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内江一中高 2027 届高二(上)第二次月考 数学试题
考试时间：120分钟 试卷满分：150分
一、单选题，本题共8小题，每题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1. 已知直线 经过点 ，则直线 的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
2. 已知空间中直线 的一个方向向量 ，平面 的一个法向量 ，则（ ）
A. B. C. D. 直线 与平面 不相交
3. 球的半径为10，若它的截面面积是 ，则球心到截面的距离是（ ）
A. 9 B. 8 C. 6 D. 4
4. 如图，下列正方体中，M，N，P，Q分别为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线MN和PQ为异
面直线的是（ ）
A. B. C. D.
5. 若双曲线 的两条渐近线的夹角为 ，则该双曲线的离心率为（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A. B. 2 C. 2或 D. 或
6. 已知圆 及点 ，在圆 上任取一点 ，连接 ，将点 折叠到点A，记
与折痕 的交点为 （如图）. 当点 在圆 上运动时，点 的轨迹方程为（ ）
A. B.
.
C D.
的
7. 如图，在正三棱柱 中， ，P为 中点，则 （ ）
A. B. 1 C. D.
8. 已知椭圆 的焦距为 ，若直线 恒与椭圆 有两个不同的
公共点，则椭圆 的离心率范围为（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，每题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项是符
合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知直线 ，则下列表述正确的是（ ）
A. 当 时，直线的倾斜角为
B. 当实数 变化时，直线 恒过点
C. 当直线 与直线 平行时，则两条直线的距离为
D. 原点到直线 的距离最大值为2
10. 如图1，半圆O的直径为4，点B，C三等分半圆，P，Q分别为OB，OC的中点，将此半圆以OA为母
线卷成如图2所示的圆锥，D为BC的中点，则在图2中，下列结论正确的有（ ）
A.
B. 平面
C. 平面
D. 三棱锥 与 公共部分的体积为
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学科网（北京）股份有限公司11. 已知 ， 是椭圆 （ ）和双曲线 （ ， ）的公共焦点，
是他们的一个公共点，且 ，则以下结论正确的是（ ）
A. B.
C. D. 的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每题5分，共15分.
12. 求过两条直线 和 的交点，且与 垂直的直线方程
_____________．
13. 如图，在正方体 中，二面角 的大小为________．
14. 如图所示，一套组合玩具需在一半径为4的球外罩上一个倒置圆锥，则圆锥体积的最小值为
__________．
四、解答题：本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知双曲线 实轴长为2，离心率为 .
的
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学科网（北京）股份有限公司（1）求双曲线 的方程；
（2） 为双曲线 上一点，且 ，求 .
16. 已知圆 的圆心在坐标原点，且过点 ．
的
（1）求圆 方程；
（2）若直线 经过点 且与圆 相切，求直线 的方程．
（3）已知点 是圆 上的动点，试求点 到直线 的距离的最大值．
的
17. 如图，在三棱柱 中， 平面ABC， ， D是BC 中点.
（1）求证: 平面 ;
（2）求证: 平面 平面 ;
（3）求直线AC与平面 所成角的正弦值.
18. 如图，在四棱锥 中， ，平
面 平面 ， 为棱 的中点.
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学科网（北京）股份有限公司（1）求三棱锥 的体积；
（2）求直线 与 所成角的余弦值；
（3）若点 在棱 上，使得点 到平面 的距离是 ，求二面角 的余弦值.
19. 已知椭圆C的两个焦点 ， ，过 点且与坐标轴不平行的直线l与椭圆C相交于M，
N两点， 的周长等于16.
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若过点 的直线与椭圆C交于两点A，B，设直线 ， 的斜率分别为 ， .
（i）求证： 为定值；
（ii）求 面积的最大值.
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