2008年高考数学试卷（文）（四川）（非延考区）（解析卷）_历年高考真题合集_数学历年高考真题_新·PDF版2008-2025·高考数学真题_数学（按年份分类）2008-2025_2008·高考数学真题

2008 年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷） 数 学（文科）及参考答案 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，第Ⅰ卷第1至第2页，第Ⅱ卷第3 至第4页。全卷满分150分，考试时间120分钟。 考生注意事项： 1. 答题前，务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的座位号、姓名，并认真核对答题 卡上所粘贴的条形码中“座位号、姓名、科类”与本人座位号、姓名、科类是否一致。 2. 答第Ⅰ卷时，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动、用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。 3. 答第Ⅱ卷时，必须用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上书写。在试题卷上作答无效。 4. 考试结束，监考员将试题卷和答题卡一并收回。 参考公式： 如果事件A、B互斥，那么 球的表面积公式 PA+B= PA+PB S =4pR2 如果事件A、B相互独立，那么 其中R表示球的半径 PA×B= PA×PB 球的体积公式 4 如果事件A在一次实验中发生的概率是 p，那么 V = pR3 3 n次独立重复实验中事件A恰好发生k次的概率 其中R表示球的半径 P k=Ckpk 1- pn-k ,k =0,1,2, ,n n n L 第Ⅰ卷 一．选择题： １．设集合U =1,2,3,4,5,A=1,2,3,B=2,3,4，则ð U A I B=( B ) （Ａ）2,3 （Ｂ）1,4,5 （Ｃ）4,5 （Ｄ） 1,5 【解】：∵A=1,2,3,B=2,3,4 ∴A I B=2,3 又∵U =1,2,3,4,5 ∴ð U A I B=1,4,5 故选B； æ 1ö ２．函数y =ln2x+1 ç x>- ÷的反函数是( C ) è 2ø 1 （Ａ）y = ex -1xÎR （Ｂ）y =e2x -1xÎR 2 第1页 | 共12页1 x （Ｃ）y =  ex -1 xÎR （Ｄ）y =e2 -1xÎR 2 1 1 【解】：∵由y =ln2x+1反解得x=  ey -1  ∴y =  ex -1  从而淘汰（Ｂ）、（Ｄ） 2 2 1 1 又∵原函数定义域为x>- ∴反函数值域为y >- 故选C； 2 2 【考点】：此题重点考察求反函数的方法，考察原函数与反函数的定义域与值域的互换性； 【突破】：反解得解析式，或利用原函数与反函数的定义域与值域的互换对选项进行淘汰； r r r r 3．设平面向量a=3,5,b=-2,1，则a-2b=( A ) （Ａ）7,3 （Ｂ）7,7 （Ｃ）1,7 （Ｄ） 1,3 r r r r 【解】：∵a=3,5,b=-2,1 ∴a-2b=3,5-2-2,1=3+4，5-2=7，3 故选C； 【考点】：此题重点考察向量加减、数乘的坐标运算； 【突破】：准确应用向量的坐标运算公式是解题的关键； 4．tanx+cotxcos2 x=( D ) （Ａ）tanx （Ｂ）sinx （Ｃ）cosx （Ｄ） cotx æ sinx cosxö sin2 x+cos2 x 【解】：∵tanx+cotxcos2 x= ç + ÷ cos2 x= ×cos2 x ècosx sinx ø sinxcosx cosx = =cotx 故选D； sinx 【点评】：此题重点考察各三角函数的关系； sinx cosx 【突破】：熟悉三角公式，化切为弦；以及注意sin2 x+cos2 x=1,tanx= ,cotx= ； cosx sinx 5．不等式的解集为( A ) （Ａ）-1,2 （Ｂ）-1,1 （Ｃ）-2,1 （Ｄ）-2,2 ìx2 -x+2>0 ì xÎR 【解】：∵ x2 -x <2 ∴-2< x2 -x<2 即í ， í ， îx2 -x-2<0 î-1< x<2 ∴xÎ-1,2 故选A； 【点评】：此题重点考察绝对值不等式的解法； 【突破】：准确进行不等式的转化去掉绝对值符号为解题的关键，可用公式法，平方法，特 值验证淘汰法； 6．