文档内容
第 01 讲 空间向量及其线性运算
模块一 思维导图串知识 1．了解空间向量的概念；
模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 2．掌握空间向量的加减数乘运算；
模块三 核心考点举一反三 3．掌握空间向量的运算律；
模块四 小试牛刀过关测 4．了解共线向量和共面向量定理.
知识点 1 空间向量的有关概念
1、空间向量的定义及表示
（1）定义：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量．
（2）长度（模）：空间向量的大小叫做向量的长度或模．
（3）表示方法：①几何表示法：空间向量用有向线段表示；②字母表示法：用字母a、b、c，…表示，若
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司向量a的起点是A，终点是B，则向量a也可以记作 ，其模记为 或 ．
2、几类特殊向量
0 0
（1）零向量：长度为0或者说起点和终点重合的向量，记为 。规定： 与任意向量平行．
|a|1
（2）单位向量：长度为1的空间向量，即 ．
（3）相等向量：方向相同且模相等的向量．
（4）相反向量：方向相反但模相等的向量．
（5）共线向量：如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或
a b a//b
平行向量． 平行于 记作 ．
知识点 2 空间向量的线性运算
1、空间向量的加减法
空间中任意两个向量都是共面的，它们的加、减法运算类似于平面向量的加减法（如下图）．
2、空间向量加减法运算律
abba (ab)ca(bc)
交换律： 结合律：
小结：空间向量加法的运算的小技巧
（1）首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量，
A A A A A A A A A A
即： 1 2 2 3 3 4 n1 n 1 n
（2）首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为零向量，
A A A A A A A A A A 0
即： 1 2 2 3 3 4 n1 n n 1 ；
3、空间向量的数乘运算
（1）定义：实数 与空间向量 的乘积 仍是一个向量，称为向量的数乘运算．
（2）几何意义：当 时， 与 方向相同；
当 时， 与 方向相反；
当 时， ．
的长度是 的长度的| |倍．
（3）运算律：分配律： ；结合律： ．
知识点 3 共线向量
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司1、空间向量共线的充要条件：对任意两个空间向量 ， ， ∥ 的充要条件是存在实数 ，使得
.
2、直线的方向向量：如图，O是直线l上一点，在直线l上取非零向量 ，则对于直线l上任意一点 ，存
在实数 ，使得 .
与向量 平行的非零向量称为直线l的方向向量．这样，直线l任意一点都可以由直线l上的一点和它的
方向向量表示，也就是说，直线可以由其上一点和它的方向向量确定。
3、证明空间三点共线的三种思路：对于空间三点P、A、B可通过证明下列结论来证明三点共线
（1）存在实数 ，使 成立.
（2）对空间任一点O，有 .
（3）对空间任一点O，有 .
知识点4 共面向量
1、定义：如图，如果表示向量 的有向线段 所在的直线OA与直线l平行或重合，那么称向量 平行与
直线l．如果直线OA平行于平面 或在平面 内，那么称向量 平行于平面 ．平行于同一个平面的向量，
叫做共面向量．
2、向量共面的充要条件：如果两个向量 ， 不共线，那么向量 与向量 ， 共面的充要条件是存在唯一
的有序实数对 ，使 ．
3、向量共面证明思路
（1）证明点P在平面ABC内，可以用 ，也可以用 ，
若用 ，则必须满足 .
（2）判断三个向量共面一般用 ，
证明三线共面常用 ，
证明四点共面常用 （其中 ）
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司考点一：空间向量的概念辨析
例1．（23-24高二上·山东日照·月考）下列命题中为真命题的是（ ）
A．向量 与 的长度相等
B．将空间中所有的单位向量移到同一个起点，则它们的终点构成一个圆
C．空间非零向量就是空间中的一条有向线段
D．不相等的两个空间向量的模必不相等
【答案】A
【解析】选项A：因为空间向量 与 互为相反向量，所以空间向量 与 的长度相等，所以A正确；
选项B：将空间所有的单位向量平移到一个起点，则它们的终点构成一个球面，所以B错误；
选项C：空间向量可以用空间中的一条有向线段表示，但空间向量不是有向线段，所以C错误；
选项D：两个空间向量不相等，它们的模可能相等，也可能不相等，如向量 与 的模相等，
所以D错误；故选：A.
