2008年高考数学试卷（理）（上海）（解析卷）_数学历年高考真题_新·PDF版2008-2025·高考数学真题_数学（按年份分类）2008-2025_2008·高考数学真题

绝密★启用前
2008年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）
数学试卷（理工农医类）
（满分150分，考试时间120分钟）
考生注意
1.本场考试时间120分钟，试卷共4页，满分150分，答题纸共2页.
2.作答前，在答题纸正面填写姓名、准考证号，反面填写姓名，将核对后的条形码贴在答
题纸指定位置.
3.所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区域，不得错位.在试卷上作答
一律不得分.
4.用2B铅笔作答选择题，用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题.
一. 填空题（本大题满分44分）本大题共有11题，只要求直接
得 分 评 卷 人
填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．
1．不等式 x1 1的解集是 .
2．若集合A  x x2  、B  x xa  满足A B2，则实数a=_____________.

3．若复数z满足zi(2z)（i是虚数单位），则z=_____________.
4．若函数 f(x)的反函数为 f 1(x)x2（x0），则 f(4) .
5．若向量a 、b  满足 a  1， b  2，且a 与b  的夹角为 π ，则 a  b  =__________.
3
π 
6．函数 f(x) 3sinxsin  x的最大值是 .
2 
7．在平面直角坐标系中，从六个点：A(0,0)、B(2,0)、C(1,1)、D(0,2)、E(2,2)、
F(3,3)中任取三个，这三点能构成三角形的概率是 (结果用分数表示).
8．设函数 f(x)是定义在R上的奇函数. 若当x(0,)时， f(x)lgx，则满足
f(x)0的x的取值范围是 .
9．已知总体的各个体的值由小到大依次为2，3，3，7，a，b，12，13.7，18.3，20，且
总体的中位数为10.5. 若要使该总体的方差最小，则a、b的取值分别是
第1页 | 共19页.
10．某海域内有一孤岛. 岛四周的海平面（视为平面）上有一浅水区（含边界），其边界
是长轴长为2a、短轴长为2b的椭圆. 已知岛上甲、乙导航灯的海拔高度分别为h、
1
h ，且两个导航灯在海平面上的投影恰好落在椭圆的两个焦点上. 现有船只经过该海
2
域（船只的大小忽略不计），在船上测得甲、乙导航灯的仰角分别为、 ，那么
1 2
船只已进入该浅水区的判别条件是 .
1
11．方程x2  2x1 0的解可视为函数yx 2 的图像与函数y 的图像交点的
x
横坐标.若方程x4 ax40的各个实根x ,x , ,x (k 4)所对应的点 ( x , 4 )
1 2  k i x
i
（i=1,2, ,k ）均在直线yx的同侧，则实数a的取值范围是 .

