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2008高考湖南理科数学试题及全解全析
一、选择题:本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的.
1
1．复数(i- )3等于( )
i
A.8 B.－8 C.8i D.－8i
2．“ x-1 <2成立”是“x(x-3)<0成立”的( )
A．充分不必要条件 B.必要不充分条件
C．充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
x1,
3.已知变量x、y满足条件x- y0, 则x y的最大值是( )
x2y-90,
A.2 B.5 C.6 D.8
4.设随机变量x服从正态分布N(2,9),若P(x>c1)= P(x2时，点P（x,0）
存在无穷多条“相关弦”.给定x >2.
0
（I）证明：点P（x ,0）的所有“相关弦” 中的中点的横坐标相同；
0
(II) 试问：点P（x ,0）的“相关弦”的弦长中是否存在最大值？
0
若存在，求其最大值（用x 表示）：若不存在，请说明理由.
0
21.（本小题满分13分）
x2
已知函数 f(x)=ln2(1x)- .
1x
第4页 | 共18页(I) 求函数 f(x)的单调区间;
1
（Ⅱ）若不等式(1 )na e对任意的nN*都成立（其中e是自然对数的底数）.
n
求a的最大值.
一、选择题:本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的.
1
1．复数(i- )3等于( )
i
A.8 B.－8 C.8i D.－8i
【答案】D
1 -2 i
【解析】由(i- )3 =( )3 =-8× =-8i,易知D正确.
i i i4
2．“ x-1 <2成立”是“x(x-3)<0成立”的( )
A．充分不必要条件 B.必要不充分条件
C．充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】由 x-1 <2得-1< x<3，由x(x-3)<0得0< x<3，所以易知选B.
x1,
3.已知变量x、y满足条件x- y0, 则x y的最大
x2y-90,
值是( )
A.2 B.5 C.6 D.8
【答案】C
【解析】如图得可行域为一个三角形，其三个顶点
分别为(1,1),(1,4),(3,3),代入验证知在点
(3,3)时,x y最大值是33=6.
第5页 | 共18页故选C.
4.设随机变量x服从正态分布N(2,9),若P(x>c1)= P(xc1)=1-P(xc1)=F( ),
Q
3
c-1-2 c-3 c-1
P(x a, Þ3e2 -5e-2>0,\e>2或
Q 0 2 c 2
1
e<- (舍去),\e(2,],故选B.
3
9.长方体ABCD－A B C D 的8个顶点在同一球面上，且AB=2,AD= 3,AA =1,
1 1 1 1 1
则顶点A、B间的球面距离是( )
2 2 D C
1 1
A.2 2 B. 2 C. D.
2 4
【答案】C
A 1 B 1
【解析】 Q BD 1 = AC 1 =2R=2 2,\R= 2,设 D O C
BD AC =O,则OA=OB= R= 2,
1I 1
A
ÞÐAOB= ,\l = R= 2´ ,故选C. B
2 2
5
10.设［x］表示不超过x的最大整数（如［2］=2, ［ ］=1）,对于给定的nN*,
4
定义C
n
x = n
x
(
(
n
x
-
-
1
1
)
)
L
L
(
(
n
x
-
-
x
x
1
1
)
)
,x1, ,则当x
3
2
,3
时，函数C
8
x的
值域是( )
16 16
A. ,28 B. ,56
3 3
28 16 28
C. 4, 28,56 D. 4, ,28
3 3 3
第7页 | 共18页【答案】D
3 3 8 16 8
【解析】当x
2
,2
时，C
8
2 =
3
=
3
,当x®2时，x=1, 所以C
8
x =
2
=4;
2
8´7 8´7 28
当2,3时，C2 = =28,当x®3时，x=2, Cx = = ,
8 2´1 8 3´2 3
16 28
故函数C 8 x的值域是 4, 3 3 ,28 .选D.
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。把答案填在对应题号后的横线上。
x-1
11.lim = ______.
x®1 x2 3x-4
1
【答案】
5
x-1 x-1 1 1
【解析】lim =lim =lim = .
x®1 x2 3x-4 x®1 (x4)(x-1) x®1 (x4) 5
x2 y2 5
12.已知椭圆 =1（a＞b＞0）的右焦点为F,右准线为l,离心率e= .
a2 b2 5
过顶点A(0,b)作AM l,垂足为M，则直线FM的斜率等于 .
1
【答案】
2
a2 5 b-0 c 1
【解析】 M( ,b), e= Þa= 5c,b=2c,\k = = = .
Q c 5 FM a2 b 2
-c
c
13.设函数y = f(x)存在反函数y = f -1(x),且函数y = x- f(x)的图象过点(1,2),
则函数y = f -1(x)-x的图象一定过点 .