【变式1-1】（23-24高二上·山东聊城·月考）给出下列命题：
①空间向量就是空间中的一条有向线段；
②在正方体 中，必有 ；
③ 是向量 的必要不充分条件；
④若空间向量 满足 ， ，则 ．
其中正确的命题的个数是（ ）．
A．1 B．2 C．3 D．0
【答案】B
【解析】有向线段起点和终点是固定的，而空间向量是可以平移的，故①错误；
和 大小一样、方向相同， 则 ，故②正确；
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司若 ，则 和 的模相等，方向不一定相同，若 ，则 和 的模相等，方向也相同，
所以 是向量 的必要不充分条件，故③正确；
向量的平行不具有传递性，比如当 为零向量时，零向量与任何向量都平行，则 不一定平行，
故④错误.
综上所述，②③正确.故选：B．
【变式1-2】（23-24高二上·四川·期中）（多选）下列说法正确的是（ ）
A．零向量没有方向
B．空间向量不能比较大小，空间向量的模可以比较大小
C．如果两个向量不相同，那么它们的长度不相等
D．同向且等长的有向线段表示同一向量
【答案】BD
【解析】对于A：零向量的方向是任意的，A错误；
对于B：空间向量不能比较大小，空间向量的模可以比较大小，B正确；
对于C、D：大小相等方向相同的两个向量为相等向量即同一向量，
所以C中向量大小可以相等，只要方向不同即为向量不同，C错误；D符合定义，正确.
故选：BD.
【变式1-3】（23-24高二上·全国·专题练习）（多选）下列命题中正确的是 （ ）
A．如果 , 是两个单位向量，则
B．两个空间向量共线，则这两个向量方向相同
C．若 ， ， 为非零向量，且 ， ，则
D．空间任意两个非零向量都可以平移到同一平面内
【答案】ACD
【解析】由单位向量的定义即得 ，故A正确；
共线不一定同向，故B错误；
因为 为非零向量，且 ，所以 ，故C正确；
在空间任取一点，过此点引两个与已知非零向量相等的向量，
而这两个向量所在的直线相交于此点，
两条相交直线确定一个平面，所以两个非零向量可以平移到同一平面内，故D正确．故选：ACD
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司考点二：空间向量的线性运算
例2. （23-24高二上·浙江绍兴·期末）已知 分别是空间四边形 的对角线 的中点，
点 是线段 的中点， 为空间中任意一点，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题知： .故选：D
【变式2-1】（23-24高二下·河南·月考）在四面体 中， 为棱 的中点，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】 ,故选:A
【变式2-2】（23-24高二下·江苏扬州·月考）在四面体 中， ，D为 的三
等分点（靠近B点），E为 的中点，则 （ ）
A． B．
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司C． D．
【答案】C
【解析】由题意，
.
故选：C.
【变式2-3】（23-24高二下·广东佛山·月考）如图，在平行六面体 中， 为 与 的
交点.若 ，则下列向量中与 相等的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】 .故选：B.
考点三：空间向量共线的判定
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司例3. （23-24高二上·全国·练习）已知空间四边形ABCD，点E､F分别是AB与AD边上的点，M､
N分别是BC与CD边上的点，若 ， ， ， ，则向量 与 满
足的关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由 ， ，得 ，所以 共线，
同理，由 ， ，得 ，
所以 共线，所以 共线，即 .故选：B.
【变式3-1】（23-24高二上·贵州·开学考试）如图，在三棱柱 中， 为空间一点，且满足
， ，则下列说法错误的是（ ）
A．当 时，点 在棱 上
B．当 时，点 在线段 上
C．当 时，点 在棱 上
D．当 时，点 在线段 上
【答案】B
【解析】对于 ，当 时， ， ，所以 ，则点 在棱 上，故 正确；
对于 ，当 时， ， ，即 ，即
所以点 在线段 上，故 错误；
对于 ，当 时， ， ，
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司所以 ，所以 ，即 ，所以点 在棱 上，故 正确；
对于 ，当 时，所以 ， ，
所以 ，即 ，即 ，
所以点 在线段 上，故 正确．故选： ．
【变式3-2】（23-24高二上·全国·课后作业）如图，四边形ABCD､ABEF都是平行四边形且不共面，M､N
分别是AC､BF的中点，判断 与 是否共线？
【答案】共线.
【解析】因为M､N分别是AC､BF的中点，而四边形ABCD､ABEF都是平行四边形，
所以 .
又 ，
所以 .
所以 ，
即 ，即 与 共线.
【变式3-3】（23-24高二上·江苏·专题练习）已知 、 、 、 、 、 、 、 、 为空间的 个点
（如图所示），并且 ， ， ， ， ．求证：
．
【答案】证明见解析．
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司【解析】
， ， ，
，
，
因为 、 无公共点，故 .
