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2025-2026 学年湖北省咸宁市华师元一赤壁学校高二（上）9 月月考
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.数据： ， ， ， ， ， ， ， ， ， 的 分位数是( )
A. 1 2 3 4 5B.6 7 8 9 10 C3.0% D.
2.若2.5复数 ，则3 ( ) 3.5 4
3
A. =3+ −2 B. | |= C. D.
3.如图5 ，已知某频率分布直方图6 形成“右拖尾”形态10，则下列结论正确3的2是( )
A.众数 平均数 中位数
B.众数=中位数=平均数
C.众数<平均数<中位数
D.中位<数 平均<数 众数
4.某校高一<、高二、<高三的学生志愿者人数分别为 ， ， 按学生所在年级进行分层，用分层随机抽
样的方法从中抽取 名学生去敬老院献爱心从这 1人00中随10机0抽5取0. 人作为负责人，则 名负责人至少有一
名来自高二年级的概5率为( ) . 5 2 2
A. B. C. D.
4 2 3 7
5.已5 知 、 ，若5斜率存在的直线 经过5 点 ，且与线10段 有交点，则 的斜率的取值范围
为( ) (−2,3) (2,1) (0,−1)
A. B.
C. [−2,1] D.[−1,2]
6.已(−知∞正,四−棱2]锥∪的[1,底+面∞边) 长为 ，且其侧面积是底(面−积∞,的−1]倍∪，[2则,+此∞正)四棱锥的体积为( )
A. B. 6 C. 3 D.
7.已36知向3量 ， 满足 ，36 6 ，则72在2上的投影向量为1(08) 6
| |= 5 ⋅(3 )=−30
A. B. C. D.
2 6 2 3
8.如−图5 ，在扇形 中，半径−5 ，圆心角 −3 ， 是扇形弧上−的5 动点，
过 作 于 ，作 于=2，记 ∠ ，=60° ，则 ( )
A. 在 ⊥上 单 调 递增 ⊥ B.在∠ =上 单调 递=增 ( ) ( )
C.是定
(0
值
,6]
D.是
( 定6, 值3)
3 1
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1 9二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知事件 ， ，且 ， ，则( )
A.事件 与事 件 互为 对( 立)事=件0.3 ( )=0.5
B.若事件 与事件 互斥，则
C.若事件 与事件 互斥，则 ( ∪ )=0.8
( )=0.2
D.若 ，则事件 与事件 相互独立
−−
10.已 知( 点 )是=0.35 所在平面 内一点 ，且 ， ， ，则下列说法正确的是( )
A.若 △， 则 点 是边 的中点 =2 + ∈
1
= =2
B.若点 是边 上靠近 点的三等分点，则
1
= =3
C.若 ，则
1
2 + =2 △ =2 △
D.若点 在 边的中线上，且 ，则点 是 的重心
2
11.在棱 长为 的正方体 2 + =3 中，点 是△平 面 内一个动点，
3 − 1 1 1 1 1 1
且满足 ，则下列结论正确的是( )
3( 2+ 6)
A. + 1 = 2
B.点 1 的⊥轨 迹 是一个半径为 的圆
C.直线 与平面 所成角2 为定值
D.三棱 锥1 1体 积1的最大值为
− 1 1 3
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知复数 满足 ，则 的值为______．
2
13.若直线 ： +4=0 |与 +直2线| ： 平行，则实数 ______．
2
14.如图，设 1 2、 + 是 平+面 内=相0交成 角2 的 两+条2 数+轴1，=0、 分别是与 轴 、=
轴正方向同向 的 单 位 向量对于平面内6任0意° 一点 ，若向量 1 2 ，则记
， .已知平面内两点 、 =， 其 1 中+ 2 ，
则 ( 点 , ) 的 轨( 迹 围)=成|的 |图+形| 面|. 积为______；若 ( 1, 1) ( 2, 2) ，则 ( )的=最2
( )
大值为 ______． ( )=2 ( )=2 | |
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2 9四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15. 本小题 分
在 ( 中，1角3 ) 的对边分别为 ， ．
2 2 2
求 的大小 , , , , + = + 2
(1)求 ; 的最大值．
(126). 本小2c题os +分cos
已知( 的15顶点) ， ， ， 为 的中点．
求△直 线 的斜率 (；1,3) (2,7) (−3,4)
(1)判断 的形状；
(2)设 ，△ 分 别 为 ， 的中点，求直线 的斜率．
(137). 本 小题 分