直线y =3x绕原点逆时针旋转900，再向右平移１个单位，所得到的直线为( A ) 第2页 | 共12页1 1 1 （Ａ）y =- x+ （Ｂ）y =- x+1 3 3 3 1 （Ｃ）y =3x-3 （Ｄ）y = x+1 3 1 【解】：∵直线y =3x绕原点逆时针旋转900的直线为y =- x，从而淘汰（Ｃ），（D） 3 1 1 1 1 又∵将y =- x向右平移１个单位得y =- x-1，即y =- x+ 故选A； 3 3 3 3 【点评】：此题重点考察互相垂直的直线关系，以及直线平移问题； 【突破】：熟悉互相垂直的直线斜率互为负倒数，过原点的直线无常数项；重视平移方法： “左加右减”； 5 7． DABC的三内角 A,B,C的对边边长分别为 a,b,c，若 a= b,A=2B，则 2 cosB=( B ) 5 5 5 5 （Ａ） （Ｂ） （Ｃ） （Ｄ） 3 4 5 6 ì 5 ì 5 ïa= b ï sinA= sinB 5 【解】：∵DABC中 í 2 ∴ í 2 ∴cosB= 故选B； 4 ï ï î A=2B îsinA=sin2B=2sinBcosB 【点评】：此题重点考察解三角形，以及二倍角公式； 【突破】：应用正弦定理进行边角互化，利用三角公式进行角的统一，达到化简的目的；在 解三角形中，利用正余弦定理进行边角转化是解题的基本方法，在三角函数的化简求值中常 要重视角的统一，函数的统一，降次思想的应用。 ８．设M 是球心O的半径OP的中点，分别过M,O作垂直于OP的平面，截球面得两个 圆，则这两个圆的面积比值为：( D ) 1 1 2 3 （Ａ） （Ｂ） （Ｃ） （Ｄ） 4 2 3 4 【解】：设分别过M,O作垂线于OP的面截球得三个圆的半径为r,r ，球半径为R， 1 2 2 æ1 ö 3 则：r2 = R2 - ç R ÷ = R2,r2 = R2 1 è2 ø 4 2 3 3 3 ∴r2 :r2 = R2 :R2 = ∴这两个圆的面积比值为： 故选D 1 2 4 4 4 【点评】：此题重点考察球中截面圆半径，球半径之间的关系； 【突破】：画图数形结合，提高空间想象能力，利用勾股定理； 9．函数 f x满足 f x× f x+2=13，若 f 1=2，则 f 99=( C ) 第3页 | 共12页13 2 （Ａ）13 （Ｂ）2 （Ｃ） （Ｄ） 2 13 13 13 【解】：∵ f x× f x+2=13且 f 1=2 ∴ f 1=2， f 3= = ， f 1 2 13 13 13 13 f 5= =2， f 7= = ， f 9= =2， ， f 3 f 5 2 f 5 L ì 2 n为奇数 13 ∴ f 2n-1= ï í13 ，∴ f 99= f 2´100-1= 故选C n为偶数 2 ï î 2 【点评】：此题重点考察递推关系下的函数求值； 【突破】：此类题的解决方法一般是求出函数解析式后代值，或者得到函数的周期性求解； 10．设直线l Ì平面a，经过a外一点A与l,a都成300角的直线有且只有：( B ) （Ａ）１条 （Ｂ）２条 （Ｃ）３条 （Ｄ）４条 【解】：如图，当ÐAOC =ÐACB=300时，直线AC满足条件； 又由图形的对称性，知当ÐAOB=ÐABC =300时， 直线AB满足条件； 故选B 【点评】：此题重点考察线线角，线面角的关系，以及空间想象能力，图形的对称性； 【突破】：数形结合，利用圆锥的母线与底面所成的交角不变画图，重视空间想象能力和图 形的对称性； x2 y2 11．已知双曲线C: - =1的左右焦点分别为 F,F ， P为C的右支上一点，且 9 16 1 2 PF = FF ，则DPFF 的面积等于( C ) 1 1 2 1 2 （Ａ）24 （Ｂ）36 （Ｃ）48 （Ｄ）96 x2 y2 【解1】：∵双曲线C: - =1中a=3,b=4,c=5 ∴F -5,0,F 5,0 9 16 1 2 ∵ PF = FF ∴ PF =2a+ PF =6+10=16 2 1 2 1 2 作PF 边上的高AF ，则AF =8 ∴AF = 102 -82 =6 1 2 1 2 1 1 ∴DPFF 的面积为 PF × PF = ´16´6=48 故选C 1 2 2 1 2 2 x2 y2 【解2】：∵双曲线C: - =1中a=3,b=4,c=5 ∴F -5,0,F 5,0 9 16 1 2 设Px，y ,x >0， 则由 PF = FF 得x -52 + y 2 =102 0 0 0 2 1 2 0 0 第4页 | 共12页x 2 y 2 æ x 2 ö 又∵P为C的右支上一点 ∴ 0 - 0 =1 ∴y 2 =16ç 0 -1÷ 9 16 0 9 è ø æ x 2 ö ∴x -52 +16ç 0 -1÷=100 即25x 2 +90x -819=0 0 9 0 0 è ø 21 39 解得x = 或x =- <0（舍去） 0 5 0 5 æ x 2 ö é æ21ö 2 1 ù 48 ∴y = 16ç 0 -1÷ = 16êç ÷ ´ -1ú = 0 è 9 ø êë è 5 ø 9 úû 5 1 1 48 ∴DPFF 的面积为 FF × y = ´10´ =48 故选B 1 2 2 1 2 0 2 5 【点评】：此题重点考察双曲线的第一定义，双曲线中与焦点，准线有关三角形问题； 【突破】：由题意准确画出图象，解法1利用数形结合，注意到三角形的特殊性；解法2利 用待定系数法求P点坐标，有较大的运算量； 12．若三棱柱的一个侧面是边长为2的正方形，另外两个侧面都是有一个内角为600的菱形， 则该棱柱的体积等于( B ) （Ａ） 2 （Ｂ）2 2 （Ｃ）3 2 （Ｄ）4 2 【解】：如图在三棱柱ABC-ABC 中，设ÐAAB =ÐAAC =600， 1 1 1 1 1 1 1 由条件有ÐC AB =600，作AO^面ABC 于点O， 1 1 1 1 1 1 cosÐAAB cos600 1 3 则cosÐAAO= 1 1 = = = 1 cosÐB AO cos300 3 3 1 1 6 2 6 ∴sinÐAAO= ∴AO= AA ×sinÐAAO= 1 3 1 1 3 1 2 6 ∴V =S ×AO= ´2´2´sin600´ =2 2 故选B ABC-A 1 B 1AO C 1 DA 1 B 1 C 1 2 3 【点评】：此题重点考察立体几何中的最小角定理和柱体体积公式，同时考察空间想象能力； 【突破】：具有较强的空间想象能力，准确地画出图形是解决此题的前提，熟悉最小角定理 并能准确应用是解决此题的关键； 第Ⅱ卷 二．填空题：本大题共4个小题，每小题4分，共16分。把答案填在题中横线上。 13．1+2x31-x4 展开式中x的系数为______2_________。 第5页 | 共12页【解】：∵1+2x31-x4 展开式中x项为 C0132x0 ×C113-x1 +C1122x1 ××C014-x0 3 4 3 4 ∴所求系数为C0×C1-1+C1×2=-4+6=2 故填2 3 4 3 【点评】：此题重点考察二项展开式中指定项的系数，以及组合思想； 【突破】：利用组合思想写出项，从而求出系数； 14．已知直线l:x- y+4=0与圆C:x-12 +y-12 =2，则C上各点到l的距离的最小 值为_______ 2 ______。 【解】：如图可知：过原心作直线l:x- y+4=0的垂线，则AD长即为所求； ∵C:x-12 +y-12 =2的圆心为C2,2，半径为 2 1-1+4 点C 到直线l:x- y+4=0的距离为d = =2 2 2 ∴ AD=CD-AB=2 2- 2 = 2 故C上各点到l的距离的最小值为 2 【点评】：此题重点考察圆的标准方程和点到直线的距离； 【突破】：数形结合，使用点C到直线l的距离距离公式。 15．从甲、乙等10名同学中挑选4名参加某校公益活动，要求甲、乙中至少有1人参加， 则不同的挑选方法共有_______140_________种。 【解】：∵从10个同学中挑选4名参加某项公益活动有C4 种不同挑选方法； 10 从甲、乙之外的8个同学中挑选4名参加某项公益活动有C4种不同挑选方法； 8 ∴甲、乙中至少有1人参加，则不同的挑选方法共有C4 -C4 =210-70=140种不 10 8 同挑选方法 故填140； 【考点】：此题重点考察组合的意义和组合数公式； 【突破】：从参加 “某项”切入，选中的无区别，从而为组合问题；由“至少”从反面排除 易于解决； nn+1 16．设数列a 中，a =2,a =a +n+1，则通项a = ______ +1_____。 