考点四：由空间向量共线求参数
例 4.（23-24 高二上·河北邯郸·期末）已知 是不共面的空间向量，若 与
（ 是实数）是平行向量，则 的值为（ ）
A．16 B．-13 C．3 D．-3
【答案】C
【解析】因为 是不共面的空间向量且 ，
故 ，则 ，
解得 ，所以 .故选：C.
【变式4-1】（22-23高二上·新疆伊犁·期末）已知 、 、 为空间三个不共面的向量，向量
， ，若 与 共线，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为 、 、 为空间三个不共面的向量，向量 ， ，
若 与 共线，设 ，即 ，
可得 ，解得 ，故 .故选：D.
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司【变式4-2】（23-24高二上·辽宁·期中）设向量 不共面，已知 ，
，若 三点共线，则 （ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】A
【解析】因为 ， ，
所以 ，
因为 三点共线，所以存在唯一的 ，使得 ,
即 ，
即 ，解得： .故选：A.
【变式4-3】（23-24高二下·江苏连云港·期中）设 是空间两个不共线的非零向量，已知 ，
， ，且 三点共线，则实数k的值为 ．
【答案】
【解析】因为 ， ，
可得 ，
又因为 三点共线，可设 ，即 ，
因为 不共线，可得 ，解得 ，所以实数 的值为 .
考点五：向量（四点）共面的判定
例5. （23-24高二下·江苏泰州·月考） 为空间任意一点，若 ，若 ， ，
， 四点共面，则 （ ）
A．1 B． C． D．
【答案】C
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司【解析】因为 ，所以 ，
可化简为： ，即 ，
由于 ， ， ， 四点共面，则 ，解得： ；故选：C
【变式5-1】（23-24高二上·福建·月考）在下列条件中，一定能使空间中的四点M，A，B，C共面的是（
）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】A选项： ，所以A错；
B选项： ，所以B错；
C选项：原式可整理为 ，所以C正确；
D选项：原式可整理为 ， ，故D错.故选：C.
【变式 5-2】（23-24 高二上·全国·专题练习）对于空间一点 和不共线三点 ，且有
，则（ ）
A． 四点共面 B． 四点共面
C． 四点共面 D． 五点共面
【答案】B
【解析】
由 ，可得 ，
即 ，根据平面向量的基本定理，可得 共面，
又因为三个向量有公共点 ，所以 四点共面.
故选：B.
【变式5-3】（23-24高二上·四川雅安·月考）若向量 ， ， 不共面，则下列选项中三个向量不共面的是
（ ）
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司A． ， ， B． ， ，
C． ， ， D． ， ，
【答案】C
【解析】对于A中，设 ，可得 ，解得 ，
所以向量 共面，不符合题意；
对于B中，设 ，可得 ，解得
所以向量 共面，不符合题意；
对于C中，设 ，可得 ，此时方程组无解，
所以向量 不共面，符合题意；
对于D中，设 ，可得 ，解得
所以向量 共面，不符合题意；故选：C.
考点六：由向量（四点）共面求参数
例 6. （ 23-24 高 二 下 · 江 苏 · 月 考 ） 已 知 向 量 不 共 面 ， 则 使 向 量
共面的实数x的值是（ ）
A． B． C． D．4
【答案】A
【解析】因为 共面，所以存在实数 ，使得
，所以 ，
解得 .故选：A.
【变式6-1】（23-24高二上·云南玉溪·期末）已知O，A，B，C为空间中不共面的四点，且
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司，若P，A，B，C四点共面，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为P，A，B，C四点共面，所以 ，所以 .故选:C．
【变式6-2】（23-24高二下·湖南常德·入学考）已知 为空间任意一点， 满足任意三点不共线，
但四点共面，且 ，则 的值为（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】C
【解析】因为 为空间任意一点， ，
所以 ，
所以 ，
因为A，B，C，P满足任意三点不共线，但四点共面，
所以 ，解得 ．故选：C．
【变式6-3】（23-24高二上·山东·期中）在四面体 中，点 满足 ，若
，则 （ ）
A． B． C． D．1
【答案】B
【解析】如图所示，根据空间向量的线性运算法则，
可得 ，
因为 ，可得 ，
所以 .故选：B.
一、单选题
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司1．（23-24高二上·江西景德镇·期末）在空间四边形 中，化简 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】 .故选：B
2．（23-24高二下·甘肃·期中）在空间四边形ABCD中，E，F分别为BC，CD的中点，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】在空间四边形ABCD中，E为BC的中点，则 ，
所以 .
