文档内容
2008年辽宁高考理科数学真题及答案
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页
，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
第Ⅰ卷（选择题共60分）
参考公式：
如果事件A，B互斥，那么 球的表面积公式
P(A+B)= P(A)+P(B) S =4πR2
如果事件A，B相互独立，那么 其中R表示球的半径
P(A B)= P(A) P(B) 球的体积公式
g g
4
如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么 V = πR3
3
n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率
P (k)=CkPk(1- p)n-k(k =0，1，2， ，n) 其中R表示球的半径
n n L
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的．
ì x+3 ü
1．已知集合M = x=íx| <0ý ，N =x|x≤-3，则集合x|x≥1＝（ ）
î x-1 þ
A．M N B．M N C．ð (M N) D．ð (M N)
I U M I M U
1+3+5+ +(2n-1)
L
2．lim =（ ）
x®¥ n(2n+1)
1 1
A． B． C．1 D．2
4 2
3．圆x2 + y2 =1与直线y =kx+2没有公共点的充要条件是（ ）
A．kÎ(- 2，2) B．kÎ(-∞，- 2) ( 2，+∞)
U
C．kÎ(- 3，3) D．kÎ(-∞，- 3) ( 3，+∞)
U
1 1
4．复数 + 的虚部是（ ）
-2+i 1-2i
1 1 1 1
A． i B． C．- i D．-
5 5 5 5
uuur uuur uuur
5．已知O，A，B是平面上的三个点，直线AB上有一点C，满足2AC+CB=0，则OC =（
）
第1页 | 共11页uuur uuur uuur uuur 2uuur 1uuur 1uuur 2uuur
A．2OA-OB B．-OA+2OB C． OA- OB D．- OA+ OB
3 3 3 3
6．设P为曲线C：y = x2 +2x+3上的点，且曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围为
é pù
0， ，则点P横坐标的取值范围为（ ）
ê ú
ë 4û
é 1ù é1 ù
A． -1，- B．-1，0 C．0，1 D． ，1
ê ú ê ú
ë 2û ë2 û
7．4张卡片上分别写有数字1，2，3，4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上
的数字之和为奇数的概率为（ ）
1 1 2 3
A． B． C． D．
3 2 3 4
8．将函数y =2x +1的图象按向量a平移得到函数y =2x+1的图象，则（ ）
A．a =(-1，-1) B．a =(1，-1) C．a =(1，1) D．a =(-1，1)
9．一生产过程有4道工序，每道工序需要安排一人照看．现从甲、乙、丙等6名工人中安排
4人分别照看一道工序，第一道工序只能从甲、乙两工人中安排1人，第四道工序只能从甲
、丙两工人中安排1人，则不同的安排方案共有（ ）
A．24种 B．36种 C．48种 D．72种
10．已知点P是抛物线y2 =2x上的一个动点，则点P到点（0，2）的距离与P到该抛物线准
线的距离之和的最小值为（ ）
17 9
A． B．3 C． 5 D．
2 2
11．在正方体ABCD-ABCD中，E，F分别为棱AA，CC的中点，则在空间中与三条直线AD
1 1 1 1 1 1 1 1
、EF、CD都相交的直线（ ）
A．不存在 B．有且只有两条 C．有且只有三条 D．有无数条
æ x+3ö
12．设 f(x)是连续的偶函数，且当x>0时 f(x)是单调函数，则满足 f(x)= f ç ÷的
è x+4ø
所有x之和为（ ）
A．-3 B．3 C．-8 D．8
第Ⅱ卷（非选择题共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．
ìx+1，x<0，
13．函数y =í 的反函数是__________．
îex， x≥0
14．在体积为4 3p的球的表面上有A，B，C三点，AB=1，BC= 2 ，A，C两点的球面距离
第2页 | 共11页3
为 p，则球心到平面ABC的距离为_________．
3
n
æ 1 ö
15．已知(1+x+x2)
ç
x+
÷
的展开式中没有常数项，nÎN*，且2≤n≤8，则n=______
è x3 ø
．
æ pö æpö æpö æp pö
16．已知 f(x)=sin ç wx+ ÷ (w>0)，f ç ÷ = f ç ÷，且 f(x)在区间ç ， ÷有最小
