2008年高考数学试卷（理）（湖南）（解析卷）_历年高考真题合集_数学历年高考真题_新·PDF版2008-2025·高考数学真题_数学（按年份分类）2008-2025_2008·高考数学真题

2008高考湖南理科数学试题及全解全析
一、选择题:本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的.
1
1．复数(i- )3等于( )
i
A.8 B.－8 C.8i D.－8i
2．“ x-1 <2成立”是“x(x-3)<0成立”的( )
A．充分不必要条件 B.必要不充分条件
C．充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
x1,

3.已知变量x、y满足条件x- y0, 则x y的最大值是( )

x2y-90,

A.2 B.5 C.6 D.8
4.设随机变量x服从正态分布N(2,9),若P(x>c1)= P(x<c-1),则c= ( )
A.1 B.2 C.3 D.4
5.设有直线m、n和平面、,下列四个命题中，正确的是( )
A.若m∥,n∥,则m∥n
B.若m,n,m∥,n∥,则∥
C.若 ，m,则m 
D.若 ，m ，m,则m∥
 
6.函数 f(x)=sin2 x 3sinxcosx在区间 , 上的最大值是( )
 
4 2
1 3 3
A.1 B. C. D.1+ 3
2 2
uuur uuur uuur uuur
7.设D、E、F分别是△ABC的三边BC、CA、AB上的点，且DC =2BD, CE =2EA,
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
AF =2FB,则ADBECF与BC( )
第1页 | 共18页A.反向平行 B.同向平行
C.互相垂直 D.既不平行也不垂直
x2 y2 3a
8.若双曲线 - =1（a＞0,b＞0）上横坐标为 的点到右焦点的距离
a2 b2 2
大于它到左准线的距离，则双曲线离心率的取值范围是( )
A.(1,2) B.(2,+) C.(1,5) D. (5,+)
9.长方体ABCD－A B C D 的8个顶点在同一球面上，且AB=2,AD= 3,AA =1,
1 1 1 1 1
则顶点A、B间的球面距离是( )
2 2 D C
1 1
A.2 2 B. 2 C. D.
2 4
A 1 B 1
D O
C
A
B
5
10.设［x］表示不超过x的最大整数（如［2］=2, ［ ］=1）,对于给定的nN*,
4
定义C
n
x = n
x
(
(
n
x
-
-
1
1
)
)
L
L
(
(
n
x
-
-

