文档内容
河南省南阳市第一中学校2025-2026学年高二上学期第二次（10月）月考
数学试题
一、单选题
1．若椭圆 的离心率为 ，则k的值是（ ）
A．4 B． C．4或 D．4或
2．中国是世界上最古老的文明中心之一，中国古代对世界上最重要的贡献之一就是发明了瓷器，中国陶
瓷是世界上独一无二的，它的发展过程蕴藏着十分丰富的科学和艺术，陶瓷形状各式各样，从不同角度诠
释了数学中几何的形式之美，现有椭圆形明代瓷盘，经测量得到图中数据，则该椭圆瓷盘的离心率为（
）
A． B． C． D．2
3．已知半径为1的动圆与圆 相切，则动圆圆心的轨迹方程是（ ）
A．
B． 或
C．
D． 或
4．设直线 与圆 相交于 两点，且 ，则 为（ ）
A．2 B． C．3 D．5．已知 为椭圆 的左右焦点， ，点 在椭圆 上， 是椭圆
上的动点，则 的最大值为（ ）
A．4 B． C．5 D．
6．已知离心率为 的双曲线 的左、右焦点分别为 为右支上的一点，若
，则 （ ）
A． B． C． D．
7．已知动点 在圆 ： 上，若以点 为圆心的圆经过点 ，且与圆 交于 两点，记点
到直线 的距离为 ，且 的最小值为 ，最大值为 ，则 （ ）
A． B． C． D．
8．坐标平面 上的点 ，将点 绕原点 逆时针旋转 后得到点 .这个过程称之为
旋转变换，已知旋转变换公式： ，将曲线 ： 绕原点 顺时针旋转 后
得到曲线 ，则曲线 的方程为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．点 为抛物线 上一点，点F是抛物线的焦点，O为坐标原点，A为C上一点，
且 ，则（ ）A． B．
C．直线AF的斜率为 D． 的面积为16
10．已知 为椭圆 ( )的两个焦点，B为椭圆短轴的一个端点， ，则
椭圆的离心率的取值可以是（ ）
A． B．
C． D．
11．已知曲线 ： ，若直线 与 的交点的可能个数的集合记为 ，则（ ）
A． 关于 轴对称
B．
C．
D．“ ”的充要条件是“ ”
三、填空题
12．已知点 ， 是直线 上的两点，若 ，则
13．已知双曲线E： 的左、右焦点分别为 ， ．若点A，B在E的左支上，且
， ，则E的离心率为 ．
14．在平面直角坐标系中，已知圆 和圆 ，设P为平面上的
点，若满足：存在过点P的无穷多对互相垂直的直线 和 ，它们分别与圆 和圆 相交，且直线 被圆截得的弦长与直线 被圆 截得的弦长相等，则所有满足条件的点P的坐标是
四、解答题
15．已知直线 ，试求：
(1)直线 关于直线 对称的直线方程；
(2)直线 关于 对称的直线方程．
16．已知圆 ，圆 的圆心在直线 上，且过点 ．
(1)求圆 的标准方程；
(2)已知第二象限内的点 在圆 上，过点 作圆 的切线 恰好与圆 相切，求 的斜率．
17．在平面直角坐标系中，已知 ，直线 与 相交于点 ，且两直线的斜率之积为 ．
(1)设点 的轨迹为 ，求曲线 的方程；
(2)设一组斜率为 的平行直线与 均有两个交点，证明这些直线被 截得的线段的中点在同一条直线上．
18．已知椭圆 ，双曲线 ，设椭圆 与双曲线 有相同的焦点，点 ，
分别为椭圆 与双曲线 在第一、二象限的交点．
（1）求椭圆 的标准方程；
（2）设直线 与 轴相交于点 ，过点 作直线交椭圆 于 ， 两点（不同于 ， ），求证：直
线 与直线 的交点 在一定直线上运动，并求出该直线的方程．
19．已知 ， 既是双曲线 ： 的两条渐近线，也是双曲线 ： 的渐近线，且双曲
线 的焦距是双曲线 的焦距的 倍.(1)任作一条平行于 的直线 依次与直线 以及双曲线 ， 交于点 ， ， ，求 的值；
(2)如图， 为双曲线 上任意一点，过点 分别作 ， 的平行线交 于 ， 两点，证明： 的面
积为定值，并求出该定值.参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C B D B B B C B ABD ABC
题号 11
答案 ABD
1．C
【详解】当 即 时，离心率 ，解得 符合题意，.
