2008年江西高考文科数学真题及答案
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3
至4页，共150分。
第Ⅰ卷
考生注意：
1. 答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上，考生要认真核对答
题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓
名是否一致。
2. 第I卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改
动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。第Ⅱ卷用黑色墨水签字笔在答题卡
上作答。若在试题卷上作答，答案无效。
3. 考试结束，监考员将试题卷、答题卡一并收回。
参考公式
如果事件A,B互斥，那么
球的表面积公式
P(A+B)= P(A)+P(B) S =4pR2
如果事件A,B，相互独立，那么
其中R表示球的半径
P(A×B)=P(A)×P(B) 球的体积公式
4
如果事件A在一次试验中发生的概率是 p，那么 V = pR3
3
n次独立重复试验中恰好发生k次的概率
其中R表示球的半径
P (k) = Ck pk(1- p)n-k
n n
一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的．
1．“ x = y ”是“x= y”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
2．定义集合运算:A*B= z z = xy,xÎA,yÎB .设A=1,2,B=0,2,则集合
A*B 的所有元素之和为
A．0 B．2 C．3 D．6
f(2x)
3．若函数y = f(x)的定义域是[0,2]，则函数g(x)= 的定义域是
x-1
A．[0,1] B．[0,1) C． [0,1) (1,4] D．(0,1)
U
4．若0< x< y<1，则
第1页 | 共11页1 1
A．3y <3x B．log 3<log 3 C．log x<log y D．( )x <( )y
x y 4 4 4 4
1
5．在数列{a }中，a =2， a =a +ln(1+ )，则a =
n 1 n+1 n n n
A．2+lnn B．2+(n-1)lnn C．2+nlnn D．1+n+lnn
sinx
6．函数 f(x)= 是
x
sinx+2sin
2
A．以4p为周期的偶函数 B．以2p为周期的奇函数
C．以2p为周期的偶函数 D．以4p为周期的奇函数
uuuur uuuur
7．已知F 、F 是椭圆的两个焦点，满足MF ×MF =0的点M 总在椭圆内部，则椭圆离
1 2 1 2
心率的取值范围是
1 2 2
A．(0,1) B．(0, ] C．(0, ) D．[ ,1)
2 2 2
1
8．(1+x)10(1+ )10展开式中的常数项为
x
A．1 B．(C1 )2 C．C1 D．C10
10 20 20
9．设直线m与平面a相交但不垂直，则下列说法中正确的是
A．在平面a内有且只有一条直线与直线m垂直
B．过直线m有且只有一个平面与平面a垂直
C．与直线m垂直的直线不可能与平面a平行
D．与直线m平行的平面不可能与平面a垂直
p 3p
10．函数y =tanx+sinx- tanx-sinx 在区间( , )内的图象大致是
2 2
y y y y
p 3p p 3p
2 p 2 2 p 2
o x o x
2 - 2 -
° ° -2 - ° -2 - °
o p p 3p x o p p 3p x
2 2 2 2
A B C D
11．电子钟一天显示的时间是从00:00到23:59，每一时刻都由四个数字组成，则一天中任
一时刻显示的四个数字之和为23的概率为
1 1 1 1
A． B． C． D．
180 288 360 480
12．已知函数 f(x)=2x2 +(4-m)x+4-m，g(x)=mx，若对于任一实数x， f(x)与
第2页 | 共11页g(x)的值至少有一个为正数，则实数m的取值范围是
A． [-4,4] B．(-4,4) C． (-¥,4) D．(-¥,-4)
第Ⅱ卷
注意事项：
第Ⅱ卷2页，须用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，若在试题上作答，答案无效。
二.填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。请把答案填在答题卡上
1
13．不等式2x2+2x-4
£ 的解集为 ．
2
x2 y2 3
14．已知双曲线 - =1(a>0,b>0)的两条渐近线方程为y =± x，若顶点到渐近
a2 b2 3
线的距离为1，则双曲线方程为 ．
15．连结球面上两点的线段称为球的弦．半径为4的球的两条弦AB、CD的长度分别等于
2 7 、4 3，每条弦的两端都在球面上运动，则两弦中点之间距离的最大值为
．
16．如图，正六边形ABCDEF 中，有下列四个命题：
uuur uuur uuur
A．AC+ AF =2BC E D
uuur uuuur uuur
B．AD=2AB +2AF
C
F
uuur uuur uuur uuur
C．AC×AD= AD×AB
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
D．(AD×AF)EF = AD(AF×EF) A
B
其中真命题的代号是 （写出所有真命题的代号）．
三.解答题：本大题共6小题，共74分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
1 5
17．已知tana=- ，cosb= ,a,bÎ(0,p)
3 5
（1）求tan(a+b)的值；
（2）求函数 f(x)= 2sin(x-a)+cos(x+b)的最大值．
18．因冰雪灾害，某柑桔基地果林严重受损，为此有关专家提出一种拯救果树的方案，该
方案需分两年实施且相互独立．该方案预计第一年可以使柑桔产量恢复到灾前的1.0倍、0.