x
x



1
1
)
)
,x1, ,则当x 
 
3
2
,3



时，函数C
8
x的
值域是( )
16  16 
A.  ,28  B.  ,56 
 3   3 
 28  16 28 
C. 4,  28,56 D. 4,    ,28 
 3   3   3 
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。把答案填在对应题号后的横线上。
x-1
11.lim = ______.
x®1 x2 3x-4
x2 y2 5
12.已知椭圆  =1（a＞b＞0）的右焦点为F,右准线为l,离心率e= .
a2 b2 5
第2页 | 共18页过顶点A(0,b)作AM l,垂足为M，则直线FM的斜率等于 .
13.设函数y = f(x)存在反函数y = f -1(x),且函数y = x- f(x)的图象过点(1,2),
则函数y = f -1(x)-x的图象一定过点 .
3-ax
14.已知函数 f(x)= (a ¹1).
a-1
（1）若a＞0,则 f(x)的定义域是 ;
(2) 若 f(x)在区间0,1上是减函数，则实数a的取值范围是 .
15.对有n(n≥4)个元素的总体1,2, ,n进行抽样，先将总体分成两个子总体
L
1,2, ,m和m1,m2, ,n (m是给定的正整数，且2≤m≤n-2),再从
L L
每个子总体中各随机抽取2个元素组成样本.用P 表示元素i和j同时出现在样
ij
本中的概率，则P = ; 所有P (1≤i＜j≤n的和等于 .
1n ij
三、解答题：本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
16.（本小题满分12分）
甲、乙、丙三人参加了一家公司的招聘面试，面试合格者可正式签约，甲表示只要面试
合格就签约.乙、丙则约定：两人面试都合格就一同签约，否则两人都不签约.设每人面试
1
合格的概率都是 ，且面试是否合格互不影响.求：
2
（Ⅰ）至少有1人面试合格的概率;
（Ⅱ）签约人数x的分布列和数学期望.
17.（本小题满分12分）
如图所示，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为1的菱形，∠BCD＝60°，
E是CD的中点，PA⊥底面ABCD，PA＝2.
（Ⅰ）证明：平面PBE⊥平面PAB;
（Ⅱ）求平面PAD和平面PBE所成二面角（锐角）的大小.
第3页 | 共18页18.（本小题满分12分）
n n
数列a 满足a =1,a =2,a =(1cos2 )a sin2 ,n=1,2,3, .
n 1 2 n2 2 n 2 L
(Ⅰ)求a ,a ,并求数列a 的通项公式；
3 4 n
a 1
(Ⅱ)设b = 2n-1,S =b b  b .证明：当n6时，S -2 < .
n a n 1 2 L n n n
2n
19.（本小题满分13分）
在一个特定时段内，以点E为中心的7海里以内海域被设为警戒水域.点E正北55海里处有一
个雷达观测站A.某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点A北偏东45o且与点A相距40
26
2 海里的位置B，经过40分钟又测得该船已行驶到点A北偏东45o+(其中sin= ，
26
0o <<90o)且与点A相距10 13海里的位置C.
（I）求该船的行驶速度（单位：海里/小时）;
（II）若该船不改变航行方向继续行驶.判断
它是否会进入警戒水域，并说明理由.
20.（本小题满分13分）
若A、B是抛物线y2=4x上的不同两点，弦AB（不平行于y轴）的垂直平分线与
x轴相交于点P，则称弦AB是点P的一条“相关弦”.已知当x>2时，点P（x,0）
存在无穷多条“相关弦”.给定x >2.
0
（I）证明：点P（x ,0）的所有“相关弦” 中的中点的横坐标相同；
0
(II) 试问：点P（x ,0）的“相关弦”的弦长中是否存在最大值？
0
若存在，求其最大值（用x 表示）：若不存在，请说明理由.
0
21.（本小题满分13分）
x2
已知函数 f(x)=ln2(1x)- .
1x
第4页 | 共18页(I) 求函数 f(x)的单调区间;
1
（Ⅱ）若不等式(1 )na e对任意的nN*都成立（其中e是自然对数的底数）.
n
求a的最大值.
一、选择题:本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的.
1
1．复数(i- )3等于( )
i
A.8 B.－8 C.8i D.－8i
【答案】D
1 -2 i
【解析】由(i- )3 =( )3 =-8× =-8i,易知D正确.
i i i4
2．“ x-1 <2成立”是“x(x-3)<0成立”的( )
A．充分不必要条件 B.必要不充分条件
C．充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】由 x-1 <2得-1< x<3，由x(x-3)<0得0< x<3，所以易知选B.
x1,

3.已知变量x、y满足条件x- y0, 则x y的最大

x2y-90,

值是( )
A.2 B.5 C.6 D.8
【答案】C
【解析】如图得可行域为一个三角形，其三个顶点
分别为(1,1),(1,4),(3,3),代入验证知在点
(3,3)时,x y最大值是33=6.
第5页 | 共18页故选C.
4.设随机变量x服从正态分布N(2,9),若P(x>c1)= P(x<c-1),则c= ( )
A.1 B.2 C.3 D.4
【答案】B
c1-2
【解析】 N(2,32)Þ P(x>c1)=1-P(xc1)=F( ),
Q
3
c-1-2 c-3 c-1
P(x<c-1)=F( ),\F( )F( )=1,
3 3 3
3-c c-1
Þ1-F( )F( )=1,解得c=2, 所以选B.
3 3
5.设有直线m、n和平面、,下列四个命题中，正确的是( )
A.若m∥,n∥,则m∥n
B.若m,n,m∥,n∥,则∥
C.若 ，m,则m 
D.若 ，m ，m,则m∥
【答案】D
【解析】由立几知识,易知D正确.
 