当 即 时，离心率 ，解得 ，符合题意.
综上，k的值是4或 .
故选：C
2．B
【详解】由题意椭圆长轴长为8，短轴长为4，
可知 ， ，则 ，
所以椭圆的离心率为： .
故选：B．
3．D
【详解】由 ，圆心为 ，半径为4，
设动圆圆心为 ，若动圆与已知圆外切，则 ，
即 ；
若动圆与已知圆内切，则 ，
即 .
综上所述，动圆圆心的轨迹方程是 或 .故选：D.
4．B
【详解】由题意，
在 中，
在 中， ，半径为 ，
直线与圆相交于 两点，且 ，
设 中点为C，连接 ， ，
由几何知识得， ， ，
在Rt 中， ，
由勾股定理得， ，即 ，解得 ，
故选：B.
5．B
【详解】由题意可知 ，则 ， ，
点 在椭圆 上，则 ，结合 ，
解得 ，故 ，
设 ，则 ，
则，
当且仅当 时， 取最大值 ，
即 的最大值为 ，
故选：B
6．B
【详解】由题意可知 ，所以 ，
由双曲线定义可得 ，则 ，
则 ，
所以 为直角三角形，
所以 ．
故选：B.
7．C
【详解】如图过点 作一条直径交圆 于点 ，以点 为圆心，经过点 的圆交圆 于 ，
以点 为圆心，经过点 的圆交圆 于 ，因 到直线 的距离为 ，当点 与点 重合时， 取得
最小值 ，
当 与点 重合时， 取得最大值 .下面分别求这两个值.
由图知直线 的方程为 ，代入 ，可解得： ，
易知圆 的半径即 ,故得圆 ，
将圆 与圆 方程左右分别相减即得直线 的方程： ，于是
.
同法可得：圆 的半径即 ,故圆 ，
将圆 与圆 方程左右分别相减即得直线 的方程： ，
于是 .
故有：故选：C.
8．B
【详解】设曲线 上一点 ，其绕原点 顺时针旋转 后对应的曲线 上的点为 ，
则 ，即 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，即 .
所以曲线 的方程为 .
故选：B
9．ABD
【详解】由题意可知， ，则 ，则 ，焦点 ，故AB正确；
设点 ，则 ，则 ，
，则 ，
即 或 ，所以直线 的斜率为0，故C错误；的面积为 ，故D正确.
故选：ABD
10．ABC
【详解】由椭圆的定义可知：
，则 ，
∴ ，
∵ ，即 ，
∴ ，又 ，∴ .
故选：ABC.
11．ABD
【详解】当 时，曲线 的方程为 ，表示为圆心在原点、半径为1的上半圆；
当 时，曲线 的方程为 ，表示为焦点在 轴、对称中心在原点的双曲
线的 轴下方的部分，其渐近线方程为 ；
对于A，设点 在曲线 上，点 关于 轴对称的点为 ，
因为 ，所以曲线 关于 轴对称，故A正确；对于B， 时，直线 恒过定点 ，如图，
当 ，或 时，曲线 与直线 只有1个交点，
当 ，曲线 与直线 有2个交点，所以 ，故B正确；
对于C，当 时，直线 恒过定点 点，
当曲线 与直线 相切时，
圆心 到直线 的距离为 ，解得 ，
当 ，或 ，或 时，曲线 与直线 只有1个交点，
当 时，曲线 与直线 没有交点；
当 时，曲线 与直线 有2个交点；
所以 ，故C错误；对于D， 时，直线 恒过定点 点，
当曲线 与直线 相切时，
圆心 到直线 的距离为 ，解得 ，
当直线 过 时，得 ，
当直线 过 时，得 ，
若曲线 与直线 有2个交点时，
则 ，或 ，
若曲线 与直线 有1个交点时，
则 ，或 ，或 ，
当 时，曲线 与直线 没有交点；
当直线 与曲线 相切时，联立方程
得 ，
可得 ，解得 ，
当 ，或 时，
直线 与曲线 有2个交点，
当 ，或 时，
直线 与曲线 有1个交点，
当 时，曲线 与直线 没有交点；所以当直线 与曲线 与有2个交点、与
有1个交点时， ，或 ；
当直线 与曲线 有1个交点、与
有2个交点时， ，或 ，
综上所述， 时，曲线 ： 与直线 交点个数为3个，
故D正确.
