2008 高考湖南理科数学试题及全解全析
一、选择题:本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的.
1．复数 等于( )
A.8 B.－8 C.8i D.－8i
2．“ 成立”是“ 成立”的( )
A．充分不必要条件 B.必要不充分条件
C．充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
3.已知变量x、y满足条件 则 的最大值是( )
A.2 B.5 C.6 D.8
4.设随机变量 服从正态分布 ,若 ,则c= ( )
A.1 B.2 C.3 D.4
5.设有直线m、n和平面 、 ,下列四个命题中，正确的是( )
A.若m∥ ,n∥ ,则m∥n
B.若m ,n ,m∥ ,n∥ ,则 ∥
C.若 ，m ,则m
D.若 ，m ，m ,则m∥
6.函数 在区间 上的最大值是( )
A.1 B. C. D.1+
第1页 | 共18页7.设D、E、F分别是△ABC的三边BC、CA、AB上的点，且
则 与 ( )
A.反向平行 B.同向平行
C.互相垂直 D.既不平行也不垂直
8.若双曲线 （a＞0,b＞0）上横坐标为 的点到右焦点的距离
大于它到左准线的距离，则双曲线离心率的取值范围是( )
A.(1,2) B.(2,+ ) C.(1,5) D. (5,+ )
9.长方体ABCD－ABC D 的8个顶点在同一球面上，且AB=2,AD= ,AA=1,
1 1 1 1 1
则顶点A、B间的球面距离是( )
A.2 B. C. D. D C
1 1
A 1 B 1
D O
C
A
B
10.设［x］表示不超过x的最大整数（如［2］=2, ［ ］=1）,对于给定的n N*,
定义 x ,则当x 时，函数 的
值域是( )
A. B.
C. D.
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。把答案填在对应题号后的横线上。
第2页 | 共18页11. .
12.已知椭圆 （a＞b＞0）的右焦点为F,右准线为 ,离心率e=
过顶点A(0,b)作AM ,垂足为M，则直线FM的斜率等于 .
13.设函数 存在反函数 ,且函数 的图象过点(1,2),
则函数 的图象一定过点 .
14.已知函数
（1）若a＞0,则 的定义域是 ;
(2) 若 在区间 上是减函数，则实数a的取值范围是 .
15.对有n(n≥4)个元素的总体 进行抽样，先将总体分成两个子总体
和 (m是给定的正整数，且2≤m≤n-2),再从
每个子总体中各随机抽取2个元素组成样本.用 表示元素i和j同时出现在样
本中的概率，则 = ; 所有 (1≤i＜j≤ 的和等于 .
三、解答题：本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
16.（本小题满分12分）
甲、乙、丙三人参加了一家公司的招聘面试，面试合格者可正式签约，甲表示只要面试
合格就签约.乙、丙则约定：两人面试都合格就一同签约，否则两人都不签约.设每人面试
合格的概率都是 ，且面试是否合格互不影响.求：
（Ⅰ）至少有1人面试合格的概率;
（Ⅱ）签约人数 的分布列和数学期望.
第3页 | 共18页17.（本小题满分12分）
如图所示，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为1的菱形，∠BCD＝60°，
E是CD的中点，PA⊥底面ABCD，PA＝2.
（Ⅰ）证明：平面PBE⊥平面PAB;
（Ⅱ）求平面PAD和平面PBE所成二面角（锐角）的大小.
18.（本小题满分12分）
数列
(Ⅰ)求 并求数列 的通项公式；
(Ⅱ)设 证明：当
19.（本小题满分13分）
在一个特定时段内，以点E为中心的7海里以内海域被设为警戒水域.点E正北55海里处有
一个雷达观测站A.某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点 A北偏东 且与点A相距
40 海里的位置B，经过40分钟又测得该船已行驶到点 A北偏东 + (其中sin =
， )且与点A相距10 海里的位置C.
（I）求该船的行驶速度（单位：海里/小时）;
（II）若该船不改变航行方向继续行驶.判断
它是否会进入警戒水域，并说明理由.
20.（本小题满分13分）
若A、B是抛物线y2=4x上的不同两点，弦AB（不平行于y轴）的垂直平分线与
第4页 | 共18页x轴相交于点P，则称弦AB是点P的一条“相关弦”.已知当x>2时，点P（x,0）
存在无穷多条“相关弦”.给定x>2.