某市(为提高市15民对)文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取
份作为样本，将样本的成绩 满分 分，成绩均为不低于 分的整数 分成六组： ， ， 100，
， ， (，得到10如0图所示的频率分布直4方0图． ) [40,50) [50,60) [60,70)
[70求,80频)率[分80布,9直0)方[图90中,10的0]值与样本成绩的平均数；
(1)在样本答卷成绩为 ， ， 的三组市民中，用分层抽样的方法抽取 人，则样本的
(答2)卷成绩在 中的[7市0,8民0)应抽[8取0,多90少) 人[9？0,100] 13
若落在 [70,80的) 平均成绩是 ，方差是 ，落在 的平均成绩为 ，方差是 ，求这两组成绩的
(总3)平均数 [和50总,6方0)差 ． 57 2 [60,70) 69 5
−
2
18. 本小题 分
某班(元旦联欢17会上)开展趣味抽奖小游戏，在不透明的盒子里装有标号为 ， 的两个红球和标号为 ， ，
的三个白球，五个小球除颜色和标号外完全相同，参与游戏的同学从中任1 取2 个，有放回地抽取 3次4，根5
1 2
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3 9据抽到小球的情形分别设置一，二，三等奖班委会讨论了以下两种规则：
规则一：若抽到两个红球且标号和为偶数获一. 等奖，抽到两个白球且标号和为偶数获二等奖，抽到两个球
标号和为奇数获三等奖，其余不获奖；
规则二：若抽到两个红球且标号和为奇数获一等奖，抽到两个球的标号和为 的倍数获二等奖，抽到两个
球标号和为偶数，且不是 的倍数获三等奖，其余不获奖． 5
求两种规则下获得二等5奖的概率；
(1)请问哪种规则的获奖概率更大，并说明理由．
(129). 本小题 分
如图(，在正方17体 ) 中，棱长为 ， 是棱 的中点， 是 的中点， ．
证明： 平 面 − ；1 1 1 1 2 1 1 =3
(1)求四棱锥 // 和 四棱锥 重合部分的体积；
(2)求二面角 1− 的平面角 的1−余 弦 值 ．
(3) 1− −
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4 9参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10 .
11.
12.
13.2 2
14.−2
15.4解：3 2 由题意， ．
2 2 2
(1) + = + 2
余弦定理： ．
2 2 2
+ − 2 2
= 2 = 2 = 2
∵ 0< <
，
∴ = 4
， ，
(2)∵ + + = = 4
则 ．
3
= 4 −
那么：
3 2 2
2 + = 2 +cos( 4 − )= 2 − 2 + 2 =sin( +4).
3
∵ 0< <
4
∴ < + <
当4 4时，取得最大值为 ．
即
+4 =2
的最大值 ．
1
2 + 1
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5 916. 由题意 的顶点 ， ， ，
因为(1)为 的△中点 ， 结合已 知(1坐,3标) 有 (2,7) (，−3则,4) ；
11
1 11 2−3 5
由 ， ( ， −2, 2 ) = ，− 1 2−1 =−3
7−3 4−3 1 7−4 3
(
由
2) =2−1=
，
4 = ，−知3−1=−4是直
角
= 三2角−形(−3．)=5
又 ⋅ =−1，结 =合9已0知° ，则△ 是 的垂直平分线，
所以 ⋅ 是=−等1腰直角三角形．
由△于 ， 分别为 ， 的中点，所以 是 的中位线，则 ，
(所3)以 ， 故 直 线 的斜率为 ． △ / /
3 3
17. 根 据 = 题 意 = 可5得 5 ，解得 ；
所以(1样)本成绩的平均(数0.0为0：5+0.01+0.02+ +0.025+0.01)×10=1 =0.03
；
45×因0为.05+55，×0.1+65，×0.2+7三5×组0的.3频+率85之×比0为.25+：95×0.：1=74 ： ： ，
(所2)以样本[7的0,答80卷) 成[8绩0在,90) [90中,10的0]市民应抽取 人； 0.3 0.25 0.1=6 5 2
因为 与 [7的0,8频0率) 之比为 ： 6 ： ，
(又3)落在 [50,60)的平[6均0,成70绩) 是 ，方差是0.1，0落.2在=1 2 的平均成绩为 ，方差是 ，
[50,60) 57 2 [60,70) 69 5
所以这两组成绩的总平均数为 ，
− 1 2
=57×3+69×3=65
所以这两组成绩的总方差为 ．
2 2 1 2 2
18. 据题意，两次抽取小球
的
=
所
[2
有
+
可
(5
能
7
结
−
果
65
为
)
：
]×3+[5+(69−65) ]×3=36
(1，) ， ， ， ， ， ， ， ，