è 3ø è6ø è3ø è6 3ø
值，无最大值，则w＝__________．
三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分12分）
p
在△ABC中，内角A，B，C对边的边长分别是a，b，c，已知c=2，C = ．
3
（Ⅰ）若△ABC的面积等于 3，求a，b；
（Ⅱ）若sinC+sin(B-A)=2sin2A，求△ABC的面积．
18．（本小题满分12分）
某批发市场对某种商品的周销售量（单位：吨）进行统计，最近100周的统计结果如下
表所示：
周销售量 2 3 4
频数 20 50 30
（Ⅰ）根据上面统计结果，求周销售量分别为2吨，3吨和4吨的频率；
（Ⅱ）已知每吨该商品的销售利润为2千元，x表示该种商品两周销售利润的和（单位：千
元）．若以上述频率作为概率，且各周的销售量相互独立，求x的分布列和数学期望．
19．（本小题满分12分）
如图，在棱长为1的正方体ABCD-A¢B¢C¢D¢中，AP=BQ=b（00时，恒有|OA|>|OB|．
21．（本小题满分12分）
在数列|a |，|b |中，a=2，b=4，且a，b，a 成等差数列，b，a ，b 成等
n n 1 1 n n n+1 n n+1 n+1
比数列（nÎN*）
（Ⅰ）求a，a，a及b，b，b，由此猜测|a |，|b |的通项公式，并证明你的结论；
2 3 4 2 3 4 n n
1 1 1 5
（Ⅱ）证明： + +… + < ．
a +b a +b a +b 12
1 1 2 2 n n
22．（本小题满分14分）
lnx
设函数 f(x)= -lnx+ln(x+1)．
1+x
（Ⅰ）求f(x)的单调区间和极值；
（Ⅱ）是否存在实数a，使得关于x的不等式 f(x)≥a的解集为（0，+¥）？若存在，求a
的取值范围；若不存在，试说明理由．
第4页 | 共11页参考答案和评分参考
说明：
一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果
考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则
．
二、对解答题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内
容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的
一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．
三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．
四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．
一、选择题：本题考查基本知识和基本运算．每小题5分，共60分．
1．D 2．B 3．C 4．B 5．A 6．A
7．C 8．A 9．B 10．A 11．D 12．C
二、填空题：本题考查基本知识和基本运算．每小题4分，满分16分．
ìx-1，x<1， 3 14
13．y =í 14． 15．5 16．
îlnx， x≥1. 2 3
三、解答题
17．本小题主要考查三角形的边角关系，三角函数公式等基础知识，考查综合应用三角函
数有关知识的能力．满分12分．
解：（Ⅰ）由余弦定理及已知条件得，a2 +b2 -ab=4，
1
又因为△ABC的面积等于 3，所以 absinC = 3，得ab=4． 4分
2
ìa2 +b2 -ab=4，
联立方程组í 解得a=2，b=2． 6分
îab=4，
（Ⅱ）由题意得sin(B+ A)+sin(B-A)=4sin AcosA，
即sinBcosA=2sinAcosA， 8分
p p 4 3 2 3
当cosA=0时，A= ，B= ，a= ，b= ，
2 6 3 3
当cosA¹0时，得sinB=2sinA，由正弦定理得b=2a，
ìa2 +b2 -ab=4， 2 3 4 3
联立方程组í 解得a= ，b= ．
îb=2a， 3 3
1 2 3
所以△ABC的面积S = absinC = ． 12分
2 3
18．本小题主要考查频率、概率、数学期望等基础知识，考查运用概率知识解决实际问题
第5页 | 共11页的能力．满分12分．
解：（Ⅰ）周销售量为2吨，3吨和4吨的频率分别为0.2，0.5和0.3． 3分
（Ⅱ）x的可能值为8，10，12，14，16，且
P（x=8）=0.22=0.04，
P（x=10）=2×0.2×0.5=0.2，
P（x=12）=0.52+2×0.2×0.3=0.37，
P（x=14）=2×0.5×0.3=0.3，
P（x=16）=0.32=0.09．
x的分布列为
x 8 10 12 14 16
P 0.04 0.2 0.37 0.3 0.09
9分