0
（I）证明：点P（x,0）的所有“相关弦” 中的中点的横坐标相同；
0
(II) 试问：点P（x,0）的“相关弦”的弦长中是否存在最大值？
0
若存在，求其最大值（用x 表示）：若不存在，请说明理由.
0
21.（本小题满分13分）
已知函数
(I) 求函数 的单调区间;
（Ⅱ）若不等式 对任意的 都成立（其中e是自然对数的底数）.
求a的最大值.
一、选择题:本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的.
1．复数 等于( )
A.8 B.－8 C.8i D.－8i
【答案】D
【解析】由 ,易知D正确.
2．“ 成立”是“ 成立”的( )
A．充分不必要条件 B.必要不充分条件
C．充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】由 得 ，由 得 ，所以易知选B.
第5页 | 共18页3.已知变量x、y满足条件 则 的最
y
x-y=0
大值是( )
(1,4)
(3,3)
A.2 B.5 C.6 D.8
O (1,1)
【答案】C
X
【解析】如图得可行域为一个三角形，其三个顶点 1
分别为 代入验证知在点 x+2y-9=0
时, 最大值是 x=1
故选C.
4.设随机变量 服从正态分布 ,若 ,则c= ( )
A.1 B.2 C.3 D.4
【答案】B
【解析】
解得 =2, 所以选B.
5.设有直线m、n和平面 、 ,下列四个命题中，正确的是( )
A.若m∥ ,n∥ ,则m∥n
B.若m ,n ,m∥ ,n∥ ,则 ∥
C.若 ，m ,则m
D.若 ，m ，m ,则m∥
【答案】D
【解析】由立几知识,易知D正确.
6.函数 在区间 上的最大值是( )
A.1 B. C. D.1+
第6页 | 共18页【答案】C
【解析】由 ,
故选C.
7.设D、E、F分别是△ABC的三边BC、CA、AB上的点，且
则 与 ( )
A.反向平行 B.同向平行
C.互相垂直 D.既不平行也不垂直
【答案】A
【解析】由定比分点的向量式得:
以上三式相加得
所以选A.
8.若双曲线 （a＞0,b＞0）上横坐标为 的点到右焦点的距离
大于它到左准线的距离，则双曲线离心率的取值范围是( )
A.(1,2) B.(2,+ ) C.(1,5) D. (5,+ )
【答案】B
【解析】 或
(舍去), 故选B.
9.长方体ABCD－ABC D 的8个顶点在同一球面上，且AB=2,AD= ,AA=1,
1 1 1 1 1
则顶点A、B间的球面距离是( )
A.2 B. C. D. D C
1 1
【答案】C A 1 B 1
【解析】 设 D O
C
第7页 | 共18页 A
B则
故选C.
10.设［x］表示不超过x的最大整数（如［2］=2, ［ ］=1）,对于给定的n N*,
定义 x ,则当x 时，函数 的
值域是( )
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】当x 时， 当 时， 所以 ;
当 时， 当 时，
故函数 的值域是 .选D.
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。把答案填在对应题号后的横线上。
11. .
【答案】
【解析】
12.已知椭圆 （a＞b＞0）的右焦点为F,右准线为 ,离心率e=
过顶点A(0,b)作AM ,垂足为M，则直线FM的斜率等于 .
【答案】
第8页 | 共18页【解析】
13.设函数 存在反函数 ,且函数 的图象过点(1,2),
则函数 的图象一定过点 .
【答案】(-1,2)
【解析】由函数 的图象过点(1,2)得: 即函数 过点
则其反函数过点 所以函数 的图象一定过点
14.已知函数
（1）若a＞0,则 的定义域是 ;
(2) 若 在区间 上是减函数，则实数a的取值范围是 .
【答案】 ,
【解析】（1）当a＞0时，由 得 ,所以 的定义域是 ;
(2) 当a＞1时，由题意知 ;当0<a<1时，为增函数,不合;
当a<0时， 在区间 上是减函数.故填 .
15.对有n(n≥4)个元素的总体 进行抽样，先将总体分成两个子总体
和 (m是给定的正整数，且2≤m≤n-2),再从
每个子总体中各随机抽取2个元素组成样本.用 表示元素i和j同时出现在样
本中的概率，则 = ; 所有 (1≤i＜j≤ 的和等于 .
