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沅澧共同体 2025 届高三第二次联考（试题卷）
数学
时量：120分钟 满分：150分
命题单位：常德外国语学校 审题单位：常德市教科院
一､选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的．
1. 已知集合 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】解不等式，可求出集合 ，进而与集合 取交集即可.
【详解】由题意， ，
则 ，
所以 .
故选：B.
【点睛】本题考查不等式的解法，考查集合的交集，考查学生的计算能力，属于基础题.
2. 设命题 ， ，则 为（ ）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
【答案】A
【解析】
【分析】根据全称命题与存在性命题的关系，准确改写，即可求解.
【详解】根据全称命题与存在性命题的关系，
命题 “ ， ”的否定 “ ， ”.故选：A.
3. 设 ，则 的大小顺序为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用指数函数，对数函数单调性可得答案.
【详解】由函数 在(0,+∞)上单调递增，可得 ， .
因函数 在R上单调递增，则 .故 ，
即 .
故选：A
4. 已知 ，则 （ ）
A. 1 B. C. 2 D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据复数的除法计算，利用复数的模公式可得解.
【详解】 ，则 ，
所以 .
故选：B.
5. 若 ，向量 与向量 的夹角为 ，则 在 上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C【解析】
【分析】根据投影向量定义计算即可.
【详解】由投影向量定义可知， 在 上的投影向量为 .
故选：C
6. 已知 ，则 （ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用诱导公式和二倍角的余弦公式可求出结果.
【详解】因为 ，
所以
.
故选：C.
7. 关于x的一元二次不等式 的解集中有且仅有3个整数，则实数a的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】【分析】根据题意画出 的草图，由 解出实数a的取值范围.
的
【详解】函数 图象如图所示．
若关于x的一元二次不等式 的解集中有且仅有3个整数，则
即 解得 .
故选：A．
8. 设函数 ，则曲线 在点 处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为
（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】求导后求出切线的斜率，再由点斜式得到切线方程，然后求出与坐标轴的交点，最后求出三角形
面积即可；
【详解】由题意可得
，
所以 ，所以切线方程为 ，令 ，则 ，令 ，则 ，
则三角形的面积为 ，
故选：A.
二､多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，至少两
项是符合题目要求的．若全部选对得6分，部分选对得部分分，选错或不选得0分．
9. 若 满足对定义域内任意的 ，都有 ，则称 为“优美函数”，
则下列函数不是“优美函数”的是（）
A. B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】利用“优美函数”的定义，举例说明判断A,C,D不是“优美函数”，通过对数的运算判断B.
【详解】对于A，函数 定义域为R，
取 ，则 ，
则存在 ，使得 ，故A满足题意；
对于B，函数 的定义域为 ，
对于定义域内任意的 ，故B不满足题意；
对于C，函数 定义域为R，
取 ，则 ，
则存在 ，使得 故C满足题意；
对于D，函数 定义域R，取 ，则 ，
则存在 ，使得 故D满足题意.
故选：ACD.
10. 已知函数 的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（
）
A.
B. 的图象关于直线 对称
C. 是偶函数
D. 将 图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，得到函数 的图象
【答案】ABD
【解析】
【分析】由最值求 ，由周期求 ，结合特殊点的三角函数值求 ，进而可求函数解析式；将
代入计算，得到最小值就可判断；利用奇函数的定义进行判断为奇函数即可判断；直接进行伸缩变化即可
判断．
【详解】A．由图可得， ， ，解得 ，又函数图象经过点 ，所以 ，即 ，
因为 ，所以 ，解得 ，故 ，故A正确；
B．当 时， ，此时函数取得最小值，
的图象关于直线 对称，故B正确；
C． 是奇函数，故C错误；
D．将函数 图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，
得到函数 的图象，故D正确，
故选：ABD．
11. 已知函数 是奇函数，下列选项正确的是（ ）
A.
