2008年高考数学试卷（文）（广东）（解析卷）_历年高考真题合集_数学历年高考真题_新·PDF版2008-2025·高考数学真题_数学（按年份分类）2008-2025_2008·高考数学真题

2008年广东省高考数学试卷（文科） 一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分） 1．（5分）（2008•广东）第二十九届夏季奥林匹克运动会将于2008年8月8日在北京举行， 若集合A={参加北京奥运会比赛的运动员}，集合B={参加北京奥运会比赛的男运动员}．集 合C={参加北京奥运会比赛的女运动员}，则下列关系正确的是（ ） A．A⊆BB．B⊆CC．A∩B=C D．B∪C=A 2．（5分）（2008•广东）已知0＜a＜2，复数z的实部为a，虚部为1，则|z|的取值范围是（ ） A．（1，5）B．（1，3） C． D． 3．（5分）（2008•广东）已知平面向量 =（1，2）， =（﹣2，m），且 ∥ ，则 =（ ） A．（﹣5，﹣10） B．（﹣4，﹣8） C．（﹣3，﹣6） D．（﹣2，﹣4） 4．（5分）（2008•广东）记等差数列的前n项和为S ，若S =4，S =20，则该数列的公差d= n 2 4 （ ） A．2 B．3 C．6 D．7 5．（5分）（2008•广东）已知函数f（x）=（1+cos2x）sin2x，x∈R，则f（x）是（ ） A．最小正周期为π的奇函数 B．最小正周期为 的奇函数 C．最小正周期为π的偶函数 D．最小正周期为 的偶函数 6．（5分）（2008•广东）经过圆x2+2x+y2=0的圆心C，且与直线x+y=0垂直的直线方程是 （ ） A．x+y+1=0 B．x+y﹣1=0C．x﹣y+1=0D．x﹣y﹣1=0 7．（5分）（2008•广东）将正三棱柱截去三个角（如图1所示A，B，C分别是△GHI三边的 中点）得到几何体如图2，则该几何体按图2所示方向的侧视图（或称左视图）为（ ） 第1页 | 共13页A． B． C． D． 8．（5分）（2008•广东）命题“若函数f（x）=log x（a＞0，a≠1）在其定义域内是减函数 a ，则log 2＜0”的逆否命题是（ ） a A．若log 2≥0，则函数f（x）=log x（a＞0，a≠1）在其定义域内不是减函数 a a B．若log 2＜0，则函数f（x）=log x（a＞0，a≠1）在其定义域内不是减函数 a a C．若log 2≥0，则函数f（x）=log x（a＞0，a≠1）在其定义域内是减函数 a a D．若log 2＜0，则函数f（x）=log x（a＞0，a≠1）在其定义域内是减函数 a a 9．（5分）（2008•广东）设a∈R，若函数y=ex+ax，x∈R，有大于零的极值点，则（ ） A．a＜﹣1 B．a＞﹣1 C． D． 10．（5分）（2008•广东）设a，b∈R，若a﹣|b|＞0，则下列不等式中正确的是（ ） A．b﹣a＞0 B．a3+b3＜0 C．a2﹣b2＜0D．b+a＞0 二、填空题（共5小题，11--13为必做题，14--15题选做1题，每小题5分，满分20分） 11．（5分）（2008•广东）为了调查某厂工人生产某种产品的能力，随机抽查了20位工人 某天生产该产品的数量．产品数量的分组区间为[45，55），[55，65），[65，75），[75， 85），[85，95）由此得到频率分布直方图如图，则这20名工人中一天生产该产品数量在[5 5，75）的人数是 ． 12．（5分）（2008•广东）若变量x，y满足 ，则z=3x+2y的最大值是 ． 第2页 | 共13页13．（5分）（2008•广东）阅读程序框图，若输入m=4，n=3，则输出a= ，i= ． （注：框图中的赋值符号“=”，也可以写成“←”或“：=”） 14．（5分）（2008•广东）已知曲线C ，C 的极坐标方程分别为ρcosθ=3， 1 2 ，则曲线C 与C 交点的极坐标为 ． 1 2 15．（2008•广东）已知PA是圆O的切线，切点为A，PA=2．AC是圆O的直径，PC与圆O交 于点B，PB=1，则圆O的半径R= ． 三、解答题（共6小题，满分80分） 16．（13分）（2008•广东）已知函数f（x）=Asin（x+φ）（A＞0，0＜φ＜π），x∈R的最 大值是1，其图象经过点 ． （1）求f（x）的解析式； （2）已知 ，且 ， ，求f（α﹣β）的值． 17．（12分）（2008•广东）某单位用2160万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至 少10层、每层2000平方米的楼房．经测算，如果将楼房建为x（x≥10）层，则每平方米的平 第3页 | 共13页均建筑费用为560+48x（单位：元）．为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房 应建为多少层？ （注：平均综合费用=平均建筑费用+平均购地费用，平均购地费用= ） 18．（14分）（2008•广东）如图所示，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是半径为R的圆的内 接四边形，其中BD是圆的直径，∠ABD=60°，∠BDC=45°，△ADP～△BAD． （1）求线段PD的长； （2）若 ，求三棱锥P﹣ABC的体积． 