n 1 n+1 n n 2 【解】：∵a =2,a =a +n+1 ∴a =a +n-1+1，a =a +n-2+1， 1 n+1 n n n-1 n-1 n-2 a =a +n-3+1， ，a =a +2+1，a =a +1+1，a =2=1+1 n-2 n-3 K 3 2 2 1 1 将以上各式相加得：a n =é ë n-1+n-2+n-3+ L +2+1ù û +n+1 第6页 | 共12页n-1é ë n-1+1ù û n-1n nn+1 nn+1 = +n+1= +n+1= +1 故应填 +1； 2 2 2 2 【考点】：此题重点考察由数列的递推公式求数列的通项公式； 【突破】：重视递推公式的特征与解法的选择；抓住a =a +n+1中a ,a 系数相同是 n+1 n n+1 n 找到方法的突破口；此题可用累和法，迭代法等； 三．解答题：本大题共6个小题，共74分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17．（本小题满分12分） 求函数y =7-4sinxcosx+4cos2 x-4cos4 x的最大值与最小值。 解：y =7-4sinxcosx+4cos2 x-4cos4 x =7-2sin2x+4cos2 x  1-cos2 x  =7-2sin2x+4cos2 xsin2 x =7-2sin2x+sin22x =1-sin2x2 +6 由于函数z =u-12 +6在-1，1中的最大值为 z =-1-12 +6=10 max 最小值为 z =1-12 +6=6 min 故当sin2x=-1时 y取得最大值10，当sin2x=1时 y取得最小值6 18．（本小题满分12分） 设进入某商场的每一位顾客购买甲种商品的概率为0.5，购买乙种商品的概率为0.6，且 购买甲种商品与购买乙种商品相互独立，各顾客之间购买商品也是相互独立的。 （Ⅰ）求进入商场的1位顾客购买甲、乙两种商品中的一种的概率； （Ⅱ）求进入商场的3位顾客中至少有2位顾客既未购买甲种也未购买乙种商品的概率。 解：（Ⅰ）记A表示事件：进入商场的1位顾客购买甲种商品， 记B表示事件：进入商场的1位顾客购买乙种商品， 记C表示事件：进入商场的1位顾客购买甲、乙两种商品中的一种，     C = A×B + A×B PC= P  A×B+ A×B  第7页 | 共12页    = P A×B +P A×B = PA×P  B  +PA×P  B  =0.5´0.4+0.5´0.6 =0.5 （Ⅱ）记A 表示事件：进入商场的3位顾客中都未选购甲种商品，也未选购买乙种商品； 2 D表示事件：进入商场的1位顾客未选购甲种商品，也未选购买乙种商品； E表示事件：进入商场的3位顾客中至少有2位顾客既未选购甲种商品，也未选 选购乙种商品； D= A×B         P D = P A×B = P A ×P B =0.5´0.4 =0.2 PA =C2´0.22´0.8=0.096 2 2 PA =0.23 =0.008 3 PE= PA + A = PA +PA =0.096+0.008=0.104 1 2 1 2 19．（本小题满分12分） 如图，平面ABEF ^平面ABCD，四边形ABEF 与ABCD都是直角梯形， 1 1 ÐBAD=ÐFAB=900,BC // AD，BE // AF ，G,H 分别为FA,FD的中点 = 2 = 2 （Ⅰ）证明：四边形BCHG是平行四边形； （Ⅱ）C,D,F,E四点是否共面？为什么？ （Ⅲ）设AB= BE，证明：平面ADE ^平面CDE； 解法一： （Ⅰ）由题意知，FG =GA,FH = HD 1 所以GH // AD = 2 1 又BC // AD，故GH // BC = 2 = 所以四边形BCHG是平行四边形。 （Ⅱ）C,D,F,E四点共面。理由如下： 第8页 | 共12页1 由BC // AF ，G是FA的中点知，BE // GH ，所以EF//BG = 2 = 由（Ⅰ）知BG//CH ，所以EF//CH ，故EC,FH 共面。又点D在直线FH 上 所以C,D,F,E四点共面。 （Ⅲ）连结EC，由AB= BE，BE // AG及ÐBAG =900知ABEG是正方形 = 故BG ^ EA。由题设知FA,FD,AB两两垂直，故AD^平面FABE， 因此EA是ED在平面FABE内的射影，根据三垂线定理，BG ^ ED 又ED EA= E，所以BG ^平面ADE I 由（Ⅰ）知CH //BG，所以CH ^平面ADE。 