【答案】(-1,2)
【解析】由函数y = x- f(x)的图象过点(1,2)得: f(1)=-1,即函数y = f(x)过点(1,-1),
则其反函数过点(-1,1),所以函数y = f -1(x)-x的图象一定过点(-1,2).
3-ax
14.已知函数 f(x)= (a ¹1).
a-1
（1）若a＞0,则 f(x)的定义域是 ;
第8页 | 共18页(2) 若 f(x)在区间0,1上是减函数，则实数a的取值范围是 .
3
【答案】 -,
, -,01,3
a
3 3
【解析】（1）当a＞0时，由3-ax0得x ,所以 f(x)的定义域是 -,
;
a a
(2) 当a＞1时，由题意知1= 1g 2 = = .
1 2 n ur n uur 5´2 5
1g 2
15
故平面PAD和平面PBE所成二面角（锐角）的大小是arccos .
5
18.（本小题满分12分）
n n
数列a 满足a =1,a =2,a =(1cos2 )a sin2 ,n=1,2,3, .
n 1 2 n2 2 n 2 L
(Ⅰ)求a ,a ,并求数列a 的通项公式；
3 4 n
a 1
(Ⅱ)设b = 2n-1,S =b b b .证明：当n6时，S -2 < .
n a n 1 2 L n n n
2n
第12页 | 共18页
解: (Ⅰ)因为a =1,a =2,所以a =(1cos2 )a sin2 =a 1=2,
1 2 3 2 1 2 1
a =(1cos2)a sin2=2a =4.
4 2 2
(2k-1) 2k-1
一般地，当n=2k-1(kN*)时，a =[1cos2 ]a sin2
2k1 2 2k-1 2
＝a 1，即a -a =1.
2k-1 2k1 2k-1
所以数列a 是首项为1、公差为1的等差数列，因此a =k.
2k-1 2k-1
2k 2k
当n=2k(kN*)时，a =(1cos2 )a sin2 =2a .
2k2 2 2k 2 2k
所以数列a 是首项为2、公比为2的等比数列，因此a =2k.
2k 2k
n1
,n=2k-1(kN*),
故数列a 的通项公式为a = 2
n n
n
22,n=2k(kN*).
a n 1 2 3 n
(Ⅱ)由(Ⅰ)知，b n = a 2n-1 = 22 , S n = 2 22 23 L 2n , ①
2n
1 1 2 3 n
2 S n = 22 22 24 L 2n1 ②
1 1 1 1 1 n
①-②得，
2
S
n
=
2
22
23
L
2n
-
2n1
.
1 1
[1-( )2]
n 1 n
2 2
= - =1- - .
1 2n1 2n 2n1
1-
2
1 n n2
所以S =2- - =2- .
n 2n-1 2n 2n
1 n(n2)
要证明当n6时， S -2 < 成立，只需证明当n6时， <1成立.
n n 2n
证法一
6´(62) 48 3
(1)当n = 6时， = = <1成立.
26 64 4
k(k2)
(2)假设当n=k(k 6)时不等式成立，即 <1.
2k
(k1)(k3) k(k2) (k1)(k3) (k1)(k3)
则当n=k+1时， = ´ < <1.
2k1 2k 2k(k2) (k2) 2k
g
n(n1) 1
由(1)、(2)所述，当n≥6时， <1.即当n≥6时， S -2 < .
22 n n
证法二
第13页 | 共18页n(n2) (n1)(n3) n(n2) 3-n2
令c = (n6)，则c -c = - = <0.
n 22 n1 n 2n1 22 2n1
6´8 3
所以当n6时，c 40=AQ，所以点Q位于点A和点E之间，且QE=AE-AQ=15.
过点E作EP BC于点P，则EP为点E到直线BC的距离.
在RtDQPE中，PE=QE·sinÐPQE =QE×sinÐAQC =QE×sin(45o -ÐABC)
5
=15´ =3 5 <7.
5
所以船会进入警戒水域.
20.（本小题满分13分）
若A、B是抛物线y2=4x上的不同两点，弦AB（不平行于y轴）的垂直平分线与
x轴相交于点P，则称弦AB是点P的一条“相关弦”.已知当x>2时，点P（x,0）
存在无穷多条“相关弦”.给定x >2.
0
（I）证明：点P（x ,0）的所有“相关弦” 中的中点的横坐标相同；
0
(II) 试问：点P（x ,0）的“相关弦”的弦长中是否存在最大值？
0
第15页 | 共18页若存在，求其最大值（用x 表示）：若不存在，请说明理由.
