2008年高考数学试卷（文）（天津）（解析卷）_历年高考真题合集_数学历年高考真题_新·PDF版2008-2025·高考数学真题_数学（按年份分类）2008-2025_2008·高考数学真题

绝密 ★ 启用前 2008年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷） 数学（文史类） 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分 钟。第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至10页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 祝各位考生考试顺利！ 第Ⅰ卷 注意事项： 1.答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、科目涂写在答题卡上，并在规定 位置粘贴考试用条形码。 2.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡 皮擦干净后，再选涂其他答案标号。答在试卷上的无效。 3.本卷共10小题，每小题5分，共50分。 参考公式： 如果时间A，B互斥，那么 球的表面积公式 P（A+B）=P（A）+P（B） S= 4pR2. 如果事件A，B相互独立，那么 其中R表示球的半径. P（A·B）=P（A）·P（B） 一、选择题：在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的. （1）设集合U ={xÎN |0< x£8}，S ={1,2,4,5}，T ={3,5,7}，则S (ðT)= I U （A）{1,2,4} （B）{1,2,3,4,5,7} （C）{1,2} （D）{1,2,4,5,6,8} 解析：因为ðT ={1,2,4,6,8}，所以S (ðT)={1,2,4}，选A． U I U x y 0  （2）设变量x,y满足约束条件 x y £1 ，则目标函数z =5x y的最大值为  x2y 1  （A）2 （B）3 （C）4 （D）5 第1页 | 共10页解析：如图，由图象可知目标函数 z =5x y过点A(1,0)时z取得最大值，z =5， max 选D． （3）函数y =1 x（0£ x£4）的反函数是 （A）y =(x1)2（1£ x£3） （B）y =(x1)2（0£ x£4） （C）y = x2 1（1£ x£3） （D）y = x2 1（0£ x£4） 解析：当0£ x£4时，1 xÎ[1,3]，解y =1 x得 f 1(x)=(x1)2，选A． （4）若等差数列{a }的前5项和S =25，且a =3，则a = n 5 2 7 （A）12 （B）13 （C）14 （D）15 5(a a ) 5(a a ) a a 解析：S = 1 5 = 2 4 Þa =7，所以a =a 5d =a 5× 4 2 =13， 5 2 2 4 7 2 2 2 选B． （5）设a,b是两条直线，,是两个平面，则a b的一个充分条件是 （A）a ,b//, （B）a ,b ,// （C）a ,b ,// （D）a ,b//, 解析：选C，A、B、D的反例如图． p （6）把函数y =sinx（xÎR）的图象上所有点向左平行移动 个单位长度，再把所得 3 1 图象上所有点的横坐标缩短到原来的 倍（纵坐标不变），得到的图象所表示的函数是 2 p x p （A）y =sin(2x )，xÎR （B）y =sin(  )，xÎR 3 2 6 p 2p （C）y =sin(2x )，xÎR （D）y =sin(2x )，xÎR 3 3 解析：选C, 向左平移 p 个单位 p 横坐标缩短到原来的 1 倍 p y =sinx¾¾¾¾3 ¾¾®y =sin(x )¾¾¾¾¾¾2¾®y =sin(2x )． 3 3 x2 y2 （7）设椭圆  =1（m>0，n>0）的右焦点与抛物线y2 =8x的焦点相同，离心 m2 n2 第2页 | 共10页1 率为 ，则此椭圆的方程为 2 x2 y2 x2 y2 x2 y2 x2 y2 （A）  =1 （B）  =1 （C）  =1 （D）  =1 12 16 16 12 48 64 64 48 1 解析：抛物线的焦点为(2,0)，椭圆焦点在x轴上，排除A、C，由e= 排除D，选B． 2  x2, x£0 （8）已知函数 f(x)= ，则不等式 f(x) x2的解集是 x2, x>0 （A）[1,1] （B）[2,2] （C）[2,1] （D）[1,2] x£0 x>0 解析：依题意得 或  Þ1£ x£0或0< x£1Þ1£ x£1，选A x2 x2 x2 x2 ． 