由（Ⅱ）知FÎ平面CDE，故CH Ì平面CDE，得平面ADE ^平面CDE 解法二： 由平面ABEF ^平面ABCD，AF ^ AB，得AF ^平面ABCD，以A为坐标原点， 射线AB为x轴正半轴，建立如图所示的直角坐标系A-xyz （Ⅰ）设AB=a,BC =b,BE =c，则由题设得 A0,0,0,Ba,0,0,Ca,b,0,D0,2b,0,Ea,0,c,G0,0,c,H0,b,c uuur uuur 所以HG =0,b,0,BC =0,b,0 uuur uuur 于是HG = BC 又点G不在直线BC上 所以四边形BCHG是平行四边形。 （Ⅱ）C,D,F,E四点共面。理由如下： 由题设知F0,0,2c，所以 uuur uuur uuur uuur EF =-a,0.c,CH =-a,0.c,EF =CH 又CÏEF,HÎFD，故C,D,E,F 四点共面。 uuur uuur （Ⅲ）由AB= BE得，所以CH =-a,0,a,AE =a,0,a uuur uuur uuur uuur uuur 又AD=0,2b,0，因此CH×AE =0,CH×AD=0 即CH ^ AE,CH ^ AD 第9页 | 共12页又AD AE = A，所以CH ^平面ADE I 故由CH Ì平面CDFE，得平面ADE ^平面CDE 20．（本小题满分12分） 设x=1和x=2是函数 f x= x5 +ax3 +bx+1的两个极值点。 （Ⅰ）求a和b的值； （Ⅱ）求 f x的单调区间 解：（Ⅰ）因为 f 'x=5x4 +3ax2 +b 由假设知： f '1=5+3a+b=0 f '2=24´5+22´3a+b=0 25 解得a= ,b=20 3 （Ⅱ）由（Ⅰ）知 f 'x=5x4 +3ax2 +b=5  x2 -1  x4 -4  =5x+1x+2x-1x-2 当xÎ-¥,-2 -1,1 2,+¥时， f 'x>0 U U 当xÎ-2,-1 1,2时， f 'x<0 U 因此 f x的单调增区间是-¥,-2,-1,1,2,+¥ f x的单调减区间是-2,-1,1,2 21．（本小题满分12分） 设数列a 的前n项和为S =2a -2n， n n n （Ⅰ）求a ,a 1 4 （Ⅱ）证明：  a -2an 是等比数列； n+1 （Ⅲ）求a 的通项公式 n 解：（Ⅰ）因为a =S ,2a =S +2， 1 1 1 1 所以a =2,S =2 1 1 由2a =S +2n知 n n 第10页 | 共12页2a =S +2n+1 =a +S +2n+1 n+1 n+1 n+1 n 得a =S +2n+1 ① n n 所以a =S +22 =2+22 =6,S =8 2 1 2 a =S +23 =8+23 =16,S =24 3 2 2 a =S +24 =40 4 3 （Ⅱ）由题设和①式知 a -a =  S +2n+1 -  S +2n n+1 n n n =2n+1-2n =2n 所以是首项为2，公比为2的等比数列。 （Ⅲ）a =a -2a +2a -2a + +2n-2a -2a +2n-1a n n n-1 n-1 n-2 L 2 1 1 =n+1×2n-1 22．（本小题满分14分） x2 y2 2 设椭圆 + =1,a >b>0的左右焦点分别为F,F ，离心率e= ，点F 到右准 a2 b2 1 2 2 2 线为l的距离为 2 （Ⅰ）求a,b的值； uuuur uuuur （Ⅱ）设M,N 是l上的两个动点，FM ×F N =0， 1 2 uuuur uuuur uuuur r 证明：当 MN 取最小值时，FF +F M +F N =0 1 2 2 2 a a 解：因为e= ，F 到l的距离d = -c，所以由题设得 c 2 c ì a 2 ï = ï c 2 í 解得c= 2,a =2 a ï -c= 2 ïîc 由b2 =a2 -c2 =2，得b= 2 第11页 | 共12页    （Ⅱ）由c= 2,a =2得F - 2,0 ,F 2,0 ，l的方程为x=2 2 1 2     故可设M 2 2,y ,N 2 2,y 1 2 uuuur uuuur 由知FM ×F N =0知 1 2     2 2+ 2,y × 2 2- 2,y =0 1 2 6 得y y =-6，所以y y ¹0,y =- 1 2 1 2 2 y 1 6 1 MN = y - y = y + = y + ³2 6 1 2 1 y 1 y 1 1 当且仅当y =± 6 时，上式取等号，此时y =-y 1 2 1 uuuur uuuur uuuur       所以，FF +F M +F N = -2 2,0 + 2,y + 2,y 1 2 2 2 1 2 =0,y + y  1 2 r =0 第12页 | 共12页