B. ，且 ，恒有
C. 函数 在 上的值域为
D. 若 ，恒有 的一个充分不必要条件是
【答案】AD
【解析】
【分析】对A：根据奇函数定义运算求解；对B：根据函数单调性的定义与性质分析运算；对 C：根据单
调性求值域；对D：根据单调性整理可得： ， 恒成立，结合一元二次不等式的恒成立问题分析运算.
【详解】对于A：∵函数 是奇函数，其定义域为 ，
则 ，
解得 ，故A正确；
对于B：由选项A可得： ，
对 ，且 ，
则 ，可得 ，故 ，
可得 ，则 ，
即 ，故 在 上单调递增，
∴ ，且 ，恒有 ，故B错误；
对于C：∵ ， ，且 在定义域内单调递增，
∴函数 在 上的值域为 ，故C错误；
对于D：∵ ，恒有 ，且 在 上单调递增，∴ ，
恒成立，
即 ， 恒成立，当 时，则 不恒成立，不合题意；
当 时，则 ，解得 ；
综上所述：实数 的取值范围为 .
∵ ，
∴ ，恒有 的一个充分不必要条件是 ，故D正确；
故选：AD．
【点睛】方法点睛：函数的性质主要是函数的奇偶性、单调性和周期性以及函数图象的对称性，在解题中
根据问题的条件通过变换函数的解析式或者已知的函数关系，推证函数的性质，根据函数的性质解决问题．
三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 函数 的最小值是__________．
【答案】 ##
【解析】
【分析】由题知 ，进而直接利用基本不等式求解即可.
【详解】解：因为 ，所以 ，
所以， ．
当且仅当 时等号成立．
所以，最小值为 ．
故答案为：
13. 用半径为 的半圆形纸片卷成一个圆锥筒，则这个圆锥筒的体积为__________ ．【答案】
【解析】
【分析】由题意知圆锥筒的母线长为2，设圆锥筒的底面半径等于 ，则可计算圆锥筒的高，代入体积公
式计算即可.
【详解】由题意知圆锥筒的母线长为2，设圆锥筒的底面半径等于 ,
则 ，
，
圆锥筒的高为： ，
这个圆锥筒的体积为; .
故答案为：
【点睛】本题主要考查了圆锥的体积公式，半圆的弧长与圆锥的底面周长之间的关系，属于容易题.
14. 函数 ，已知 在区间 恰有三个零点，则 的范围
为_______.
【答案】
【解析】
【分析】根据题意，由三角恒等变换公式将函数 化简，然后由函数的零点列出不等式，代入计算，
即可得到结果.
【详解】由题意可得 ，
令 ，即 恰有三个实根，三根为：①
，k ，
∵ ，∴ ，
∴ 无解；
或 ，
当 时，解得 的范围为 ，
故答案为：
四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤．
15. 已知 分别为 的三个内角 的对边，且 ， ， ．
（1）求 及 的面积 ；
（2）若 为 边上一点，且 ，求 的正弦值．
【答案】（1） ，
（2）
【解析】【分析】（1）利用余弦定理可得出关于 的二次方程，可解出 的值，进而可求得 的面积 ；
（2）在 中，利用正弦定理可求得 的值，再由 可得出 ，进而可求得
的正弦值.
【
小问1详解】
由余弦定理得 ，
整理得 ，即 ，
因为 ，解得 ，
所以 .
【小问2详解】
由正弦定理得： ，
所以 ，
在三角形 中，因为 ，则 ，
所以 .
16. 已知数列 的前 项和为 ，且 ，数列 满足 ．
（1）求 ；（2）设 ，数列 的前 项和为 ，求 ．
【答案】（1） ，
（2）
【解析】
【分析】（1）已知 求 ，利用公式 求解 ，进而利用已知关系求 即可；
（2）利用错位相减法求前 项和.
【小问1详解】
由 ，
当 时， .
当 时， ，也适合 .
综上可得， .
由 ，所以 .