5p 2p 2p （9）设a=sin ，b=cos ，c=tan ，则 7 7 7 （A）a 1，若对于任意的xÎ[a,2a]，都有yÎ[a,a2]满足方程log xlog y =3 a a ，这时a的取值集合为 （A）{a|11 B． 第Ⅱ卷 注意事项： 1．答卷前将密封线内的项目填写清楚。 2．用钢笔或圆珠笔直接答在试卷上 3．本卷共12小题，共100分。 二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分.把答案填在题中横线上.） （11）一个单位共有职工200人，其中不超过45岁的有120人，超过45岁的有80人．为了调 查职工的健康状况，用分层抽样的方法从全体职工中抽取一个容量为25的样本，应抽取超 过45岁的职工________________人． 第3页 | 共10页25 解析：依题意知抽取超过45岁的职工为 ´80=10． 200 2 （12）(x )5的二项展开式中，x3的系数是________________（用数字作答）． x 2 解析：T =Crx5r ×( )r =2rCrx52r，r =1，所以系数为10． r1 5 x 5 （13）若一个球的体积为4 3p，则它的表面积为________________． 4p 解析：由 R3 =4 3p得R= 3，所以S =4pR2 =12p． 3 r r r r r r r r （14）已知平面向量a =(2,4)，b =(1,2)．若c =a(a×b)b ，则|c|=_____________ ． r r 解析：因为c =(2,4)6(1,2)=(8,8)，所以|c|=8 2． （15）已知圆C的圆心与点P(2,1)关于直线y = x1对称．直线3x4y11=0与圆C 相交于A,B两点，且 AB =6，则圆C的方程为_______________________． (411)2 解析：圆心的坐标为(0,1)，所以r2 =32  =18，圆的方程为 52 x2 (y1)2 =18． （16）有4张分别标有数字1，2，3，4的红色卡片和4张分别标有数字1，2，3，4的蓝色卡 片，从这8张卡片中取出4张卡片排成一行．如果取出的4张卡片所标数字之和等于10，则不 同的排法共有________________种（用数字作答）． 解析：数字之和为10的情况有4，4，1，1、 4，3，2，1、 3，3，2，2． 所以共有2A4 24A4 =18A4 =432种不同排法． 4 4 4 三、解答题（本题共6道大题，满分76分） （17）（本小题满分12分） p 已知函数 f(x)=2cos2wx2sinwxcoswx1（xÎR,w>0）的最小值正周期是 ． 2 （Ⅰ）求w的值； （Ⅱ）求函数 f(x)的最大值，并且求使 f(x)取得最大值的x的集合． （17）本小题主要考查特殊角三角函数值、两角和的正弦、二倍角的正弦与余弦、函数 y = Asin(wxj)的性质等基础知识，考查基本运算能力．满分12分． （Ⅰ）解： 第4页 | 共10页1cos2wx   f x = 2× sin2wx1 2 =sin2wxcos2wx2  p p = 2sin2wxcos cos2wxsin 2  4 4  p = 2sin2wx 2  4 p 2p p   由题设，函数 f x 的最小正周期是 ，可得 = ，所以w= 2． 2 2w 2  p   （Ⅱ）由（Ⅰ）知， f x = 2sin4x 2．  4 p p p kp  p   当4x = 2kp，即x =  kÎZ 时，sin4x 取得最大值1，所以函数 4 2 16 2  4  p kp    f x 的最大值是2 2，此时x的集合为x| x =  ,kÎZ．  16 2  （18）（本小题满分12分） 1 甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命中率分别为 与 p，且乙投球2次 2 1 均未命中的概率为 ． 16 （Ⅰ）求乙投球的命中率 p； （Ⅱ）求甲投球2次，至少命中1次的概率； （Ⅲ）若甲、乙两人各投球2次，求两人共命中2次的概率． （18）本小题主要考查随机事件、互斥事件、相互独立事件等概率的基础知识，考查运用 概率知识解决实际问题的能力．满分12分． （Ⅰ）解法一：设“甲投球一次命中”为事件A，“乙投球一次命中”为事件B． 1 由题意得  1 P  B 2 =  1 p 2 = 16 3 5 3 解得 p= 或 （舍去），所以乙投球的命中率为 ． 4 4 4 解法二：设设“甲投球一次命中”为事件A，“乙投球一次命中”为事件B． 1 1 1 3 由题意得P(B)P(B)= ，于是P(B)= 或P(B)= （舍去），故 p=1P(B)= 16 4 4 4 ． 