【答案】 , 6
第9页 | 共18页【解析】 第二空可分:
①当 时, ;
②当 时, ;
③当 时, ;
所以 也可用特殊值法或i和j同时出现6次.
三、解答题：本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
16.（本小题满分12分）
甲、乙、丙三人参加了一家公司的招聘面试，面试合格者可正式签约，甲表示只要面试
合格就签约.乙、丙则约定：两人面试都合格就一同签约，否则两人都不签约.设每人面试
合格的概率都是 ，且面试是否合格互不影响.求：
（Ⅰ）至少有1人面试合格的概率;
（Ⅱ）签约人数 的分布列和数学期望.
解: 用A，B，C分别表示事件甲、乙、丙面试合格.由题意知A，B，C相互独立，
且P（A）＝P（B）＝P（C）＝ .
（Ⅰ）至少有1人面试合格的概率是
（Ⅱ） 的可能取值为0，1，2，3.
＝
＝
第10页 | 共18页=
=
所以， 的分布列是
0 1 2 3
P
的期望
17.（本小题满分12分）
如图所示，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为1的菱形，∠BCD＝60°，
E是CD的中点，PA⊥底面ABCD，PA＝2.
（Ⅰ）证明：平面PBE⊥平面PAB;
（Ⅱ）求平面PAD和平面PBE所成二面角（锐角）的大小.
解: 解法一（Ⅰ）如图所示，连结BD，由ABCD是菱形且∠BCD=60°知，
△BCD是等边三角形.因为E是CD的中点，所以BE⊥CD,又AB∥CD,
所以BE⊥AB.又因为PA⊥平面ABCD， 平面ABCD，所以
PA⊥BE.而 AB=A,因此BE⊥平面PAB.
又 平面 PBE，所以平面 PBE⊥平面
PAB.
（Ⅱ）延长AD、BE相交于点F，连结PF.
过点A作AH⊥PB于H，由（Ⅰ）知
平面PBE⊥平面PAB,所以AH⊥平面PBE.
第11页 | 共18页在Rt△ABF中，因为∠BAF＝60°，
所以，AF=2AB=2=AP.
在等腰Rt△PAF中，取PF的中点G，连接AG.
则AG⊥PF.连结HG，由三垂线定理的逆定理得，
PF⊥HG.所以∠AGH是平面PAD和平面PBE所成二面角的平面角（锐角）.
在等腰Rt△PAF中，
在Rt△PAB中，
所以，在Rt△AHG中，
故平面PAD和平面PBE所成二面角（锐角）的大小是
解法二: 如图所示，以A为原点，建立空间直角坐标系.则相关
各点的坐标分别是A（0，0，0），B（1，0，0），
P（0，0，2）,
（Ⅰ）因为 ，
平面PAB的一个法向量是 ，
所以 共线.从而BE⊥平面PAB.
又因为 平面PBE，
故平面PBE⊥平面PAB.
(Ⅱ)易知
设 是平面PBE的一个法向量，则由 得
第12页 | 共18页所以
设 是平面PAD的一个法向量，则由 得
所以 故可取
于是，
故平面PAD和平面PBE所成二面角（锐角）的大小是
18.（本小题满分12分）
数列
(Ⅰ)求 并求数列 的通项公式；
(Ⅱ)设 证明：当
解: (Ⅰ)因为 所以
一般地，当 时，
＝ ，即
所以数列 是首项为1、公差为1的等差数列，因此
当 时，
所以数列 是首项为2、公比为2的等比数列，因此
第13页 | 共18页故数列 的通项公式为
(Ⅱ)由(Ⅰ)知， ①
②
①-②得，
所以
要证明当 时， 成立，只需证明当 时， 成立.
证法一
(1)当n = 6时， 成立.
(2)假设当 时不等式成立，即
则当n=k+1时，
由(1)、(2)所述，当n≥6时， .即当n≥6时，
证法二
令 ，则
所以当 时， .因此当 时，
于是当 时，
综上所述，当 时，
19.（本小题满分13分）
在一个特定时段内，以点E为中心的7海里以内海域被设为警戒水域.点E正北55海里处有
一个雷达观测站A.某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点 A北偏东 且与点A相距
第14页 | 共18页40 海里的位置B，经过40分钟又测得该船已行驶到点 A北偏东 + (其中sin =
， )且与点A相距10 海里的位置C.