19．（13分）（2008•广东）某中学共有学生2000人，各年级男，女生人数如下表： 一年级 二年级 三年级 女生 373 x y 男生 377 370 z 已知在全校学生中随机抽取1名，抽到高二年级女生的概率是0.19． （1）现用分层抽样的方法在全校抽取48名学生，问应在高三年级抽取多少名？ （2）已知y≥245，z≥245，求高三年级中女生比男生多的概率． 20．（14分）（2008•广东）设b＞0，椭圆方程为 ，抛物线方程为x2=8（y﹣b ）．如图所示，过点F（0，b+2）作x轴的平行线，与抛物线在第一象限的交点为G，已知 抛物线在点G的切线经过椭圆的右焦点F ． 1 （1）求满足条件的椭圆方程和抛物线方程； （2）设A，B分别是椭圆长轴的左、右端点，试探究在抛物线上是否存在点P，使得△ABP 为直角三角形？若存在，请指出共有几个这样的点？并说明理由（不必具体求出这些点的 坐标）． 第4页 | 共13页21．（14分）（2008•广东）设数列{a }满足a =1，a =2，a = （a +2a ）（n=3，4， n 1 2 n n﹣1 n﹣2 …）．数列{b }满足b =1，b （n=2，3，…）是非零整数，且对任意的正整数m和自然数k n 1 n ，都有﹣1≤b +b +…+b ≤1． m m+1 m+k （1）求数列{a }和{b }的通项公式； n n （2）记c =na b （n=1，2，…），求数列{c }的前n项和S ． n n n n n 1．已知0-3 B．a<-3 C．a>- D．a<- 3 3 【解析】 f '(x)3aeax，若函数在xÎR上有大于零的极值点，即 f '(x)3aeax 0 1 3 有正根。当有 f '(x)3aeax 0成立时,显然有a<0,此时x ln(- )，由x>0我 a a 们马上就能得到参数a的范围为a < -3 . 8．在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线 uuur uuur uuur 与CD交于点F ．若AC a，BDb，则AF （ B ） 1 1 2 1 1 1 1 2 A． a b B． a b C． a b D． a b 4 2 3 3 2 4 3 3 【解析】此题属于中档题.解题关键是利用平面几何知识得出DF:FC 1:2,然后利用向量 的加减法则易得答案B. 二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． （一）必做题（9~12题） 9．阅读图3的程序框图，若输入m4，n6，则输出a ，i  （注：框图中的赋值符号“”也可以写成“¬”或“:”） 开始 【解析】要结束程序的运算，就必须通过n整除a的条件运算， 而同时m也整除a，那么a的最小值应为m和n的最小公倍 输入m，n 数12，即此时有i 3。 10．已知(1kx2)6（k是正整数）的展开式中，x8的系数小于120， i 1 则k  ． ami 第6页 | 共13页 i i1 n整除a? 否 是 输出a，i 结束 图3【解析】(1kx2)6按二项式定理展开的通项为T Cr(kx2)r Crkrx2r， r1 6 6 我们知道x8的系数为C4k4 15k4，即15k4 <120，也即k4 <8， 6 而k是正整数，故k只能取1。 11．经过圆x2 2x y2 0的圆心C，且与直线x y 0垂直的直线 方程是 ． 【解析】易知点C为(-1,0)，而直线与x y 0垂直，我们设待求的 直线的方程为y  xb，将点C的坐标代入马上就能求出参数b的 值为b1，故待求的直线的方程为x- y10。 12．已知函数 f(x)(sinx-cosx)sinx，xÎR，则 f(x)的最小正周期是 ． 1-cos2x 1 【解析】 f(x)sin2 x-sinxcosx - sin2x,此时可得函数的最小正周期 2 2 2p T  p。 2 二、选做题（13—15题，考生只能从中选做两题） 13．（坐标系与参数方程选做题）已知曲线C，C 的极坐标方程分别为rcosq3， 1 2 æ πö r4cosq ç r≥0，0≤q< ÷，则曲线C 与C 交点的极坐标为 ． è 2ø 1 2 ìr2 3 ìrcosq3 p ï 【解析】我们通过联立解方程组í (r³0,0£q< )解得í p ,即两曲线的交 îr4cosq 2 ïq î 6 p 点为(2 3, )。 6 1 14．（不等式选讲选做题）已知aÎR，若关于x的方程x2 x a-  a 0有实根， 4 则a的取值范围是 ． 1 1 【解析】方程即 a-  a -x2 -xÎ[0, ],利用绝对值的几何意义(或零点分段法进行 4 4 é 1ù 求解)可得实数a的取值范围为 0, ê ú ë 4û 15．（几何证明选讲选做题）已知PA是圆O的切线，切点为A，PA2．AC是圆O 的直径，PC与圆O交于点B，PB1，则圆O的半径R ． 第7页 | 共13页PA PB 【解析】依题意，我们知道DPBA DPAC,由相似三角形的性质我们有  ,即 : 2R AB PA AB 2 22 -12 R ·   3。 