9倍、0.8倍的概率分别是0.2、0.4、0.4；第二年可以使柑桔产量为第一年产量的1.5倍、1
.25倍、1.0倍的概率分别是0.3、0.3、0.4．
（1）求两年后柑桔产量恰好达到灾前产量的概率；
第3页 | 共11页（2）求两年后柑桔产量超过灾前产量的概率.
19．等差数列{a }的各项均为正数，a =3，前n项和为S ，{b }为等比数列,
n 1 n n
b =1，且b S =64,
1 2 2
b S =960．
3 3
(1)求a 与b ；
n n
1 1 1
(2)求和： + + + ．
L
S S S
1 2 n
20．如图，正三棱锥O-ABC的三条侧棱OA、OB、OC两两
垂直，且长度均为2．E、F 分别是AB、AC的中点，H 是EF
的中点，过EF 的平面与侧棱OA、OB、OC或其延长线分别相
3
交于A、B 、C ，已知OA = ．
1 1 1 1 2
（1）求证：BC ⊥面OAH ；
1 1
（2）求二面角O-AB -C 的大小．
1 1 1
1 1
21．已知函数 f(x)= x4 + ax3 -a2x2 +a4(a >0)
4 3
（1）求函数y = f(x)的单调区间；
（2）若函数y = f(x)的图像与直线y =1恰有两个交点，求a的取值范围．
22．已知抛物线y = x2和三个点M(x ,y )、P(0,y )、N(-x ,y ) (y ¹ x2,y >0)，过
0 0 0 0 0 0 0 0
点M 的一条直线交抛物线于A、B两点，AP、BP的延长线
分别交抛物线于点E、F．
（1）证明E、F、N 三点共线；
（2）如果A、B、M 、N 四点共线，问：是否存在y ，使以
0
线段AB为直径的圆与抛物线有异于A、B的交点？如果存在
，求出y 的取值范围，并求出该交点到直线AB的距离；若不
0
存在，请说明理由．
第4页 | 共11页参考答案
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 B D B C A A C D B D C C
1．B.因 x = y ¿ x= y但x= y Þ x = y 。
2．D.因A*B={0,2,4}，
3．B. 因为 f(x)的定义域为[0，2]，所以对g(x)，0£2x£2但x¹1故xÎ[0,1)。
4．C 函数 f(x)=log x为增函数
4
1 1 1
5．A a =a +ln(1+ )，a =a +ln(1+ )，…，a =a +ln(1+ )
2 1 1 3 2 2 n n-1 n-1
2 3 4 n
Þa =a +ln( )( )( ) ( )=2+lnn
n 1 1 2 3 L n-1
sin(-x)
6． A f(-x)= = f(x) f(4p+x)= f(x)¹ f(2p+x)
-x
sin(-x)+2sin
2
1
7. C.由题知,垂足的轨迹为以焦距为直径的圆,则c<bÞc2 <b2 =a2 -c2 Þe2 <
2
1
又eÎ(0,1),所以eÎ(0, )
2
1 (1+x)20
8. D (1+x)10(1+ )10 =
x x10
9. C.
ì2tanx, 当tanx<sinx时
10．D..函数y =tanx+sinx- tanx-sinx =í
î2sinx, 当tanx³sinx时
1
11.C.一天显示的时间总共有24´60=1440种,和为23总共有4种,故所求概率为 .
360
12．C.当D=m2 -16<0时，显然成立
当m=4, f(0)= g(0)=0时，显然不成立；当m=-4, f(x)=2(x+2)2,g(x)=-4x显
然成立；
当m<-4时x +x <0,x x >0，则 f(x)=0两根为负，结论成立
1 2 1 2
故-¥<m<4
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。
第5页 | 共11页x2 3y2
13. [-3,1] 14. - =1 15. 5 16. A、B、D
4 4
13．依题意x2 +2x-4£-1Þ(x+3)(x-1)£0 Þ xÎ[-3,1]
x2 3y2
14． - =1
4 4
15.