Ex=8×0.04+10×0.2+12×0.37+14×0.3+16×0.09=12.4（千元） 12分
19．本小题主要考查空间中的线面关系，面面关系，解三角形等基础知识，考查空间想象
能力与逻辑思维能力。满分12分．
解法一：
（Ⅰ）证明：在正方体中，AD¢ A¢D，AD¢ AB，又由已知可得
PF∥A¢D，PH∥AD¢，PQ∥AB，
D¢
C¢
所以PH PF，PH PQ， H
G
A¢ B¢
所以PH 平面PQEF ．
Q
P N D M C
所以平面PQEF 和平面PQGH 互相垂直． 4分 A F E
B
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知
PF = 2AP，PH = 2PA¢，又截面PQEF和截面PQGH都是矩形，且PQ=1，所以截面PQEF
和截面PQGH面积之和是
( 2AP+ 2PA¢)´PQ= 2 ，是定值． 8分
（III）解：连结BC′交EQ于点M．
因为PH∥AD¢，PQ∥AB，
所以平面ABC¢D¢和平面PQGH互相平行，因此D¢E与平面PQGH所成角与D¢E与平面
第6页 | 共11页ABC¢D¢所成角相等．
与（Ⅰ）同理可证EQ⊥平面PQGH，可知EM⊥平面ABC¢D¢，因此EM与D¢E的比值就是所求
的正弦值．
设AD¢交PF于点N，连结EN，由FD=1-b知
2 2
D¢E = (1-b)2 +2，ND¢= + (1-b)．
2 2
因为AD¢⊥平面PQEF，又已知D¢E与平面PQEF成45o角，
é 2 2 ù
所以D¢E = 2ND¢，即 2ê + (1-b)ú = (1-b)2 +2 ，
2 2
ë û
1
解得 b= ，可知E为BC中点．
2
2 3
所以EM= ，又D¢E = (1-b)2 +2 = ，
4 2
EM 2
故D¢E与平面PQGH所成角的正弦值为 = ． 12分
D¢E 6
解法二：
以D为原点，射线DA，DC，DD′分别为x，y，z轴的正半轴建立如图的空间直角坐标系D－xy
z由已知得DF =1-b，故
A(1，0，0)，A¢(1，0，1)，D(0，0，0)，D¢(0，0，1)，
z
P(1，0，b)，Q(1，1，b)，E(1-b，1，0)，
D¢ C¢
H
G
F(1-b，0，0)，G(b，1，1)，H(b，0，1)． A¢ B¢
（Ⅰ）证明：在所建立的坐标系中，可得 P Q C
D
y
u P u Q ur =(0，1，0)， u P u F ur =(-b，0，-b)， A F E
B
uuur
PH =(b-1，0，1-b)， x
uuuur uuuur
AD¢=(-1，0，1)，A¢D=(-1，0，-1)．
uuuur uuur uuuur uuur uuuur
因为AD¢·PQ =0，AD¢·PF =0，所以AD¢是平面PQEF的法向量．
uuuur uuur uuuur uuur uuuur
因为A¢D·PQ = 0，A¢D·PH = 0，所以A¢D是平面PQGH的法向量．
uuuur uuuur uuuur uuuur
因为AD¢· A¢D =0，所以A¢D AD¢，
所以平面PQEF和平面PQGH互相垂直． 4分
uuur uuur uuuruuuur uuuur uuur uuur
（Ⅱ）证明：因为EF =(0，-1，0)，所以EF∥PQ，EF = PQ ，又PF PQ，所以PQE
第7页 | 共11页F为矩形，同理PQGH为矩形．
uuuur uuuur
在所建立的坐标系中可求得 PH = 2(1-b)， PF = 2b，
uuuur uuuur uuuur
所以 PH + PF = 2 ，又 PQ =1，
所以截面PQEF和截面PQGH面积之和为 2 ，是定值． 8分
uuuur uuuur uuuur uuuur
（Ⅲ）解：由已知得D¢E与AD¢成45o角，又D¢E =(1-b，1，-1)，AD¢=(-1，0，1)可得
uuuur uuuur
D¢E· AD¢ b-2 2
= = ，
uuuuuruuuuur
D¢E AD¢ 2 (1-b)2 +2 2
2-b 1
即 =1，解得b= ．
(1-b)2 +2 2
uuuur æ1 ö uuuur
所以D¢E =
ç
，1，-1 ÷，又A¢D=(-1，0，-1)，所以D¢E与平面PQGH所成角的正弦值为
è2 ø
1
- +1
uuuuruuuur 2 2
|cos< D¢E，A¢D>|= = ． 12分
3 6
´ 2
2
20．本小题主要考查平面向量，椭圆的定义、标准方程及直线与椭圆位置关系等基础知识
，考查综合运用解析几何知识解决问题的能力．满分12分．
解：
（Ⅰ）设P（x，y），由椭圆定义可知，点P的轨迹C是以(0，- 3)，(0，3)为焦点，长半轴
为2的椭圆．它的短半轴b= 22 -( 3)2 =1，
y2
故曲线C的方程为x2 + =1． 3分
4
（Ⅱ）设A(x，y )，B(x，y )，其坐标满足
1 1 2 2
ì y2
ïx2 + =1，
í 4
ï
îy =kx+1.