3 所以乙投球的命中率为 ． 4 1   1   （Ⅱ）解法一：由题设和（Ⅰ）知P A = ,P A = ． 2 2 第5页 | 共10页  3 故甲投球2次至少命中1次的概率为1P A×A = 4 解法二： 1   1   由题设和（Ⅰ）知P A = ,P A = 2 2   3 故甲投球2次至少命中1次的概率为C1P  A  P A P  A  P  A  = 2 4 1   1 3   1     （Ⅲ）由题设和（Ⅰ）知，P A = ,P A = ,P B = ,P B = 2 2 4 4 甲、乙两人各投球2次，共命中2次有三种情况：甲、乙两人各中一次；甲中两次，乙两次 均不中；甲两次均不中，乙中2次。概率分别为     3 C1P  A  P A ×C1P  B  P B = ， 2 2 16   1   P A×A P B×B = ， 64   9   P A×A P B×B = 64 3 1 9 11 所以甲、乙两人各投两次，共命中2次的概率为   = ． 16 64 64 32 （19）（本小题满分12分） 如图，在四棱锥P ABCD中，底面ABCD是矩形．已知 AB=3,AD=2,PA=2,PD=2 2,PAB=60． （Ⅰ）证明AD平面PAB； （Ⅱ）求异面直线PC与AD所成的角的大小； （Ⅲ）求二面角P BD A的大小． （19）本小题主要考查直线和平面垂直，异面直线所成的角、二面角等基础知识，考查空 间想象能力，运算能力和推理论证能力．满分12分． （Ⅰ）证明：在PAD中，由题设PA=2,PD=2 2可得 PA2  AD2 = PD2于是AD PA.在矩形ABCD中，AD AB.又PA AB= A， I 所以AD平面PAB． （Ⅱ）解：由题设，BC// AD，所以PCB（或其补角）是异面直线PC与AD所成的 角. 在PAB中，由余弦定理得 PB = PA2  AB2 2PA×AB×cosPAB = 7 由（Ⅰ）知AD平面PAB，PB平面PAB， 所以AD PB，因而BC  PB，于是PBC是直角三 第6页 | 共10页PB 7 角形，故tanPCB= = ． BC 2 7 所以异面直线PC与AD所成的角的大小为arctan ． 2 （Ⅲ）解：过点P做PH  AB于H，过点H做HE  BD于E，连结PE 因为AD平面PAB，PH 平面PAB，所以AD PH .又AD AB= A， I 因而PH 平面ABCD，故HE为PE再平面ABCD内的射影.由三垂线定理可知， BD PE，从而PEH 是二面角P BD A的平面角。 由题设可得， PH = PA×sin60 = 3,AH = PA×cos60 =1, BH = AB AH =2,BD= AB2  AD2 = 13, AD 4 HE = ×BH = BD 13 39 于是再RTPHE中，tanPEH = 4 39 所以二面角P BD A的大小为arctan ． 4 （20）（本小题满分12分） 在数列{a }中，a =1，a =2，且a =(1q)a qa （n2,q ¹0）． n 1 2 n1 n n1 （Ⅰ）设b =a a （nÎN*），证明{b }是等比数列； n n1 n n （Ⅱ）求数列{a }的通项公式； n （Ⅲ）若a 是a 与a 的等差中项，求q的值，并证明：对任意的nÎN*，a 是a 与 3 6 9 n n3 a 的等差中项． n6 （20）本小题主要考查等差数列、等比数列的概念、等比数列的通项公式及前n项和公式 ，考查运算能力和推理论证能力及分类讨论的思想方法．满分12分． （Ⅰ）证明：由题设a =(1q)a qa （n2），得 n1 n n1 a a =q(a a )，即b =qb ，n2． n1 n n n1 n n1 又b =a a =1，q¹0，所以{b }是首项为1，公比为q的等比数列． 1 2 1 n （Ⅱ）解法：由（Ⅰ） a a =1， 2 1 第7页 | 共10页a a =q， 3 2 …… a a =q2，（n2）． n n1 将以上各式相加，得a a =1q qn2（n2）． n 1 L  1qn1 1 , q¹1, 所以当n2时，a = 1q n  n, q=1. 上式对n=1显然成立． （Ⅲ）解：由（Ⅱ），当q=1时，显然a 不是a 与a 的等差中项，故q¹1． 3 6 9 由a a =a a 可得q5 q2 =q2 q8，由q¹0得q31=1q6， ① 3 6 9 3 整理得(q3)2 q3 2=0，解得q3 =2或q3 =1（舍去）．于是q=3 2． qn2 qn1 qn1 另一方面，a a = = (q3 1)， n n3 1q 1q qn1qn5 qn1 a a = = (1q6)． n6 n 1q 1q 由①可得a a =a a ，nÎN*． n n3 n6 n 所以对任意的nÎN*，a 是a 与a 的等差中项． n n3 n6 （21）（本小题满分14分） 已知函数 f(x)= x4 ax32x2 b（xÎR），其中a,bÎR． 