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绝密★启用前 ７．已知圆 Ｍ：（ｘ－ａ）２＋ｙ２＝４与圆 Ｎ：（ｘ＋２ａ）２＋ｙ２＝９交于 Ａ，Ｂ两点，且直线 ＡＢ经过线段 ＭＮ上靠近
Ｍ的三等分点，则 ａ２＝
江西省 ２０２５—２０２６学年度第一学期期中考试
４ ５
Ａ．１ Ｂ． Ｃ． Ｄ．２
３ ３
ｙ２ ｘ２ １－ｂ２
高 二 数 学 试 卷 ８．已知双曲线 Ｅ： － ＝１（ａ＞０，ｂ＞０），抛物线 Ｗ：ｙ２＝ ｘ．若 Ｅ与 Ｗ在第一象限内有唯一交点 Ａ，
ａ２ ｂ２ ｂ
则点 Ａ的轨迹是
试卷共４页，１９小题，满分１５０分。考试用时１２０分钟。
Ａ．圆的一部分 Ｂ．椭圆的一部分
注意事项：
Ｃ．双曲线的一部分 Ｄ．抛物线的一部分
１．考查范围：选择性必修第一册第一章至第二章。 二、选择题：本题共３小题，每小题６分，共１８分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全
２．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡指定位置上。 部选对的得６分，部分选对的得部分分，有选错的得０分．
３．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改 ９．记 Ｏ（０，０），直线 ｌ：ｘ＋２ｙ－ａ＝０，ｌ：ａｘ－４ｙ＋３＝０，则
１ ２
动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷 Ａ．当 ａ＝５时，点 Ｏ到 ｌ的距离为槡５
１
上无效。 ４ｙ
Ｂ．当 Ｏ在 ｌ上时，ｌ的截距式方程为 ＝１
１ ２ ３
４．考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，请将答题卡交回。
Ｃ．当 ｌ⊥ｌ时，ａ＝８
１ ２
Ｄ．当 ｌ∥ｌ时，ａ＝－３
一、选择题：本题共８小题，每小题５分，共４０分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 １ ２
１０．已知椭圆 Ｃ的两焦点分别为 Ｆ（－１，０），Ｆ（３，０），若点 Ａ（３，３）在 Ｃ的内部，点 Ｂ（１，６）在 Ｃ的外
１ ２
要求的．
部，则 Ｃ的离心率可能是
１．直线４ｘ＋ 槡２ｙ－２０２５＝０的斜率为
槡１０ １ １ ２
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
槡２ 槡２ ９ ３ ２ ３
Ａ．－２槡２ Ｂ．－ Ｃ． Ｄ．２槡２
４ ４
π
１１．记抛物线 Ｅ：ｙ２＝４ｘ的焦点为 Ｆ，过 Ｆ且倾斜角为 的直线与 Ｅ交于 Ａ，Ｂ两点，且 Ａ在第一象限．
ｘ２ ｙ２ ３
２．双曲线 Ｅ： － ＝１的渐近线方程为
１５ ３ 以 ＡＢ为直径的圆与 ｘ轴交于 Ｍ，Ｎ两点，则
槡３ 槡５ Ａ．直线 ＡＢ的方程为槡３ｘ－ｙ－ 槡３＝０
Ａ．ｙ＝±槡３ｘ Ｂ．ｙ＝± ｘ Ｃ．ｙ＝±槡５ｘ Ｄ．ｙ＝± ｘ
３ ５ １０
Ｂ．ＡＢ ＝
３
３．若直线 ｘ－ｙ－２＝０与直线 ｘ－ｙ＋ａ＝０（ａ＞０）之间的距离为２槡２，则 ａ＝
→ →
Ｃ．ＡＦ＝３ＦＢ
Ａ．１ Ｂ．２ Ｃ．３ Ｄ．４
４．过点（－２，２），（－４，０），（－４，２）的圆的半径为 １６槡３９