6.函数 f(x)=sin2 x 3sinxcosx在区间 , 上的最大值是( )
 
4 2
1 3 3
A.1 B. C. D.1+ 3
2 2
【答案】C
1-cos2x 3 1 
【解析】由 f(x)=  sin2x= sin(2x- ),
2 2 2 6
    5 1 3
 x Þ 2x-  ,\ f(x) = 1= .故选C.
Q 4 2 3 6 6 max 2 2
uuur uuur uuur uuur
7.设D、E、F分别是△ABC的三边BC、CA、AB上的点，且DC =2BD, CE =2EA,
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
AF =2FB,则ADBECF与BC( )
A.反向平行 B.同向平行
C.互相垂直 D.既不平行也不垂直
【答案】A
第6页 | 共18页uuur uuur
uuur AC2AB 1uuur 2uuur
【解析】由定比分点的向量式得:AD= = AC AB,
12 3 3
uuur 1uuur 2uuur uuur 1uuur 2uuur
BE = BC BA, CF = CA CB,以上三式相加得
3 3 3 3
uuur uuur uuur 1uuur
ADBECF =- BC,所以选A.
3
x2 y2 3a
8.若双曲线 - =1（a＞0,b＞0）上横坐标为 的点到右焦点的距离
a2 b2 2
大于它到左准线的距离，则双曲线离心率的取值范围是( )
A.(1,2) B.(2,+) C.(1,5) D. (5,+)
【答案】B
3 a2 3
【解析】 ex -a=e´ a-a>  a, Þ3e2 -5e-2>0,\e>2或
Q 0 2 c 2
1
e<- (舍去),\e(2,],故选B.
3
9.长方体ABCD－A B C D 的8个顶点在同一球面上，且AB=2,AD= 3,AA =1,
1 1 1 1 1
则顶点A、B间的球面距离是( )
2 2 D C
1 1
A.2 2 B. 2 C. D.
2 4
【答案】C
A 1 B 1
【解析】 Q BD 1 = AC 1 =2R=2 2,\R= 2,设 D O C
BD AC =O,则OA=OB= R= 2,
1I 1
  A
ÞÐAOB= ,\l = R= 2´ ,故选C. B
2 2
5
10.设［x］表示不超过x的最大整数（如［2］=2, ［ ］=1）,对于给定的nN*,
4
定义C
n
x = n
x
(
(
n
x
-
-
1
1
)
)
L
L
(
(
n
x
-
-

x
x



1
1
)
)
,x1, ,则当x 
 
3
2
,3



时，函数C
8
x的
值域是( )
16  16 
A.  ,28  B.  ,56 
 3   3 
 28  16 28 
C. 4,  28,56 D. 4,    ,28 
 3   3   3 
第7页 | 共18页【答案】D
3  3 8 16 8
【解析】当x
 2
,2

时，C
8
2 =
3
=
3
,当x®2时，x=1, 所以C
8
x =
2
=4;
2
8´7 8´7 28
当2,3时，C2 = =28,当x®3时，x=2, Cx = = ,
8 2´1 8 3´2 3
 16 28 
故函数C 8 x的值域是  4, 3      3 ,28   .选D.
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。把答案填在对应题号后的横线上。
x-1
11.lim = ______.
x®1 x2 3x-4
1
【答案】
5
x-1 x-1 1 1
【解析】lim =lim =lim = .
x®1 x2 3x-4 x®1 (x4)(x-1) x®1 (x4) 5
x2 y2 5
12.已知椭圆  =1（a＞b＞0）的右焦点为F,右准线为l,离心率e= .
a2 b2 5
过顶点A(0,b)作AM l,垂足为M，则直线FM的斜率等于 .
1
【答案】
2
a2 5 b-0 c 1
【解析】 M( ,b), e= Þa= 5c,b=2c,\k = = = .
Q c 5 FM a2 b 2
-c
c
13.设函数y = f(x)存在反函数y = f -1(x),且函数y = x- f(x)的图象过点(1,2),
则函数y = f -1(x)-x的图象一定过点 .
【答案】(-1,2)
【解析】由函数y = x- f(x)的图象过点(1,2)得: f(1)=-1,即函数y = f(x)过点(1,-1),
则其反函数过点(-1,1),所以函数y = f -1(x)-x的图象一定过点(-1,2).
3-ax
14.已知函数 f(x)= (a ¹1).
a-1
（1）若a＞0,则 f(x)的定义域是 ;
第8页 | 共18页(2) 若 f(x)在区间0,1上是减函数，则实数a的取值范围是 .
 3
【答案】 -,