10 （Ⅰ）当a= 时，讨论函数 f(x)的单调性； 3 （Ⅱ）若函数 f(x)仅在x=0处有极值，求a的取值范围； （Ⅲ）若对于任意的aÎ[2,2]，不等式 f x£1在[1,1]上恒成立，求b的取值范围． （21）本小题主要考查利用导数研究函数的单调性、函数的最大值、解不等式等基础知识 ，考查综合分析和解决问题的能力．满分14分． （Ⅰ）解： f¢(x)=4x3 3ax2 4x= x(4x2 3ax4)． 10 当a= 时， f¢(x)= x(4x2 10x4)=2x(2x1)(x2)． 3 第8页 | 共10页1 令 f¢(x)=0，解得x =0，x = ，x =2． 1 2 2 3 当x变化时， f¢(x)， f(x)的变化情况如下表： 1 1 1 x (¥,0) 0 (0, ) ( ,2) 2 (2,¥) 2 2 2 f¢(x) － 0 ＋ 0 － 0 ＋ f(x) ↘ 极小值 ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ 1 1 所以 f(x)在(0, )，(2,¥)内是增函数，在(¥,0)，( ,2)内是减函数． 2 2 （Ⅱ）解： f¢(x)= x(4x2 3ax4)，显然x=0不是方程4x2 3ax4=0的根． 为使 f(x)仅在x=0处有极值，必须4x2 3ax40成立，即有=9a2 64£0． 8 8 解些不等式，得 £a£ ．这时， f(0)=b是唯一极值． 3 3 8 8 因此满足条件的a的取值范围是[ , ]． 3 3 （Ⅲ）解：由条件aÎ[2,2]，可知=9a2 64<0，从而4x2 3ax4>0恒成立． 当x<0时， f¢(x)<0；当x>0时， f¢(x)>0． 因此函数 f(x)在[1,1]上的最大值是 f(1)与 f(1)两者中的较大者． f(1)£1 为使对任意的aÎ[2,2]，不等式 f(x)£1在[1,1]上恒成立，当且仅当 ，即 f(1)£1 b£2a  ，在aÎ[2,2]上恒成立． b£2a 所以b£4，因此满足条件的b的取值范围是(¥,4]． （22）（本小题满分14分）   已知中心在原点的双曲线C的一个焦点是F 3,0 ，一条渐近线的方程是 5x2y =0． 1 （Ⅰ）求双曲线C的方程；   （Ⅱ）若以k k ¹0 为斜率的直线l 与双曲线C相交于两个不同的点M，N，且线段MN的 81 垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为 ，求k的取值范围． 2 （22）本小题主要考查双曲线的标准方程和几何性质、直线方程、两条直线垂直、线段的 第9页 | 共10页定比分点等基础知识，考查曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法，考查推理运算 能力．满分14分． x2 y2 （Ⅰ）解：设双曲线C的方程为  =1（a>0,b>0）．由题设得 a2 b2 a2 b2 =9  a2 =4 x2 y2 b 5 ，解得 ，所以双曲线方程为  =1．  = b2 =5 4 5 a 2 （Ⅱ）解：设直线 l的方程为y =kxm（k ¹0）．点M(x ,y )，N(x ,y )的 1 1 2 2 y =kxm  坐标满足方程组 x2 y2  =1   4 5 x2 (kxm)2 将①式代入②式，得  =1，整理得(54k2)x2 8kmx4m2 20=0． 4 5 此方程有两个一等实根，于是54k2 ¹0，且=(8km)2 4(54k2)(4m2 20)>0． 整理得m2 54k2 >0． ③ 由根与系数的关系可知线段MN 的中点坐标(x ,y )满足 0 0 x x 4km 5m x = 1 2 = ，y =kx m= ． 0 2 54k2 0 0 54k2 5m 1 4km 从而线段MN 的垂直平分线方程为y = (x )． 54k2 k 54k2 9km 9m 此直线与x轴，y轴的交点坐标分别为( ,0)，(0, )．由题设可得 54k2 54k2 1 9km 9m 81 (54k2)2 | |×| |= ．整理得m2 = ，k ¹0． 2 54k2 54k2 2 |k| (54k2)2 将上式代入③式得 54k2 >0，整理得(4k2 5)(4k2|k|5)>0，k ¹0 |k| ． 5 5 解得0<|k|< 或|k|> ． 2 4 5 5 5 5 所以k的取值范围是(¥, ) ( ,0) (0, ) ( ,¥)． U U U 4 2 2 4 第10页 | 共10页