易求得M 、N 到球心O的距离分别为3、2，类比平面内圆的情形可知当M 、N 与球心
O共线时， MN 取最大值5。
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
16.AC+ AF = AC+CD= AD=2BC , ∴A对
uuur uuur uuur uuur
取AD的中点O,则AD=2AO=2AB+ AF , ∴B对
uuur uuur uuur p uuur uuur p
设 AB =1, 则AC×AD= 3´2´cos =3,而AD×AF =2´1´cos =1,∴C错
6 3
uuur uuur p uuur
又AB×AD=1´2´cos =1=(AF)2,∴D对
3
∴真命题的代号是A,B,D
三、解答题：本大题共6小题，共74分。
5
17．解：（1）由cosb= ,bÎ(0,p)
5
2 5
得tanb=2，sinb=
5
1
- +2
tana+tanb 3
于是tan(a+b)= = =1.
1-tanatanb 2
1+
3
1
（2）因为tana=- ,aÎ(0,p)
3
1 3
所以sina= ,cosa=-
10 10
3 5 5 5 2 5
f(x)=- sinx- cosx+ cosx- sinx
5 5 5 5
=- 5sinx
f(x)的最大值为 5.
第6页 | 共11页18．解：（1）令A表示两年后柑桔产量恰好达到灾前产量这一事件
P(A)=0.2´0.4+0.4´0.3=0.2
（2）令B表示两年后柑桔产量超过灾前产量这一事件
P(B)=0.2´0.6+0.4´0.6+0.4´0.3=0.48
19．（1）设{a }的公差为d ，{b }的公比为q，则d 为正整数，
n n
a =3+(n-1)d ，b =qn-1
n n
ìS b =(9+3d)q2 =960
依题意有í 3 3 ①
S b =(6+d)q=64
î
2 2
ì 6
d =-
ìd =2 ï ï 5
解得í ,或í (舍去)
îq=8
ï
40
q=
ïî 3
故a =3+2(n-1)=2n+1,b =8n-1
n n
（2）S =3+5+ +(2n+1)=n(n+2)
n L
1 1 1 1 1 1 1
∴ + + + = + + + +
L L
S S S 1´3 2´4 3´5 n(n+2)
1 2 n
1 1 1 1 1 1 1 1
= (1- + - + - + + - )
L
2 3 2 4 3 5 n n+2
1 1 1 1 3 2n+3
= (1+ - - ) = -
2 2 n+1 n+2 4 2(n+1)(n+2)
20．解 ：（1）证明：依题设，EF 是DABC的中位线，所以EF ∥BC，
则EF ∥平面OBC，所以EF ∥BC 。
1 1 O
又H 是EF 的中点，所以AH ⊥EF ，
则AH ⊥BC 。
1 1
C
A M
因为OA⊥OB，OA⊥OC， 1 F
H C
所以OA⊥面OBC，则OA⊥BC ， A 1
1 1 N
E
因此BC ⊥面OAH 。
1 1
B
（2）作ON⊥AB 于N ，连C N 。
1 1 1
B
1
第7页 | 共11页因为OC ⊥平面OAB ，
1 1 1
根据三垂线定理知，C N ⊥AB ，
1 1 1
ÐONC 就是二面角O-AB -C 的平面角。
1 1 1 1
作EM ⊥OB 于M ，则EM ∥OA，则M 是OB的中点，则EM =OM =1。
1
OB OA x 3
设OB = x，由 1 = 1 得， = ，解得x=3，
1 MB EM x-1 2
1
3 OA ×OB 3
在RtDOAB 中，AB = OA2 +OB2 = 5，则，ON = 1 1 = 。
1 1 1 1 1 1 2 AB 5
1 1
OC
所以tanÐONC = 1 = 5，故二面角O-AB -C 为arctan 5。
1 ON 1 1 1
解法二：（1）以直线OA、OC、OB分别为x、y、z轴，建立空间直角坐标系，
O-xyz则
1 1
A(2,0,0),B(0,0,2),C(0,2,0),E(1,0,1),F(1,1,0),H(1, , )
2 2
uuur 1 1 uuur 1 1 uuur
所以AH =(-1, , ),OH =(1, , ),BC =(0,2,-2)
2 2 2 2
uuur uuur uuur uuur
所以AH×BC =0,OH×BC =0
所以BC ^平面OAH
由EF ∥BC得BC ∥BC，故：BC ^平面OAH
1 1 1 1
3
(2)由已知A( ,0,0),设B (0,0,z)
1 2 1
uuur 1 uuur
则AE =(- ,0,1),EB =(-1,0,z-1)
1 2 1
uuur uuur uuur uuur
由AE与EB 共线得:存在lÎR有AE =lEB 得
1 1 1 1
ì 1
ï- =-l
í 2 Þ z =3
ï î1=l(z-1)
x y
\B (0,0,3)
1
同理:C (0,3,0)
1
第8页 | 共11页 zuuuur 3 uuuur 3
\AB =(- ,0,3),AC =(- ,3,0)
1 1 2 1 1 2
r
设n =(x ,y ,z )是平面ABC 的一个法向量,
1 1 1 1 1 1 1
ì 3
- x+3z =0
ï
ï 2
则í 令x=2得y = x=1
3
ï
- x+3y =0
ïî 2
ur
\n =(2,1,1).
