值范围是[ ,4√7].
7
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12 1