, -,01,3
 a
3  3
【解析】（1）当a＞0时，由3-ax0得x ,所以 f(x)的定义域是 -,

;
a  a
(2) 当a＞1时，由题意知1<a3;当0<a<1时，为增函数,不合;
当a<0时， f(x)在区间0,1上是减函数.故填-,01,3 .
15.对有n(n≥4)个元素的总体1,2, ,n进行抽样，先将总体分成两个子总体
L
1,2, ,m和m1,m2, ,n (m是给定的正整数，且2≤m≤n-2),再从
L L
每个子总体中各随机抽取2个元素组成样本.用P 表示元素i和j同时出现在样
ij
本中的概率，则P = ; 所有P (1≤i＜j≤n的和等于 .
1n ij
4
【答案】 , 6
m(n-m)
C1 ×C1 4(m-1)(n-m-1) 4
【解析】P = m-1 n-m-1 = = ;第二空可分:
1n C2 ×C2 m(m-1)(n-m)(n-m-1) m(n-m)
m n-m
C2
①当 i, j1,2,
L
,m时, P
ij
=
C
m
2
=1;
m
②当 i, jm1,m2,
L
,n时, P
ij
=1;
4
③当i1,2,
L
,m, jm1,m2,
L
,n时, P
ij
=m(n-m)´
m(n-m)
=4;
所以P =114=6. 也可用特殊值法或i和j同时出现6次.
ij
三、解答题：本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
16.（本小题满分12分）
甲、乙、丙三人参加了一家公司的招聘面试，面试合格者可正式签约，甲表示只要面试
合格就签约.乙、丙则约定：两人面试都合格就一同签约，否则两人都不签约.设每人面试
1
合格的概率都是 ，且面试是否合格互不影响.求：
2
第9页 | 共18页（Ⅰ）至少有1人面试合格的概率;
（Ⅱ）签约人数x的分布列和数学期望.
解: 用A，B，C分别表示事件甲、乙、丙面试合格.由题意知A，B，C相互独立，
1
且P（A）＝P（B）＝P（C）＝ .
2
（Ⅰ）至少有1人面试合格的概率是
1 7
1-P(ABC)=1-P(A)P(B)P(C)=1-( )3 = .
2 8
（Ⅱ）x的可能取值为0，1，2，3.
P(x=0)= P(ABC)P(ABC)P(ABC)
＝P(A)P(B)P(C)P(A)P(B)P(C)P(A)P(B)P(C)
1 1 1 3
＝( )3( )2 ( )3 = .
2 2 2 8
P(x=1)= P(ABC)P(ABC)P(ABC)
=P(A)P(B)P(C)P(A)P(B)P(C)P(A)P(B)P(C)
1 1 1 3
=( )3( )3( )3 = .
2 2 2 8
1
P(x=2)= P(ABC)= P(A)P(B)P(C)= .
8
1
P(x=3)= P(ABC)= P(A)P(B)P(C)= .
8
所以， x的分布列是
0 1 2 3
x
3 3 1 1
P 8 8 8 8
3 3 1 1
x的期望Ex=0´ 1´ 2´ 3´ =1.
8 8 8 8
17.（本小题满分12分）
如图所示，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为1的菱形，∠BCD＝60°，
E是CD的中点，PA⊥底面ABCD，PA＝2.
（Ⅰ）证明：平面PBE⊥平面PAB;
（Ⅱ）求平面PAD和平面PBE所成二面角（锐角）的大小.
第10页 | 共18页解: 解法一（Ⅰ）如图所示，连结BD，由ABCD是菱形且∠BCD=60°知，
△BCD是等边三角形.因为E是CD的中点，所以BE⊥CD,又AB∥CD,
所以BE⊥AB.又因为PA⊥平面ABCD，BE 平面ABCD，所以
PA⊥BE.而PAÇAB=A,因此BE⊥平面PAB.
又BE 平面PBE，所以平面PBE⊥平面PAB.
（Ⅱ）延长AD、BE相交于点F，连结PF.
过点A作AH⊥PB于H，由（Ⅰ）知
平面PBE⊥平面PAB,所以AH⊥平面PBE.
在Rt△ABF中，因为∠BAF＝60°，
所以，AF=2AB=2=AP.
在等腰Rt△PAF中，取PF的中点G，连接AG.
则AG⊥PF.连结HG，由三垂线定理的逆定理得，
PF⊥HG.所以∠AGH是平面PAD和平面PBE所成二面角的平面角（锐角）.
2
在等腰Rt△PAF中， AG = PA= 2.
2
AP AB AP AB 2 2 5
g g
在Rt△PAB中， AH = = = = .
PB AP2  AB2 5 5
2 5
AH 5 10
所以，在Rt△AHG中， sinÐAGH = = = .
AG 2 5
10
故平面PAD和平面PBE所成二面角（锐角）的大小是arcsin .
5
解法二: 如图所示，以A为原点，建立空间直角坐标系.则相关
各点的坐标分别是A（0，0，0），B（1，0，0），
3 3 1 3 3
C( , ,0), D( , ,0),P（0，0，2）,E(1, ,0).
2 2 2 2 2
第11页 | 共18页3
（Ⅰ）因为BE =(0, ,0)，
2
平面PAB的一个法向量是n =(0,1,0)，
0
所以BE和n 共线.从而BE⊥平面PAB.
0
又因为BE 平面PBE，
故平面PBE⊥平面PAB.
uuur uuur 3 uuur uuur 1 3
(Ⅱ)易知PB=(1,0,-2),BE =(0, ，0）， PA=(0,0,-2),AD=( , ,0)
2 2 2
ur uuur
设n
r
=(x ,y ,z )是平面PBE的一个法向量，则由
 