Ｄ．四边形 ＡＭＢＮ的面积为
９
Ａ．１ Ｂ．槡２ Ｃ．２ Ｄ．２槡２
三、填空题：本题共３小题，每小题５分，共１５分．
５．已知抛物线 Ｅ：ｙ２＝２ｐｘ（ｐ＞０）与直线 ｘ＝ｍｙ－ｐ相切，则 ｍ＝
１２．圆 ｘ２＋ｙ２－２ａｘ＝ａ２＋１（其中 ａ∈Ｒ）的周长的取值范围为 ．
槡２ 槡３
１３．在平面直角坐标系 ｘＯｙ中，已知动点 Ｐ，Ｑ分别在 ｘ轴、ｙ轴上，Ｍ是线段 ＰＱ上靠近 Ｐ的三等分
Ａ．± Ｂ．± Ｃ．±１ Ｄ．±槡２
２ ２
→ →
点，Ｎ为 Ｍ关于 ｘ轴的对称点．若 ＰＱ·ＯＮ＝－３，则点 Ｍ的轨迹方程为 ．
６．记椭圆
ｘ２
＋
ｙ２
＝１（ａ＞ｂ＞０）的离心率为 ｅ，双曲线
ｘ２
－
ｙ２
＝１的离心率为 ｅ．若 ｅｅ＝
槡１５
，则
ａ
＝ １４．若两焦点为 Ｆ，Ｆ 的双曲线上一点 Ｐ满足 ｋ ＰＦ －ＰＦ ＝ ＰＦ ＰＦ ，则称 Ｐ为该双曲线
１ ２ １ ２ １ ２
ａ２ ｂ２ １ ａ２ ｂ２ ２ １２ ４ ｂ
ｘ２ ｙ２
的“ｋ阶和谐点”．若双曲线 Ｅ： － ＝１存在“ｋ阶和谐点”，则 ｋ的最小值为 ．
Ａ．槡２ Ｂ．槡３ Ｃ．２ Ｄ．３ ４ １２
高二数学 第１页（共４页） 高二数学 第２页（共４页）
书书书四、解答题：本题共５小题，共７７分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． １８．（１７分）已知抛物线 Ｅ：ｙ２＝２ｐｘ（ｐ＞０）的准线与 ｘ轴交于点 Ｔ，过点 Ｔ的直线 ｌ与 Ｅ交于 Ａ，Ｂ两
１５．（１３分）在△ＡＢＣ中，Ａ（２，０），Ｂ（－１，０），Ｃ（－１，６）．
点，ＡＢ ＝２槡１０，ＡＢ的中垂线经过点 Ｄ（２ｐ，０）．
（１）求∠ＡＢＣ的平分线所在直线的斜截式方程；
ＭＮ
（１）若过点 Ｄ且垂直于 ｘ轴的直线与 Ｅ交于 Ｍ，Ｎ两点，求 ；
（２）求 ＡＣ边上的高所在直线的一般式方程． ＤＴ
（２）求 Ｅ的方程；
（３）记 Ｆ（ｐ，０），ＡＢ的中点为 Ｇ，△ＤＦＧ外接圆上有一点 Ｒ，求 ＴＲ的取值范围．
ｘ２ ｙ２
１６．（１５分）已知双曲线 Ｅ： － ＝１（ａ＞０）的左、右焦点分别为 Ｆ，Ｆ，Ｐ为 Ｅ上一点，当 ＰＦ⊥ｘ轴
ａ２ ３ １ ２ １
时，ＰＦ ＝３．
１
（１）求 Ｅ的方程；
→ →
（２）若 ＰＦ·ＰＦ＝１，求△ＰＦＦ 的面积．
１ ２ １ ２
ｘ２ ｙ２
１９．（１７分）已知椭圆Ｃ： ＋ ＝１（ａ＞ｂ＞０）的右焦点为Ｆ，右顶点为Ａ，且点Ａ在圆Ｆ：（ｘ－３）２＋ｙ２＝９上．
ａ２ ｂ２
（１）求 Ｃ的方程；
（２）设 Ｐ，Ｐ，Ｐ 为圆 Ｆ上三等分圆周的任意三点，设 ＦＰ，ＦＰ，ＦＰ 的延长线与 Ｃ分别交于点
１ ２ ３ １ ２ ３
Ｑ，Ｑ，Ｑ．
１ ２ ３
[ ２π)
（ｉ）设∠ＱＦＡ＝θ∈ ０， ，求 ＦＱ 关于 θ的表达式；
１ ３ １
３ １
ｘ２ ｙ２
（ｉｉ）求∑ 的值．
１７．（１５分）已知椭圆 Ｃ： ４ ＋ ３ ＝１的左、右焦点分别为 Ｆ １ ，Ｆ ２ ，直线 ｌ：ｙ＝ｋ（ｘ－４）（ｋ≠０）交 Ｃ于 Ｐ，Ｑ ｉ＝１ ＦＱ ｉ
两点．
（１）若 Ａ是 Ｃ上一动点，求△ＡＦＦ 的周长；
１ ２
（２）探究 ＰＦ ＝ＱＦ 是否成立，若成立，求出 ｌ的方程；若不成立，请说明理由．
２ ２
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