消去y并整理得(k2 +4)x2 +2kx-3=0，
2k 3
故x +x =- ，x x =- ． 5分
1 2 k2 +4 1 2 k2 +4
uuur uuur
若OAOB，即x x + y y =0．
1 2 1 2
第8页 | 共11页而y y =k2x x +k(x +x )+1，
1 2 1 2 1 2
3 3k2 2k2
于是x x + y y =- - - +1=0，
1 2 1 2 k2 +4 k2 +4 k2 +4
1
化简得-4k2 +1=0，所以k =± ．8分
2
uuuur2 uuuur2
（Ⅲ） OA - OB = x2 + y2 -(x2 + y2)
1 1 2 2
=(x2 -x2)+4(1-x2 -1+x2)
1 2 1 2
=-3(x -x )(x +x )
1 2 1 2
6k(x -x )
= 1 2 ．
k2 +4
3
因为A在第一象限，故x >0．由x x =- 知x <0，从而x -x >0．又k >0，
1 1 2 k2 +4 2 1 2
uuuur2 uuuur2
故 OA - OB >0，
uuuur uuuur
即在题设条件下，恒有 OA > OB ． 12分
21．本小题主要考查等差数列，等比数列，数学归纳法，不等式等基础知识，考查综合运
用数学知识进行归纳、总结、推理、论证等能力．满分12分．
解：
（Ⅰ）由条件得2b =a +a ，a2 =b b
n n n+1 n+1 n n+1
由此可得
a =6，b =9，a =12，b =16，a =20，b =25．2分
2 2 3 3 4 4
猜测a =n(n+1)，b =(n+1)2． 4分
n n
用数学归纳法证明：
①当n=1时，由上可得结论成立．
②假设当n=k时，结论成立，即
a =k(k+1)，b =(k+1)2，
k k
那么当n=k+1时，
a2
a = 2b -a = 2(k +1)2 -k(k +1) =(k +1)(k +2)，b = k+1 =(k +2)2．
k+1 k k k+1 b
k
所以当n=k+1时，结论也成立．
由①②，可知a =n(n+1)，b (n+1)2对一切正整数都成立． 7分
n n
第9页 | 共11页1 1 5
（Ⅱ） = < ．
a +b 6 12
1 1
n≥2时，由（Ⅰ）知a +b =(n+1)(2n+1)>2(n+1)n． 9分
n n
1 1 1 1 1æ 1 1 1 ö
故 + +… + < + ç + +… + ÷
a +b a +b a +b 6 2è2´3 3´4 n(n+1)ø
1 1 2 2 n n
1 1æ1 1 1 1 1 1 ö
= + - + - +… + -
ç ÷
6 2è2 3 3 4 n n+1ø
1 1æ1 1 ö 1 1 5
= + - < + =
ç ÷
6 2è2 n+1ø 6 4 12
综上，原不等式成立． 12分
22．本小题主要考查函数的导数，单调性，极值，不等式等基础知识，考查综合利用数学
知识分析问题、解决问题的能力．满分14分．
1 lnx 1 1 lnx
解：（Ⅰ） f¢(x)= - - + =- ． 2分
x(1+x) (1+x)2 x x+1 (1+x)2
故当xÎ(0，1)时， f¢(x)>0，
xÎ(1，+∞)时， f¢(x)<0．
所以 f(x)在(0，1)单调递增，在(1，+∞)单调递减． 4分
由此知 f(x)在(0，+∞)的极大值为 f(1)=ln2，没有极小值． 6分
（Ⅱ）（ⅰ）当a≤0时，
(1+x)ln(1+x)-xlnx
ln(1+x)+xln(1+x)-lnx
由于 f(x)= = >0，
1+x 1+x
故关于x的不等式 f(x)≥a的解集为(0，+∞)． 10分
lnx æ 1ö ln2n æ 1 ö
（ⅱ）当a>0时，由 f(x)= +ln ç 1+ ÷知 f(2n)= +ln ç 1+ ÷，其中n为
1+x è xø 1+2n è 2n ø
正整数，且有
æ 1 ö a 1 a a
ln ç 1+ ÷ < Û -log (e2 -1)． 12分
è 2n ø 2 2n 2
ln2n nln2 nln2 2ln2
又n≥2时， = < = ．
1+2n 1+(1+1)n n(n-1) n-1
2
第10页 | 共11页2ln2 a 4ln2
且 < Û n > +1．
n-1 2 a
n 4ln2
取整数n 满足n >-log (e2 -1)，n > +1，且n ≥2，
0 0 2 0 a 0
n ln2 æ 1 ö a a
则 f(2n 0)= 0 +ln ç 1+ ÷ < + =a，
1+2n 0 è 2n 0 ø 2 2
即当a>0时，关于x的不等式 f(x)≥a的解集不是(0，+∞)．
综合（ⅰ）（ⅱ）知，存在a，使得关于x的不等式 f(x)≥a的解集为(0，+∞)，且a的
取值范围为-∞，0．14分
第11页 | 共11页