n 1g PB=0,
得
1 1 1 1 ur uuur
 n 1g BE =0
x 0´y -2z =0,
1 1 1
 ur
 3 所以y =0,x =2z.故可取n =(2,0,1).
1 1 1 1
0´x  y 0´z =0.
 1 2 2 2
uur uuur
设n
uur
=(x ,y ,z )是平面PAD的一个法向量，则由
 

n 2g PA=0,
得
2 2 2 2 uur uuur
 n 2g AD=0
0´x 0´y -2z =0,
2 2 2
 uur
1 3 所以z =0,x =- 3y .故可取n =( 3,-1,0).
2 2 2 2
 x  y 0´z =0.
2 2 2 2 2
ur uur
ur uur n n 2 3 15
于是，cos<n ,n >= 1g 2 = = .
1 2 n ur n uur 5´2 5
1g 2
15
故平面PAD和平面PBE所成二面角（锐角）的大小是arccos .
5
18.（本小题满分12分）
n n
数列a 满足a =1,a =2,a =(1cos2 )a sin2 ,n=1,2,3, .
n 1 2 n2 2 n 2 L
(Ⅰ)求a ,a ,并求数列a 的通项公式；
3 4 n
a 1
(Ⅱ)设b = 2n-1,S =b b  b .证明：当n6时，S -2 < .
n a n 1 2 L n n n
2n
第12页 | 共18页 
解: (Ⅰ)因为a =1,a =2,所以a =(1cos2 )a sin2 =a 1=2,
1 2 3 2 1 2 1
a =(1cos2)a sin2=2a =4.
4 2 2
(2k-1) 2k-1
一般地，当n=2k-1(kN*)时，a =[1cos2 ]a sin2 
2k1 2 2k-1 2
＝a 1，即a -a =1.
2k-1 2k1 2k-1
所以数列a 是首项为1、公差为1的等差数列，因此a =k.
2k-1 2k-1
2k 2k
当n=2k(kN*)时，a =(1cos2 )a sin2 =2a .
2k2 2 2k 2 2k
所以数列a 是首项为2、公比为2的等比数列，因此a =2k.
2k 2k
n1
,n=2k-1(kN*),

故数列a 的通项公式为a = 2
n n
 n
22,n=2k(kN*).
a n 1 2 3 n
(Ⅱ)由(Ⅰ)知，b n = a 2n-1 = 22 , S n = 2  22  23  L  2n , ①
2n
1 1 2 3 n
2 S n = 22  22  24  L  2n1 ②
1 1 1 1 1 n
①-②得，
2
S
n
=
2