故选：ABD.
12．
【详解】因为 ， 是直线 上的两点，
所以 ， ．
根据两点间的距离公式，得
，
解得 .
故答案为：13． /
【详解】假设点 在第二象限，如图，设 ，则 ．
由双曲线的定义得 ， ．
因为 ，所以在 中， ，
即 ，整理得 ，
所以 ， ，
故在 中， ，即 ，
整理得 ，所以 ．又 ，所以 ．
故答案为： .
14． 或
【详解】设点 坐标为 ，由题可知存在过点P的无穷多对互相垂直的直线 和 ，
所以一定有无穷多对直线 和 斜率存在满足题意，故可设直线 的方程分别为：
，
即： ，因为直线 被圆 截得的弦长与直线 被圆 截得的弦长相等，两圆半径相等，
由垂径定理，得圆心 到直线 与圆心 到直线 的距离相等，
∴ ，
化简，得 ，或 ，
关于 的方程有无穷多解，有 或 ，
解方程组，得点 坐标为 或 ，
经检验以上两点满足题意.
故答案为： 或 .
15．(1)
(2)
【详解】（1）由 可得 ，
直线 与直线 的交点为 ，
再在直线 上取一点 ，
设点 关于直线 的对称点为 ，
则由 解得 ，即 ．由题意可得 、 两点是所求直线上的两个点，则直线斜率为 ，
则直线方程为 ，化简为 ．
（2）在直线 上任意取出两个点 ，
求出这两个点关于点 对称点分别为
由题意可得 ，是所求直线上的两个点，
则直线斜率为 ，则所求直线方程为 ，即 ．
16．(1)
(2)
【详解】（1）设圆 的圆心坐标为 ，半径为 .
因为圆 过点 和 ，根据圆的标准方程 .
对于点 有 ，即 ①.
对于点 有 ，即 ②.
将②代入①可得： .
展开得 .
移项化简得 ，即 ，解得 .
把 代入②得 .
所以圆 的标准方程为 .
（2）如图所示，两圆外离，公切线有四条，由于第二象限内的点 在圆 上显然满足题意的是 .下面求公切线斜率.显然斜率存在，设切线 .
圆心 到切线 （即 ）的距离 （∗），
圆心 到切线 （即 ）的距离 （∗∗），
两个式子比，得到由 .化简得到 ，
则 或者 .即 或者 .
当 时，代入方程（∗），得到 ，两边平方整理得 ，解得 或
.
当 时，代入方程（∗），同样得到 ，解得 .
由于 且由图知道 ，因此， .
故满足题意的 的斜率为 .
17．(1) ；
(2)证明见解析.【详解】（1）设交点 ，则根据直线 与 两直线的斜率之积为 可得，
，整理得： ，
由于直线 与 两直线的斜率一定存在，则 ，
所以点 的轨迹为 的方程为： .
（2）
设斜率为 的直线与曲线 相交于两个交点 ，
则由直线方程 与椭圆方程 联立方程组可得：
，
由韦达定理可得： ，
而 ，
设 中点 ，则 ，
从而有 ，即可证明这些平行直线的中点一定在直线 上.
18．（1） ；（2）证明见解析， .
【详解】（1）因为椭圆 与双曲线 有相同的焦点，所以 ，
将点 代入椭圆方程得 ，联立两式解得， ， ，所以椭圆 的标准方程为： ．
（2）依题意，直线AB： ，则点 坐标为 ，直线 与直线 不重合，于是得直线 的斜率
不为0，
设直线 的方程为 ，由 得 ，
设 ， ， ，则 ， ，
由 ， ， 共线得： ，即： ，
同理，由 ， ， 共线得： ，
两式相减并整理得， ，从而得 ，解得 ，
综上所述，直线 与直线 的交点 在定直线 上运动．
19．(1)
(2)证明见解析，
【详解】（1）依题意 ，根据双曲线 的焦距是双曲线 的焦距的 倍，可得 ，
即 ，故双曲线 ： ，
不妨设 ： ，则设 ： ，联立 ，可得 ，联立 可得 ，
联立 可得 ，
从而 ,所以
（2）如图，延长 ， 分别交渐近线于 ， 两点，
由（1）可知 ，则 ，
设 ，则 ： ，联立 ，
解得 ，
而 ： ，联立 ，解得 ，
从而 ，
设 的倾斜角为 ，则 ，而 ，故 ，
