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南宁三中五象校区高 2023 级高二上数学（一）
出题人：罗卫玲 审题人：黄兵
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的．
1. 已知集合 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先解对数不等式求出集合A，再结合交集定义计算即可.
【详解】因为 ，所以 ，即 ，
所以
所以 .
故选：C.
2. 已知两条直线 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】由两直线平行求出 ，再利用充分条件、必要条件的定义判断即得.
【详解】当 时， ，则 ，
所以“ ”是“ ”的充分不必要条件.
故选：A
3. 已知直线l倾斜角的余弦值为 ，且经过点 ，则直线l的方程为（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意利用同角三角关系可得直线l的斜率 ，结合直线的点斜式方程运算求解.
【详解】设直线l的倾斜角为 ，则 ，可得 ，
则直线l的斜率 ，
且直线l经过点 ，
所以直线l 方的程为 ，即 .
故选：A.
4. 已知向量 的夹角为 ，且 ，则 在 方向上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据投影向量的计算公式，结合已知条件，直接求解即可.
【详解】由题可知： ，
故 在 方向上的投影向量为 .
故选：B.
5. 已知函数 在R上单调递增，则a的取值范围是（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据二次函数的性质和分界点的大小关系即可得到不等式组，解出即可.
【详解】因为 在 上单调递增，且 时， 单调递增，
则需满足 ，解得 ，
即a的范围是 .
.
故选：B
6. 科技是一个国家强盛之根，创新是一个民族进步之魂，科技创新铸就国之重器，极目一号（如图1）是
中国科学院空天信息研究院自主研发的系留浮空器．2022年5月，“极目一号”Ⅲ型浮空艇成功完成10次升
空大气科学观测，最高升空至9050米，超过珠穆朗玛峰，创造了浮空艇大气科学观测海拔最高的世界纪录，
彰显了中国的实力．“极目一号”Ⅲ型浮空艇长55米，高19米，若将它近似看作一个半球、一个圆柱和一
个圆台的组合体，正视图如图2所示，则“极目一号”Ⅲ型浮空艇的表面积约为（ ）
（参考数据： ， ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据球、圆柱、圆台的表面积公式计算即可.
【详解】由图2得半球、圆柱底面和圆台一个底面的半径为 ，
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学科网（北京）股份有限公司而圆台一个底面的半径为 ，圆台的母线长为 ，则
， ，
， ，
所以 ．
故选：A．
7. 已知 ，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据给定条件，利用指数、对数函数及正弦函数的单调性，借助媒介数比较大小.
【详解】依题意，
所以 .
故选：A
8. 在 中,内角 所对的边分别为 ，若 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用正弦定理得 ，再利用余弦定理有 ，由正弦定理得到
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学科网（北京）股份有限公司的值，最后代入计算即可.
【详解】因为 ，则由正弦定理得 .
由余弦定理可得: ，
即: ，根据正弦定理得 ，
所以 ，
因为 为三角形内角，则 ，则 .
故选：C.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 某公司为保证产品生产质量，连续10天监测某种新产品生产线的次品件数，得到关于每天出现的次品
的件数的一组样本数据：3，4，3，1，5，3，2，5，1，3，则关于这组数据的结论正确的是（ ）
A. 极差是4 B. 众数小于平均数
C. 方差是1.8 D. 数据的80%分位数为4
【答案】AC
【解析】
【分析】由极差的定义计算后判断选项A；由众数和平均数的定义计算后判断选项 B；计算数据方差判断
选项C；计算80%分位数判断选项D.
【详解】数据从小到大排列为1，1，2，3，3，3，3，4，5，5．
对于A，该组数据的极差为 ，故A正确；
对于B，众数为3，平均数为 ，两者相等，故B错误；
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学科网（北京）股份有限公司对于C，方差为 ，故C正确；
对于D， ， 这组数据的 分位数为第8个数和第9个数的平均数4.5，故D错误．
故选：AC．
10. 已知 ， ，且 ，则（）
A. B. C. D.
【答案】BD
【解析】
【分析】根据基本不等式逐一判断即可.
【详解】对于 ,因为 ,且 ,
所以 ，即 ,
当且仅当 时等号成立，故 错误；
对于 ,根据选项 中可知,
当且仅当 时等号成立，故 正确;
对于C， ,
当且仅当 时等号成立,故C错误;
对于D， ，
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学科网（北京）股份有限公司当且仅当 时等号成立，故D正确.
故选：BD.