22

23

L

2n
-
2n1
.
1 1
[1-( )2]
n 1 n
2 2
= - =1- - .
1 2n1 2n 2n1
1-
2
1 n n2
所以S =2- - =2- .
n 2n-1 2n 2n
1 n(n2)
要证明当n6时， S -2 < 成立，只需证明当n6时， <1成立.
n n 2n
证法一
6´(62) 48 3
(1)当n = 6时， = = <1成立.
26 64 4
k(k2)
(2)假设当n=k(k 6)时不等式成立，即 <1.
2k
(k1)(k3) k(k2) (k1)(k3) (k1)(k3)
则当n=k+1时， = ´ < <1.
2k1 2k 2k(k2) (k2) 2k
g
n(n1) 1
由(1)、(2)所述，当n≥6时， <1.即当n≥6时， S -2 < .
22 n n
证法二
第13页 | 共18页n(n2) (n1)(n3) n(n2) 3-n2
令c = (n6)，则c -c = - = <0.
n 22 n1 n 2n1 22 2n1
6´8 3
所以当n6时，c <c .因此当n6时，c c = = <1.
n1 n n 6 64 4
n(n2)
于是当n6时， <1.
22
1
综上所述，当n6时， S -2 < .
n n
19.（本小题满分13分）
在一个特定时段内，以点E为中心的7海里以内海域被设为警戒水域.点E正北55海里处有一
个雷达观测站A.某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点A北偏东45o且与点A相距40
26
2 海里的位置B，经过40分钟又测得该船已行驶到点A北偏东45o+(其中sin= ，
26
0o <<90o)且与点A相距10 13海里的位置C.
（I）求该船的行驶速度（单位：海里/小时）;
（II）若该船不改变航行方向继续行驶.判断
它是否会进入警戒水域，并说明理由.
解: （I）如图，AB=40 2 ，AC=10 13，
26
ÐBAC =,sin= .
26
26 5 26
由于0o <<90o,所以cos= 1-( )2 = .
26 26
由余弦定理得BC= AB2  AC2 -2AB AC cos=10 5.
g g
10 5
所以船的行驶速度为 =15 5（海里/小时）.
2
3
（II）解法一 如图所示，以A为原点建立平面直角坐标系，
设点B、C的坐标分别是B（x ，y ）, C（x ，y ）,
1 2 1 2
BC与x轴的交点为D.
2
由题设有，x =y = AB=40,
1 1
2
x =ACcosÐCAD =10 13cos(45o -)=30,
2
第14页 | 共18页y =ACsinÐCAD=10 13sin(45o -)=20.
2
20
所以过点B、C的直线l的斜率k= =2,直线l的方程为y=2x-40.
10
|055-40|
又点E（0，-55）到直线l的距离d= =3 5 <7.
14
所以船会进入警戒水域.
解法二: 如图所示，设直线AE与BC的延长线相交于点Q.
在△ABC中，由余弦定理得，
AB2 BC2 -AC2
cosÐABC =
2AB×BC
402´2102´5-102´13 3 10
= = .
2´40 2´10 5 10
9 10
从而sinÐABC = 1-cos2ÐABC = 1- = .
10 10
在DABQ中，由正弦定理得，
10
40 2´
ABsinÐABC
10
AQ= = =40.
sin(45o -ÐABC) 2 2 10
´
2 10
由于AE=55>40=AQ，所以点Q位于点A和点E之间，且QE=AE-AQ=15.
过点E作EP BC于点P，则EP为点E到直线BC的距离.
在RtDQPE中，PE=QE·sinÐPQE =QE×sinÐAQC =QE×sin(45o -ÐABC)
5
=15´ =3 5 <7.
5
所以船会进入警戒水域.
20.（本小题满分13分）
若A、B是抛物线y2=4x上的不同两点，弦AB（不平行于y轴）的垂直平分线与
x轴相交于点P，则称弦AB是点P的一条“相关弦”.已知当x>2时，点P（x,0）
存在无穷多条“相关弦”.给定x >2.
0
（I）证明：点P（x ,0）的所有“相关弦” 中的中点的横坐标相同；
0
(II) 试问：点P（x ,0）的“相关弦”的弦长中是否存在最大值？
0
第15页 | 共18页若存在，求其最大值（用x 表示）：若不存在，请说明理由.
0
解: （I）设AB为点P（x ,0）的任意一条“相关弦”，且点A、B的坐标分别是
0
（x ,y ）、（x ,y ）（x ¹x ）,则y2 =4x y2 =4x ,
1 1 2 2 1 2 1 1, 2 2