(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，
(2,5)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(4,1)，(共4,2) 种(4情,3况) ，
(记4,规4)则一(4获,5)得二(5等,1奖) 为(5事,2件) (5，,3记) 规(则5,4二)获(得5,5二)等奖为25事件 ，
事件 包含 ， ， 2 ， ， ，共 个样本点 2，
2 (3,3) (3,5) (4,4) (5,3) (5,5) 5
，
5 1
∴事 件( 2)包=含25=5， ， ， ， ，共 个样本点，
2 (1,4) (2,3) (3,2) (4,1) (5,5) 5
．
5 1
∴ ( 2)= 25=5
两种规则下获得二等奖的概率均为 ．
1
∴ 5
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6 9两种规则的获奖概率一样大．理由如下：
(记2)规则一获得一、二、三等奖分别为事件 ， ， ．
1 2 3
由 可知事件 包含 ， 两个样本点，所以 ．
2
事件(1) 包含 1 ， (1，,1) (2，,2) ， ， ，( 1)=，25 ， ， ， ， ，共 个
样本点 3， (1,2) (1,4) (2,1) (2,3) (2,5) (3,2) (3,4) (4,1) (4,3) (4,5) (5,2) (5,4) 12
．
12
∴ ( 3)= 25
由 知 ，
1
(1) ( 2)= 5
规则一的获奖概率为 ．
2 1 12 19
∴规则二为：抽到两个红 球( 且 1+标 号 2 和+为 3 奇)=数 获( 一 1 等)+奖 ，( 2)+ ( 3)= 25+5+25=25
抽到两个球的标号和为 的倍数获二等奖，抽到两个球标号和为偶数，且不是 的倍数获三等奖，其余不
获奖， 5 5
记规则二下获得一、二、三等奖分别为事件 ， ， ．
1 2 3
事件 包含 ， 两个样本点， ；
2
事件 1 包含(1,2)，(2,1)， ， ∴， ( 1)，= 25 ， ， ， ， ， ， ，共 个
样本点 3， (1,1) (1,3) (1,5) (2,2) (2,4) (3,1) (3,3) (3,5) (4,2) (4,4) (5,1) (5,3) 12
，
12
∴ ( 3)= 25
由 知 ，
1
(1) ( 2)= 5
规则二的获奖概率为 ，
2 1 12 19
∴两种规则的获奖概率一 (样 1 大+． 2+ 3)= ( 1)+ ( 2)+ ( 3)= 25+5+25=25
∴19. 证明：如图所示，取 的中点 ，在 上取 ，
(1) =3
因为 是 的中点， 是 的中点，
1
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7 9所以 ，且 ，
1 1
因为 // ， =2 ，=4 1
1 =3 =3
所以 ，且 ，
1
所以 // ， =4， 1
所以四 边//形 是=平 行 四边形，则 ，
因为 平 面 ， 平面 ，//
所以 ⊄平面 ； ⊂
如 图 /，/设 ， ，取 中点为 ， 的中点为 ，
(2) 1 ∩ 1 = 1 ∩ 1 =
由正方体性质可知，点 为正方体的中心，
所以四棱锥 和 四棱锥 重合的几何体为四棱锥 和三棱柱 形成的组
合体． 1− 1− − −
，
四边形
1
△ =2×2×1=1, =2×1=2
；
四边形
1 1 5
=以 点 − 为 坐 标+ 原 点 − ， 直=线 △ 为 ⋅轴| ， |直+线3⋅ 为 轴 ， 直⋅ℎ线=1×为1+轴3建×立2如×图1=所3示的空间直角坐标系，
(3) 1
有 ， ， ， ， ， ，
1 3 1
1(0,2,2) (0,2,0) (2,2,0) (0,2,1) (0,1,2) (2,2,2)
所以 ， ，
3 3 3
1 =(0,−1,−2) 1 =(2,0,−2)
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8 9设平面 的法向量 ，
1 =( , , )
则 ，则 ，
3
⋅ 1 =0 − −2 =0
3 3
令 ⋅ ， 1 则 =0 2 −2， =0
3
=1 =(1,−2,1)
又 ， ，
1 3 1
设平 面=(0,的−法1,2向)量 =(2,0,，2)
=( , , )
则 ，则 ，
1
⋅ =0 − +2 =0
3 1
令 ⋅ ， = 即 0 2 +2 ， =0
2
设 =1 =所(成−二3面,1角,2)的平面角为 ，
1− − ，
2 3
| ⋅ | |−3−2+2| 17
| 由 图 可 |= 知|， |二⋅| 面|= 角 2 17 × 7 3 = 11所9 成角的平面角为钝角，
1− −
所以 所成二面角的平面角的余弦值为 ．
17
1− − − 119
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9 9