0
解: （I）设AB为点P（x ,0）的任意一条“相关弦”，且点A、B的坐标分别是
0
（x ,y ）、（x ,y ）（x ¹x ）,则y2 =4x y2 =4x ,
1 1 2 2 1 2 1 1, 2 2
两式相减得（y +y ）（y -y ）=4（x -x ）.因为x ¹x ,所以y +y ¹0.
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
设直线AB的斜率是k，弦AB的中点是M（x , y ）,则
m m
y - y 4 2 y
k= 1 2 = = .从而AB的垂直平分线l的方程为 y- y =- m (x-x ).
x -x y y y m 2 m
1 2 1 2 m
y
又点P（x ,0）在直线l上，所以 -y =- m (x -x ).
0 m 2 0 m
而y ¹0,于是x = x -2.故点P（x ,0）的所有“相关弦”的中点的横坐标都是x -2.
m m 0 0 0
(Ⅱ)由(Ⅰ)知，弦AB所在直线的方程是y- y =k(x-x )，代入y2 =4x中，
m m
整理得k2x2 2[k(y -kx )-2]x(y -kx )2 =0. （·）
m m m m
(y -kx )2
则x、x 是方程（·）的两个实根，且x ×x = m m .
1 2 1 2 k2
设点P的“相关弦”AB的弦长为l，则
l2 =(x -x )2 (y - y )2 =(1k2)(x -x )2
1 2 1 2 1 2
=(1k2)[(x x )2 -4x x ]=4(1k2)(x 2 -x x )
1 2 1 2 m 1 2
2
(y - x )2
4 m y m
=4(1 )[x2 - m ]
y2 m 4
m
y2
m
=(4 y2)(4x - y2)=-y4 4y2(x -1)16x
m m m m m m m
=4(x 1)2 -[y2 -2(x -1)]2 =4(x -1)2 -[y2 -2(x -3)]2.
m m m 0 m 0
因为0< y2 <4x =4(x -2) =4x -8,于是设t= y2 ,则t(0,4x -8).
m m m 0 m 0
记l2=g(t)=-[t-2(x -3)]2+4(x -1)2.
0 0
若x >3,则2(x -3) (0, 4x -8),所以当t=2(x -3),即 y2 =2(x -3)时,
0 0 0 0 m 0
l有最大值2(x -1).
0
若23时，点P（x ,0）的“相关弦”的弦长中存在最大值，且最大值
0 0
为2（x -1）；当2< x 3时，点P（x ,0）的“相关弦”的弦长中不存在最大值.
0 0 0
21.（本小题满分13分）
第16页 | 共18页x2
已知函数 f(x)=ln2(1x)- .
1x
(I) 求函数 f(x)的单调区间;
1
（Ⅱ）若不等式(1 )na e对任意的nN*都成立（其中e是自然对数的底数）.
n
求a的最大值.
解: （Ⅰ）函数 f(x)的定义域是(-1,)，
2ln(1x) x2 2x 2(1x)ln(1x)-x2 -2x
f¢(x)= - = .
1x (1x)2 (1x)2
设g(x)=2(1x)ln(1x)-x2 -2x,则g¢(x)=2ln(1x)-2x.
2 -2x
令h(x)=2ln(1x)-2x,则h¢(x)= -2= .
1x 1x
当-1< x<0时， h¢(x)>0, h(x)在（-1，0）上为增函数，
当x＞0时，h¢(x)<0, h(x)在(0,)上为减函数.
所以h(x)在x=0处取得极大值，而h(0)=0,所以g¢(x)<0(x¹0)，
函数g(x)在(-1,)上为减函数.
于是当-1< x<0时，g(x)> g(0)=0,
当x＞0时，g(x)< g(0)=0.
所以，当-1< x<0时， f¢(x)>0, f(x)在（-1，0）上为增函数.
当x＞0时， f¢(x)<0, f(x)在(0,)上为减函数.
故函数 f(x)的单调递增区间为（-1，0），单调递减区间为(0,).
1 1 1
（Ⅱ）不等式(1 )na e等价于不等式(na)ln(1 )1.由1 >1知，
n n n
1 1 1
a -n. 设G(x)= - ,x0,1,则
1 ln(1x) x
ln(1 )
n
1 1 (1x)ln2(1x)-x2
G¢(x)=- = .
(1x)ln2(1x) x2 x2(1x)ln2(1x)
第17页 | 共18页x2
由（Ⅰ）知，ln2(1x)- 0,即(1x)ln2(1x)-x2 0.
1x
所以G¢(x)<0, x0,1,于是G(x)在0,1上为减函数.
1
故函数G（x）在0,1上的最小值为G(1)= -1.
ln2
1
所以a的最大值为 -1.
ln2
第18页 | 共18页