【小问2详解】
由（1）知
①
②
① ②得
，
所以 ．17. 如图，在四棱锥 中，底面 是直角梯形，侧棱 底面 ， ，
， ， ， 是棱 的中点．
（1）求证： 面 ；
（2）求异面直线 与 所成角的余弦值；
（3）在线段 上是否存在一点 ，使得直线 和平面 所成角为 ？若存在，求出 的值；
若不存在，说明理由．
【答案】（1）证明见解析
（2）
（3）存在； 或
【解析】
【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用数量积为0即可证明线线垂直，结合线面垂直的判定定理证明即
可；
（2）求出直线 与 的方向向量，利用空间向量求异面直线的夹角即可；
（3）求出平面 的法向量，假设 通过空间向量的线性运算求得 ，利用已
知条件列出等式求解即可得到 的值，进而可求 的值.
【小问1详解】
以 为原点，建立如图所示空间直角坐标系，则 ，,
,
，且 平面 平面
【小问2详解】
由（1）得， ，
异面直线 与 所成角的余弦值为 ．
【小问3详解】
,
由（1）得， ．
设平面 的法向量⃗n=(x,y,z)，
由 得， ，
令 ，则 ，
设 ，
．整理得， ，解得 或 存在点 或 ．
18. 如图，已知椭圆 过点 ，焦距为 ，斜率为 的直线 与椭圆
相交于异于点 的 两点，且直线 均不与 轴垂直.
（1）求椭圆 的方程；
（2）若 ，求 的方程；
（3）记直线 的斜率为 ，直线 的斜率为 ，证明: 为定值.
【答案】（1）
（2）
（3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据条件列方程组求解即可；
（2）设直线 的方程为 ，与椭圆联立，由弦长公式求得 的方程；
（3）将韦达定理代入 中计算结果为定值.【小问1详解】
由题意得 解得 ，
故椭圆 的方程为 .
【小问2详解】
设直线 的方程为 ，
由 得 ，
由 ，得 ，
则 .
，
解得 或
当 时，直线 经过点 ，不符合题意，舍去；
当 时，直线 方的程为 .【小问3详解】
直线 ， 均不与 轴垂直，所以 ，则 且 ，
所以
为定值.
19. 已知 是自然对数的底数．
的
（1）讨论函数 单调性；
（2）若关于 的方程 有两个不等实根，求 的取值范围；
（3）当 时，若满足 ，求证： ．
【答案】（1）答案见解析；
（2） ；
（3）证明见解析.
【解析】
【分析】（1）求出函数 的导数，再按 分类讨论导数值正负即得.
（2）把 的根转化为直线 与 的图象有两个交点求解.（3）由（1）的信息可得 ，构造函数 ，利用导数探讨单调性即可
推理得证.
【小问1详解】
函数 的定义域为R，求导得 ，
当 时，恒有 ，则函数 在R上单调递增；
当 时，由 ，得 ；由 ，得 ，
即函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以当 时，函数 的递增区间为 ；
当 时，函数 的递减区间为 ，递增区间为 .
【小问2详解】
方程 ，当 时，方程不成立，则 ，令 ，
依题意，方程 有两个不等实根，即直线 与 的图象有2个交点，
求导得 ，当 或 时， ，当 时， ，
函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
而当 时， ，当 时， ，且当 时， 取得极小值 ，
作出函数 的图象，如图：观察图象，当 时，直线 与函数 的图象有2个交点，
所以 的取值范围为 .
【小问3详解】
当 时， ，求导得 ，
由（1）知，函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
由 ，且 ，得 ，令函数 ，
求导得 ，
则函数 在 上单调递增，有 ，于是 ，
而 ，因此 ，即 ，又 ，
函数 在 上单调递增，从而 ，
所以 .
【点睛】思路点睛：已知函数的零点或方程的根的情况，求解参数的取值范围问题的本质都是研究函数的
零点问题，求解此类问题的一般步骤：
①转化，即通过构造函数，把问题转化成所构造函数的零点问题；
②列式，即根据函数的零点存在定理或结合函数的图象列出关系式；
③得解，即由列出的式子求出参数的取值范围．