1
uur
又n =(0,1,0)是平面OAB 的一个法量
2 1 1
ur uur 1 6
\cos<n ,n >= =
1 2 4+1+1 6
6
所以二面角的大小为arccos
6
21. 解：（1）因为 f¢(x)= x3+ax2 -2a2x= x(x+2a)(x-a)
令 f¢(x)=0得x =-2a,x =0,x =a
1 2 3
由a>0时， f¢(x)在 f¢(x)=0根的左右的符号如下表所示
x (-¥,-2a) -2a (-2a,0) 0 (0,a) a (a,+¥)
f¢(x) - 0 + 0 - 0 +
f(x) 极小值 极大值 极小值
] Z ] Z
所以 f(x)的递增区间为(-2a,0)与(a,+¥)
f(x)的递减区间为(-¥，-2a)与(0，a)
5 7
（2）由（1）得到 f(x) = f(-2a)=- a4， f(x) = f(a)= a4
极小值 3 极小值 12
f(x) = f(0)=a4
极大值
5 7
要使 f(x)的图像与直线y =1恰有两个交点，只要- a4 <1< a4或a4 <1，
3 12
第9页 | 共11页4 12
即a> 或0£a<1.
7
22．（1）证明：设A(x ,x2)、B(x ,x2)，E(x ,y )、B(x ,y )
1 1 2 2 E E F F
x2 -x2
则直线AB的方程：y = 1 2 x-x +x2
x -x 1 1
1 2
即：y =(x +x )x-x x
1 2 1 2
因M(x ,y )在AB上，所以y =(x +x )x -x x ①
0 0 0 1 2 0 1 2LL
x2 - y
又直线AP方程：y = 1 0 x+ y
x 0
1
ì x2 - y
ïy = 1 0 x+ y x2 - y
由í x 0 得：x2 - 1 0 x- y =0
1 x 0
ï îx2 = y 1
x2 - y y y2
所以x +x = 1 0 Þ x =- 0 ,y = 0
1 E x E x E x2
1 1 1
y y2
同理，x =- 0 ,y = 0
F x F x2
2 2
x +x y2
所以直线EF 的方程：y =-( 1 2)y x- 0
x x 0 x x
1 2 1 2
y
令x=-x 得y = 0 [(x +x )x - y ]
0 x x 1 2 0 0
1 2
将①代入上式得y = y ，即N 点在直线EF 上
0
所以E,F,N 三点共线
（2）解：由已知A、B、M、N 共线，所以A - y ,y ,B( y ,y )
0 0 0 0
以AB为直径的圆的方程：x2 +y- y 2 = y
0 0
ì ïx2 +y- y 2 = y
由í 0 0 得y2 -2y -1y+ y2 - y =0
0 0 0
ïîx2 = y
所以y = y （舍去），y = y -1
0 0
第10页 | 共11页要使圆与抛物线有异于A,B的交点，则y -1³0
0
所以存在y ³1，使以AB为直径的圆与抛物线有异于A,B的交点Tx ,y
0 T T
则y = y -1，所以交点T 到AB的距离为y - y = y -y -1=1
T 0 0 T 0 0
第11页 | 共11页