2PB 21 三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分13分） 已知函数 f(x) Asin(xj)(A>0，00，椭圆方程为  1，抛物线方程为x2 8(y-b)．如图4所示，过点 2b2 b2 F(0，b2)作x轴的平行线，与抛物线在第一象限的交点为G，已知抛物线在点G的切 线经过椭圆的右焦点F ． 1 （1）求满足条件的椭圆方程和抛物线方程； （2）设A，B分别是椭圆长轴的左、右端点，试探究在抛物线上是否存在点P，使得 △ABP为直角三角形？若存在，请指出共有几个这样的点？并说明理由（不必具体求出 这些点的坐标）． y 1 【解析】（1）由x2 8(y-b)得y  x2 b， F 8 G 1 当y b2得x±4，G点的坐标为(4,b2)，y' x，y'| 1， F 1 x 4 x4 A O B 过点G的切线方程为y-(b2) x-4即y  xb-2， 图4 令y 0得x2-b，F点的坐标为(2-b,0)，由椭圆方程得F 点的坐标为(b,0)， 1 1 x2 2-bb即b1，即椭圆和抛物线的方程分别为  y2 1和x2 8(y-1)； 2 （2） 过A作x轴的垂线与抛物线只有一个交点P,以ÐPAB为直角的RtDABP只 Q 有一个， 同理 以ÐPBA为直角的RtDABP只有一个。 1 若以ÐAPB为直角，设P点坐标为(x, x2 1)，A、B两点的坐标分别为(- 2,0) 8 和( 2,0)， 第9页 | 共13页uuur uuur 1 1 5 PA PB x2 -2( x2 1)2  x4  x2 -10。 g 8 64 4 关于x2的二次方程有一大于零的解，x有两解，即以ÐAPB为直角的RtDABP有两 个， 因此抛物线上存在四个点使得DABP为直角三角形。 19．（本小题满分14分） ì 1 ï ，x<1 设kÎR，函数 f(x)í1-x ，F(x) f(x)-kx，xÎR，试讨论函数 ï î- x-1，x≥1 F(x)的单调性． ì 1 ì 1 -k, x<1, ï ï -kx, x<1, ï(1-x)2 【解析】F(x) f(x)-kxí1-x F'(x)í 1 ï ï î- x-1-kx, x³1, - -k, x³1, ï î 2 x-1 1 对于F(x) -kx(x<1)， 1-x 当k £0时，函数F(x)在(-¥,1)上是增函数； 1 1 当k >0时，函数F(x)在(-¥,1- )上是减函数，在(1- ,1)上是增函数； k k 1 对于F(x)- -k(x³1)， 2 x-1 当k ³0时，函数F(x)在1,¥上是减函数； é 1 ö é 1 ö 当k <0时，函数F(x)在 ê 1,1 ÷上是减函数，在 ê 1 ,¥ ÷上是增函数。 ë 4k2 ø ë 4k2 ø 20．（本小题满分14分） 如图5所示，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是半径为R的圆的内接四边形，其中 BD是圆的直径，ÐABD60o，ÐBDC 45o，PD垂直底面ABCD，PD2 2R， P PE DF E，F分别是PB，CD上的点，且  ，过点E作BC的平行线交PC于G． EB FC E G （1）求BD与平面ABP所成角q的正弦值；（2）证明：△EFG是直角三角形； PE 1 （3）当  时，求△EFG的面积． A D EB 2 F B C 图5 【解析】（1）在RtDBAD中， ÐABD60o，AB R,AD 3R Q 第10页 | 共13页而PD垂直底面ABCD，PA PD2  AD2  (2 2R)2 ( 3R)2  11R PB PD2 BD2  (2 2R)2 (2R)2 2 3R, 在DPAB中，PA2  AB2  PB2,即DPAB为以ÐPAB为直角的直角三角形。 设点D到面PAB的距离为H ,由V V 有PA AB H  AB AD PD,即 P-ABD D-PAB g g g g AD PD 3R 2 2R 2 66 H 66 g g H    R sinq  ; PA 11R 11 BD 11 PE PG PE DF PG DF (2)EG//BC,  ,而  ,即  ,GF //PD,GF ^ BC EB GC EB FC GC DC ， GF ^ EG,DEFG是直角三角形； PE 1 EG PE 1 GF CF 2 （3）  时   ,   , EB 2 BC PB 3 PD CD 3 1 1 2 2 2 4 2 即EG  BC  2Rcos45° R,GF  PD 2 2R R, 3 3 3 3 3 3 1 1 2 4 2 4 DEFG的面积S  EG GF   R R R2 DEFG 2 g 2 3 3 9 21．（本小题满分12分） 设 p，q为实数，a，b是方程x2 - pxq0的两个实根，数列{x }满足x  p， n 1 x  p2 -q，x  px -qx （n3，4，…）．（1）证明：ab p，abq；（2 2 n n-1 n-2 ）求数列{x }的通项公式； n 1 （3）若 p1，q ，求{x }的前n项和S ． 4 n n p- p2 -4q p p2 -4q 【解析】（1）由求根公式，不妨设a