11. 如图，正方体 的棱长为1，E为棱 的中点，P为底面正方形ABCD内（含边
界）的动点，则（ ）
A. 三棱锥 的体积为定值 B. 直线 平面
C. 当 时， D. 直线 与平面 所成角的正弦值为
【答案】AD
【解析】
【分析】对于A，将三棱锥 转换成 后易得其体积为定值；对于B，建系后，证明
与平面 的法向量不垂直即可排除 B 项；对于 C，设出 ，利用 证得
，再计算 ，结果不为0，排除C项；对于D，利用空间向量的夹角公式计算即得.
【详解】
对于A，如图1，因 ,故A正确；
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学科网（北京）股份有限公司对于B，如图2建立空间直角坐标系，则 ,
于是， ，
设平面 法向量为 ，则 ，故可取 ，
的
由 知 与 不垂直，
故直线 与平面 不平行，即B错误；
对于C，由上图建系，则 , ,
因P为底面正方形ABCD内（含边界）的动点,不妨设 ，则 ， ，
由题意， ，即 ，于是 ，
此时 ，故 与 不垂直，即C错误；
对于D，由图知平面 的法向量可取为 ，因 ，
设直线 与平面 所成角为 ，
则 ，故D正确.
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学科网（北京）股份有限公司故选：AD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知 ， ，若 与 的夹角是锐角，则实数 的取值范围是______．
【答案】 且
【解析】
【分析】利用平面向量夹角为锐角的充要条件，列出不等式求解作答.
【详解】向量 ， ，由 与 的夹角是锐角，得 且 不共线，
则 ，解得 且 ，
所以实数 的取值范围是 且 .
故答案为： 且
13. 已知 为第一象限角， 为第三象限角， ， ，则
_______.
【答案】
【解析】
【分析】法一：根据两角和与差的正切公式得 ，再缩小 的范围，最后结合同角
的平方和关系即可得到答案；法二：利用弦化切的方法即可得到答案.
【详解】法一：由题意得 ，
因为 ， ，
则 ， ，
又因为 ，
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学科网（北京）股份有限公司则 ， ，则 ，
则 ，联立 ，解得 .
法二： 因为 为第一象限角， 为第三象限角，则 ,
， ，
则
故答案为： .
14. 已知函数 在区间 有且仅有3个零点，则 的取值范围是________．
【答案】
【解析】
【分析】令 ，得 有3个根，从而结合余弦函数的图像性质即可得解.
【详解】因为 ，所以 ，
令 ，则 有3个根，
令 ，则 有3个根，其中 ，
结合余弦函数 的图像性质可得 ，故 ，
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学科网（北京）股份有限公司故答案为： .
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 某校为了增强学生的身体素质，积极开展体育锻炼，并给学生的锻炼情况进行测评打分.现从中随机选
出100名学生的成绩（满分为100分），按分数分为 ，
共6组，得到如图所示的频率分布直方图.
（1）求 的值，并求这100名学生成绩的中位数（保留一位小数）；
（2）若认定评分在[80,90)内的学生为“运动爱好者”，评分在[90,100]内的学生为“运动达人”，现采用分层
抽样的方式从不低于80分的学生中随机抽取6名学生参加运动交流会，大会上需要从这6名学生中随机抽
取2名学生进行经验交流发言，求抽取的2名发言者中恰好“运动爱好者”和“运动达人”各1人的概率.
【答案】（1） ，中位数是 分
（2）
【解析】
【分析】（1）根据频率之和为 求得 ，根据中位数的求法求得中位数.
（2）先按分层抽样计算出 、 抽取的人数，然后利用列举法求得所求概率.
【小问1详解】
依题意， ，解得 .
前三组的频率为 ，
所以中位数为 分.
【小问2详解】
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学科网（北京）股份有限公司的频率为 ， 的频率为 ，两者的比例是 ，
所以抽取的 名学生中， 中的有 人，记为 ；
在 中的有 人，记为 ；
从中抽取 人，基本事件有 ，
共 种，其中恰好“运动爱好者”和“运动达人”各1人的是：
，共 种，故所求概率为 .
16. 如图，在四棱锥 中 平面ABCD，E为PD的中点， ， ，
．
（1）求证：平面 平面
（2）求直线EC与平面PAC所成角的正弦值．
【答案】（1）证明见详解；
（2） .
【解析】
【分析】（1）将问题转化为证明 平面 ，利用已知，结合勾股定理即可得证；
（2）利用（1）中结论判断线面角，结合直角三角形性质将所求转化为 即可.
