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哈尔滨德强高级中学 2025-2026 学年度上学期期末考试
高二年级数学试题（Ⅰ卷）
时间：120 分钟 满分：150 分
一、单选题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分，每小题四个选项中，仅有一项正确）
1 等于（ ）
A. 35 B. 210 C. D. 21
2. 抛物线 的焦点为（ ）
A. B. C. D.
3. 下列求导结果正确的是（ ）
A. B.
C. D.
4. 在等差数列 中， 则其前 11 项的和
A. 99 B. 198 C. D. 128
5. 已知圆 与圆 ，若圆 C 完全覆盖圆 ， ，则圆 C 的半径的最小值
为（ ）
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
6. 若数列 满足 ，且 ，则数列 的
第 100 项为
A. 2 B. 3
C. D.
7. 已知 为抛物线 上一点，直线 与抛物线 交于 ， 两点，点 不在直线
上，且直线 与 的倾斜角互补，则直线 的斜率为（ ）
第 1页/共 4页A. B. C. D.
8. 已知当 时，函数 恒成立， 的导数为 ，且 ，则
的范围是（ ）
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）
9. 若 3 男 3 女排成一排，则下列说法正确的是（ ）
A. 共计有 720 种不同的排法
B. 男生甲在排头或在排尾的排法总数为 240 种
C. 男生甲、乙相邻的排法总数为 240 种
D. 男女生相间排法总数为 36 种
10. 已知函数 ，则（ ）
A. 函数 在 上单调递增
B. 函数 有且仅有一个零点
C. 函数 有且仅有一个极值点
D. 直线 是曲线 的切线
11. 已知等比数列 的各项均为正数，公比为 q，且 ， ，记 的前 n 项积为
，则下列选项中不正确的是（ ）
A B.
C. D.
12. 已知双曲线 的左焦点为 ， 为 右支上的动点，过 作 的一条渐近
线的垂线，垂足为 ， 为坐标原点，当 最小时， ， ， 成等差数列，则下列说法
正确的是（ ）
A. 若 的虚轴长为 2，则 到 的一条渐近线的距离为 2
第 2页/共 4页B. 的离心率为
C. 若 的焦距为 2，则 到 的两条渐近线的距离之积小于
D. 若 的焦距为 10，当 最小时，则 的周长为
三、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）
13. 函数 的单调减区间是______________
14. 甲、乙等五名学生志愿者在校庆期间被分配到莘元馆、求真馆、科教馆、未名园四个不同的岗位服务，
每个岗位至少一名志愿者，则甲、乙两人各自独立承担一个岗位工作的分法共有____种．(用数字作答)
15. 已知椭圆 ，点 是椭圆的左右焦点，点 A 是椭圆上的点， 的内切
圆的圆心为 ，若 ，则椭圆的离心率为______.
16. 2024 央视春晚魔术表演的背景是约瑟夫问题，这是一个经典的数学问题，用数学语言描述为：将数字
按顺时针排列在圆周上，首先取走数字 2，然后按照顺时针方向，每隔一个数字就取走
一个数字，直到圆周上只剩下一个数字，将这个数字记为 ．例如 时，操作可知 ，则
___________．
四、解答题（本大题共 6 小题，其中第 17 题 10 分，18-22 题每题 12 分，共 70 分）
17. 已知圆 经过 和 两点，且圆心在直线 上．
（1）求圆 的方程；
（2）从点 向圆 C 作切线，求切线方程．
18. 等差数列 满足 ， ，正项等比数列 满足 ， 是 和 等比中项．
（1）求 和 的通项公式；
（2）记 ，求数列 的前 项和 ．
19.
已知函数 ，
（I）当 时，求函数 的极值；
（II）若函数 在区间 上是单调增函数，求实数 的取值范围.
第 3页/共 4页20. 设数列 的前 n 项和为 ，且 （I）求数列 的通项公式；
（II）设数列 满足： ，又 ，且数列 的前 n 项和为 ，求证： ．
21. 已知函数 满足： .
（1）求 的解析式；
（2）若 ，且当 时， ，求整数 k 最大值.
22. 已知中心在原点，焦点在 轴 椭圆过点 ，且焦距为 ，过点 分别作斜率为 、
的椭圆的动弦 、 ，设 、 分别为线段 、 的中点．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）当 ，直线 是否恒过定点？如果是，求出定点坐标．如果不是，说明理由．
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