（I）求该船的行驶速度（单位：海里/小时）;
（II）若该船不改变航行方向继续行驶.判断
它是否会进入警戒水域，并说明理由.
解: （I）如图，AB=40 ，AC=10 ，
由于 ,所以cos =
由 余 弦 定 理 得 BC=
所以船的行驶速度为 （海里/小时）.
（II）解法一 如图所示，以A为原点建立平面直角坐标系，
设点B、C的坐标分别是B（x，y）, C（x，y）,
1 2 1 2
BC与x轴的交点为D.
由题设有，x=y= AB=40,
1 1
x=ACcos ,
2
y=ACsin
2
所以过点B、C的直线l的斜率k= ,直线l的方程为y=2x-40.
又点E（0，-55）到直线l的距离d=
所以船会进入警戒水域.
解法二: 如图所示，设直线AE与BC的延长线相交于点Q.
在△ABC中，由余弦定理得，
第15页 | 共18页= = .
从而
在 中，由正弦定理得，
AQ=
由于AE=55>40=AQ，所以点Q位于点A和点E之间，且QE=AE-AQ=15.
过点E作EP BC于点P，则EP为点E到直线BC的距离.
在Rt 中，PE=QE·sin
=
所以船会进入警戒水域.
20.（本小题满分13分）
若A、B是抛物线y2=4x上的不同两点，弦AB（不平行于y轴）的垂直平分线与
x轴相交于点P，则称弦AB是点P的一条“相关弦”.已知当x>2时，点P（x,0）
存在无穷多条“相关弦”.给定x>2.
0
（I）证明：点P（x,0）的所有“相关弦” 中的中点的横坐标相同；
0
(II) 试问：点P（x,0）的“相关弦”的弦长中是否存在最大值？
0
若存在，求其最大值（用x 表示）：若不存在，请说明理由.
0
解: （I）设AB为点P（x,0）的任意一条“相关弦”，且点A、B的坐标分别是
0
（x,y）、（x,y）（x x）,则y2=4x y2=4x,
1 1 2 2 1 2 1 1, 2 2
两式相减得（y+y）（y-y）=4（x-x）.因为x x,所以y+y 0.
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
设直线AB的斜率是k，弦AB的中点是M（x , y ）,则
m m
k= .从而AB的垂直平分线l的方程为
又点P（x,0）在直线 上，所以
0
而 于是 故点P（x,0）的所有“相关弦”的中点的横坐标都是x-2.
0 0
第16页 | 共18页(Ⅱ)由(Ⅰ)知，弦AB所在直线的方程是 ，代入 中，
整理得 （·）
则 是方程（·）的两个实根，且
设点P的“相关弦”AB的弦长为l，则
因为0< <4x =4(x -2) =4x-8,于是设t= ,则t (0,4x-8).
m m 0 0
记l2=g(t)=-[t-2(x -3)]2+4(x -1)2.
0 0
若x>3,则2(x-3) (0, 4x-8),所以当t=2(x -3),即 =2(x -3)时,
0 0 0 0 0
l有最大值2(x-1).
0
若2<x<3,则2(x-3) 0,g(t)在区间（0，4 x-8）上是减函数，
0 0 0
所以0<l2<16(x-2),l不存在最大值.
0
综上所述，当x>3时，点P（x,0）的“相关弦”的弦长中存在最大值，且最大值
0 0
为2（x-1）；当2< x 3时，点P（x,0）的“相关弦”的弦长中不存在最大值.
0 0 0
21.（本小题满分13分）
已知函数
(I) 求函数 的单调区间;
（Ⅱ）若不等式 对任意的 都成立（其中e是自然对数的底数）.
求a的最大值.
解: （Ⅰ）函数 的定义域是 ，
第17页 | 共18页设 则
令 则
当 时， 在（-1，0）上为增函数，
当x＞0时， 在 上为减函数.
所以h(x)在x=0处取得极大值，而h(0)=0,所以 ，
函数g(x)在 上为减函数.
于是当 时，
当x＞0时，
所以，当 时， 在（-1，0）上为增函数.
当x＞0时， 在 上为减函数.
故函数 的单调递增区间为（-1，0），单调递减区间为 .
（Ⅱ）不等式 等价于不等式 由 知，
设 则
由（Ⅰ）知， 即
所以 于是G(x)在 上为减函数.
故函数G（x）在 上的最小值为
所以a的最大值为
第18页 | 共18页