故选：C
3．（23-24高二上·山东济南·期末）在三棱柱 中，若 ， ， ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题可知 .故选：D
4．（23-24高二上·广东广州·期末）在下列条件中，一定能使空间中的四点 共面的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】对于A， 中， ，A不是；
对于B， 中， ，B不是；
对于C， 化为 ， ，C不是；
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司对于D， 中， ，D是.
故选：D
5．（23-24高二上·北京·期中）已知 是空间两个不共线的向量， ，那么必有
（ ）
A． 共线 B． 共线
C． 共面 D． 不共面
【答案】C
【解析】若 共线，则 ，
又 ，则 共线，
与条件矛盾，故A错误；
同理若 共线，则 ，
又 ，则 共线，
与条件矛盾，故B错误；
根据空间向量的共面定理可知 共面，即C正确，D错误.
故选：C
6．（22-23高二下·江苏宿迁·月考）已知向量 ， 不共线， ， ， ，
则（ ）
A． 与 共线 B． 与 共线
C． ， ， ， 四点不共面 D． ， ， ， 四点共面
【答案】D
【解析】对于A， ， 不存在实数 ，使得 成立， 与 不共线，A错误；
对于B， ， ， ，
又 ， 不存在实数 ，使得 成立， 与 不共线，B错误；
对于C、D，若 ， ， ， 四点共面，
则有 ，
，即 ，故 ，
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司故 ， ， ， 四点共面，C错误，D正确.
故选：D.
二、多选题
7．（23-24高二下·云南保山·开学考试）下列关于空间向量的命题中，不正确的是（ ）
A．长度相等、方向相同的两个向量是相等向量
B．平行且模相等的两个向量是相等向量
C．若 ，则
D．两个向量相等，则它们的起点与终点相同
【答案】BCD
【解析】对于选项A：由相等向量的定义知A正确；
对于选项B：平行且模相等的两个向量也可能是相反向量，B错；
对于选项C：若两个向量不相等，但模长仍可能相等，例如不共线的单位向量，C错；
对于选项D：相等向量只要求长度相等、方向相同，
而表示两个向量的有向线段的起点不要求相同，D错，故选：BCD．
8．（23-24高二上·安徽马鞍山·月考）下列命题正确的是（ ）
A．若 ，则 与 ， 共面
B．若 ，则 共面
C．若 ，则 共面
D．若 ，则 共面
【答案】ABD
【解析】选项A，根据共面向量基本定理可知， 与 ， 共面；所以选项A是正确的；
选项B，根据共面向量基本定理可知， 共面，由于它们有公共点 ，
所以 共面；
选项C，举反例说明，若 ， ， 是一个正方体同一个顶点 的三条棱所对应的向量，
则它们的和向量是以 为起点的对角线向量，而 是该对角线向量的相反向量，
此时显然四个点 不在同一个平面上，所以C选项是错误的；
选项D，由 可得 ，
则 ，即 ，
则 ，此时与选项B一样，可以判断共面，即D选项是正确的；
故选：ABD．
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司三、填空题
9．（23-24高二上·全国·课后作业）已知 是三个不共面向量，已知向量
则 .
【答案】
【解析】 ，
，
故答案为：
10．（22-23高二下·江苏·课后作业）若空间非零向量 不共线，则使 与 共线的k的
值为 .
【答案】－ /
【解析】由题意知，存在实数λ使得 ，
即 ，解得 .故答案为：
11．（23-24高二上·河北沧州·月考）已知 四点共面且任意三点不共线，平面 外一点 ，满
足 ，则 ．
【答案】
【解析】 四点共面且任意三点不共线， ，
， ．故答案为：
四、解答题
12．（23-24高二上·山西临汾·月考）如图，在长方体 中， ， ， ，以
长方体的八个顶点中的两点为起点和终点的向量中．
(1)单位向量共有多少个？
(2)试写出与 相等的所有向量．
(3)试写出 的相反向量．
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司【答案】(1) ；(2) ；(3)
【解析】（1）由题意，单位向量有 共 个；
（2）由题意，与 相等有 ；
（3）由题意， 的相反向量有 .
13．（23-24高二上·四川泸县·月考）四棱柱 的六个面都是平行四边形，点 在对角线
上，且 ，点 在对角线 上，且 ．
(1)设向量 ， ， ，用 、 、 表示向量 、 ；
(2)求证： 、 、 三点共线．
【答案】(1) ， ．；(2)证明见解析
【解析】（1）因为 ，则 ，
所以 ，
又因为 ，则 ，
所以
；
（2）因为
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司，且 ，
所以 ，即 、 、 三点共线．
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司