【小问1详解】
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学科网（北京）股份有限公司因为 平面 ， 平面 ，所以 ，
由题知， ， ，所以 ，
由余弦定理得 ，
所以 ，又 ，所以 ，
即 ，因为 平面 ，所以 平面 ，
因为 平面 ，所以平面 平面 .
【小问2详解】
由（1）知， 在平面 内的射影为 ，所以 在平面 内的射影也为 ，
故直线EC与平面PAC所成角即为 .
因为 ，所以 ，
所以 ，又因为E为PD的中点，所以 ，
所以 ，所以 .
17. 已知函数 是定义在 上的奇函数，且 .
（1）求函数 的解析式；
（2）判断并证明 在 上的单调性；
（3）解不等式 .
【答案】（1） ， ．
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学科网（北京）股份有限公司（2） 在 上为减函数,证明见解析.
（3）
【解析】
【分析】（1）根据函数奇偶性的定义可得 ，结合 可得 ，故可求函数的解析式.
（2）根据单调性的定义可得 在 上为增函数；
（3）根据（2）中的单调性可求不等式的解.
【小问1详解】
函数 是定义在 上的奇函数， ，解得： ，
∴ ，而 ，解得 ，
∴ ， ．
【小问2详解】
函数 在 上为减函数；证明如下：
任意 ， 且 ，
则 ，
因为 ，所以 ， ，
所以 ，即 ，所以函数 在 上为减函数．
【小问3详解】
由题意，不等式 可化为 ，
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学科网（北京）股份有限公司所以 ，解得 ,所以该不等式的解集为 ．
18. 已知 的内角 所对的边分别是 .
（1）求角 ；
（2）若 外接圆的面积为 ，且 为锐角三角形，求 周长的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用正弦定理角化边，可得 ，再结合余弦定理，即可求得角B；
（2）求出 的外接圆半径，由正弦定理结合三角恒等变换可表示出 ，
结合角A的范围，即可求得答案.
【小问1详解】
因为 ，所以由正弦定理得 ，
化简可得 ，由余弦定理得 ，
因为 为三角形内角，B∈(0,π)，所以 .
【小问2详解】
因为 的外接圆面积为 ，故其外接圆半径为 ，
因为 ，所以由正弦定理可得
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学科网（北京）股份有限公司故 ，
所以
，
因为 为锐角三角形，则 ，
，
即 的周长的取值范围为 .
19. 如下图，在 中， ， ，D是AC中点，E、F分别是BA、BC边上的动点，
且 ；将 沿EF折起，将点B折至点P的位置，得到四棱锥；
（1）求证： ；
（2）若 ，二面角 是直二面角，求二面角 的正切值；
的
（3）当 时，求直线PE与平面ABC所成角 正弦值的取值范围．
【答案】（1）证明见解析
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学科网（北京）股份有限公司（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据线面垂直判定定理证明线面垂直得出线线垂直；
（2）根据直二面角建立空间直角坐标系求二面角余弦进而求出正弦值计算正切值即可；
（3）先建立空间直角坐标系，再设坐标结合垂直关系求参，最后结合线面角的正弦应用以及对勾函数单
调性得出范围即可.
【小问1详解】
因为 ，
所以 ，即 平面 ，
平面 ， 平面 ，
所以
【小问2详解】
因为二面角 是直二面角，
所以平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ， 平面
，
以 分别为 轴建立空间直角坐标系，
设平面 法向量为 ，
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学科网（北京）股份有限公司设平面 法向量为
，
令 ，得 ，所以 ，
设二面角 为 ，
.
，
【小问3详解】
分别以CA反方向和CB方向分别为 轴，过F做 的垂线为z轴，
设 ， ，显然 ，
，
，得出 ，则 ，则 ，
根据翻折后勾股定理得 ，
化简得 ，因为构成直角三角形，则 ，且 ，解得 ，
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学科网（北京）股份有限公司设平面 的法向量为 ，
设直线PE与平面ABC所成角为 ，
，
则 ，
令 ， ，令 ，则 ，且 ，
，
根据对勾函数 在(0,1)上单调递减，且恒大于0，
则函数 在(0,1)单调递增，则 ，即 ，
则 ，即正弦值的取值范围 .
【点睛】方法点睛：先建立空间直角坐标系，再设坐标结合垂直关系求参，最后结合线面角的正弦应用基
本不等式得出范围即可.
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学科网（北京）股份有限公司