两式相减得（y +y ）（y -y ）=4（x -x ）.因为x ¹x ,所以y +y ¹0.
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
设直线AB的斜率是k，弦AB的中点是M（x , y ）,则
m m
y - y 4 2 y
k= 1 2 = = .从而AB的垂直平分线l的方程为 y- y =- m (x-x ).
x -x y  y y m 2 m
1 2 1 2 m
y
又点P（x ,0）在直线l上，所以 -y =- m (x -x ).
0 m 2 0 m
而y ¹0,于是x = x -2.故点P（x ,0）的所有“相关弦”的中点的横坐标都是x -2.
m m 0 0 0
(Ⅱ)由(Ⅰ)知，弦AB所在直线的方程是y- y =k(x-x )，代入y2 =4x中，
m m
整理得k2x2 2[k(y -kx )-2]x(y -kx )2 =0. （·）
m m m m
(y -kx )2
则x、x 是方程（·）的两个实根，且x ×x = m m .
1 2 1 2 k2
设点P的“相关弦”AB的弦长为l，则
l2 =(x -x )2 (y - y )2 =(1k2)(x -x )2
1 2 1 2 1 2
=(1k2)[(x x )2 -4x x ]=4(1k2)(x 2 -x x )
1 2 1 2 m 1 2
2
(y - x )2
4 m y m
=4(1 )[x2 - m ]
y2 m 4
m
y2
m
=(4 y2)(4x - y2)=-y4 4y2(x -1)16x
m m m m m m m
=4(x 1)2 -[y2 -2(x -1)]2 =4(x -1)2 -[y2 -2(x -3)]2.
m m m 0 m 0
因为0< y2 <4x =4(x -2) =4x -8,于是设t= y2 ,则t(0,4x -8).
m m m 0 m 0
记l2=g(t)=-[t-2(x -3)]2+4(x -1)2.
0 0
若x >3,则2(x -3) (0, 4x -8),所以当t=2(x -3),即 y2 =2(x -3)时,
0 0 0 0 m 0
l有最大值2(x -1).
0
若2<x <3,则2(x -3)0,g(t)在区间（0，4 x -8）上是减函数，
0 0 0
所以0<l2<16(x -2),l不存在最大值.
0
综上所述，当x >3时，点P（x ,0）的“相关弦”的弦长中存在最大值，且最大值
0 0
为2（x -1）；当2< x 3时，点P（x ,0）的“相关弦”的弦长中不存在最大值.
0 0 0
21.（本小题满分13分）
第16页 | 共18页x2
已知函数 f(x)=ln2(1x)- .
1x
(I) 求函数 f(x)的单调区间;
1
（Ⅱ）若不等式(1 )na e对任意的nN*都成立（其中e是自然对数的底数）.
n
求a的最大值.
解: （Ⅰ）函数 f(x)的定义域是(-1,)，
2ln(1x) x2 2x 2(1x)ln(1x)-x2 -2x
f¢(x)= - = .
1x (1x)2 (1x)2
设g(x)=2(1x)ln(1x)-x2 -2x,则g¢(x)=2ln(1x)-2x.
2 -2x
令h(x)=2ln(1x)-2x,则h¢(x)= -2= .
1x 1x
当-1< x<0时， h¢(x)>0, h(x)在（-1，0）上为增函数，
当x＞0时，h¢(x)<0, h(x)在(0,)上为减函数.
所以h(x)在x=0处取得极大值，而h(0)=0,所以g¢(x)<0(x¹0)，
函数g(x)在(-1,)上为减函数.
于是当-1< x<0时，g(x)> g(0)=0,
当x＞0时，g(x)< g(0)=0.
所以，当-1< x<0时， f¢(x)>0, f(x)在（-1，0）上为增函数.
当x＞0时， f¢(x)<0, f(x)在(0,)上为减函数.
故函数 f(x)的单调递增区间为（-1，0），单调递减区间为(0,).
1 1 1
（Ⅱ）不等式(1 )na e等价于不等式(na)ln(1 )1.由1 >1知，
n n n
1 1 1
a -n. 设G(x)= - ,x0,1,则
1 ln(1x) x
ln(1 )
n
1 1 (1x)ln2(1x)-x2
G¢(x)=-  = .
(1x)ln2(1x) x2 x2(1x)ln2(1x)
第17页 | 共18页x2
由（Ⅰ）知，ln2(1x)- 0,即(1x)ln2(1x)-x2 0.
1x
所以G¢(x)<0, x0,1,于是G(x)在0,1上为减函数.
1
故函数G（x）在0,1上的最小值为G(1)= -1.
ln2
1
所以a的最大值为 -1.
ln2
第18页 | 共18页