二. 选择题（本大题满分16分）本大题共有4 题，每题都给出
得 分 评 卷 人 代号为A、B、C、D的四个结论，其中有且只有一个结论
是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，
选对得4分，不选、选错或者选出的代号超过一个（不论
是否都写在圆括号内），一律得零分．
12. 组合数Cr (nr1, n、rZ)恒等于 [答] ( )
n
r 1 n
(A) Cr1. (B) (n1)(r 1)Cr1. (C) nrCr1. (D) Cr1.
n1 n1 n1 n1 r n1
13. 给定空间中的直线l及平面. 条件“直线l与平面内无数条直线都垂直”是“直
线l与平面垂直”的 [答] ( )
(A) 充要条件. (B) 充分非必要条件.
(C) 必要非充分条件. (D) 既非充分又非必要条件.
3
14.
若数列a 是首项为1，公比为a 的无穷等比数列，且a 各项的和为a，则a
n 2 n
的值是 [答] ( )
1 5
(A) 1. (B) 2. (C) . (D) .
2 4
15. 如图，在平面直角坐标系中，是一个与x轴的正半轴、y轴的正半轴分别相切于点
C 、D的定圆所围成的区域（含边界），A、B、C、D是该
圆的四等分点. 若点P(x, y)、点Px, y满足xx且y y，
则称P优于P. 如果中的点Q满足：不存在中的其它点优
第2页 | 共19页于Q，那么所有这样的点Q组成的集合是劣弧 [答] ( )
AB BC CD DA
(A) . (B) . (C) . (D) .
三. 解答题（本大题满分90分）本大题共有6题，解答下列各题必须写出必要的步骤．
得 分 评 卷 人 16.（本题满分12分）
如图，在棱长为 2 的正方体ABCD A B C D 中，E是BC 的中点. 求直线DE与平面
1 1 1 1 1
ABCD所成角的大小（结果用反三角函数值表示）.
[解]
第3页 | 共19页得 分 评 卷 人 17.（本题满分13分）
如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为120的扇形AOB. 小区的两个出入口设置在点
A及点C 处，且小区里有一条平行于BO的小路CD.
已知某人从C 沿CD走到D用了10分钟，从D沿DA走到A用了6分钟.
若此人步行的速度为每分钟50米，求该扇形的半径OA的长（
精确到1米）.
[解]
第4页 | 共19页得 分 评 卷 人
18.（本题满分15分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第
2小题满分9分．
x2
已知双曲线C:  y2 1，P是C 上的任意点.
4
（1）求证：点P到双曲线C 的两条渐近线的距离的乘积是一个常数；
（2）设点A的坐标为(3,0)，求|PA|的最小值.
[证明]（1）
[解]（2）
第5页 | 共19页19.（本题满分16分）本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2
得 分 评 卷 人
小题满分8分．
1
已知函数 f(x)2x  .
2|x|
（1）若 f(x)2，求x的值；
（2）若2tf(2t)mf(t)0对于t[1,2]恒成立，求实数m的取值范围.
[解]（1）
（2）
第6页 | 共19页得 分 评 卷 人 20.（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2
小题满分5分，第3小题满分8分．
设P(a, b) (b0)是平面直角坐标系xOy中的点，l是经过原点与点(1, b)的直线.记Q是
直线l与抛物线x2 2py (p0)的异于原点的交点.
（1）已知a1, b2, p2. 求点Q的坐标；
x2 1
（2）已知点P(a, b) (ab0)在椭圆  y2 1上， p . 求证：点Q落在双曲线
4 2ab
4x2 4y2 1上；
1
（3）已知动点P(a, b) 满足ab0， p .
2ab
若点Q始终落在一条关于x轴对称的抛物线上，试问动点P的轨迹落在哪种二次曲线上，
并说明理由.
[解]（1）
[证明]（2）
第7页 | 共19页[解]（3）
第8页 | 共19页得 分 评 卷 人 21.（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第
2小题满分7分，第3小题满分8分．
a c, a 3,
 n n
已知以a 为首项的数列a 满足：a a
1 n n1 n , a 3.
  d n
（1）当a 1，c1, d 3时，求数列a 的通项公式；
1 n
（2）当0a 1，c1, d 3时，试用a 表示数列a 前100项的和S ；
1 1 n 100
1 1 1
（3）当0a  （m是正整数），c ，正整数d 3m时，求证：数列a  ,
1 m m 2 m
1 1 1
a  ，a  ，a  成等比数列当且仅当d 3m.
3m2 m 6m2 m 9m2 m
[解]（1）
第9页 | 共19页（2）
[证明]（3）
第10页 | 共19页200 8 年全国普通高等学校招生统一考试
上海数学试卷(理工农医类)答案要点及评分标准
说明
1.本解答列出试题的一种或几种解法，如果考生的解法与所列解法不同，可参照解答
中评分标准的精神进行评分．
2.评阅试卷，应坚持每题评阅到底，不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的
评阅，当考生的解答在某一步出现错误，影响了后继部分，但该步以后的解答未改变这一
题的内容和难度时，可视影响程度决定后面部分的给分，这时原则上不应超过后面部分应
给分数之半，如果有较严重的概念性错误，就不给分．
解答
一、（第1题至第11题）
1. (0,2). 2. 2. 3. 1 i. 4. 2. 5. 7 .
3
6. 2. 7. . 8. (1,0) (1,). 9. a10.5, b10.5.

4
10. h cot h cot 2a. 11. (, 6) (6, ).
1 1 2 2 
二、（第12题至第15题）
题 号 12 13 14 15
代 号 D C B D
三、（第16题至第21题）
16．[解] 过E 作EF BC，交BC于F ，连接DF .
EF 平面ABCD，

 EDF是直线DE与平面ABCD所成的角. …… 4分
1
由题意，得EF  CC 1.
2 1
1
CF  CB1,  DF  5. …… 8分

2
EF 5
EF DF ，  tanEDF   . …… 10分

DF 5
5
故直线DE与平面ABCD所成角的大小是arctan . …… 12分
5
17. [解法一] 设该扇形的半径为r米. 连接CO. …… 2分
由题意，得
CD=500（米），DA=300（米），CDO60. …… 4分
第11页 | 共19页在△CDO中，CD2 OD2 2CDODcos60OC2， …… 6分
1
即5002 (r 300)2 2500(r 300) r2， …… 9分
2
4900
解得r  445（米）.
11
答：该扇形的半径OA的长约为445米. …… 13分
[解法二] 连接AC，作OH  AC，交AC于H . …… 2分
由题意，得CD=500（米），AD=300（米），CDA120. …… 4分
在△ACD中，AC2 CD2  AD2 2CDADcos120
1
5002 3002 2500300 7002，
2
 AC 700（米）， …… 6分
AC2  AD2 CD2 11
cosCAD  . …… 9分
2ACAD 14
11
在直角△HAO中，AH 350（米），cosHAO ，
14
AH 4900
 OA  445（米）.
cosHAO 11
答：该扇形的半径OA的长约为445米. …… 13分
18. [解] （1）设Px , y 是双曲线上任意一点，
1 1
该双曲线的两条渐近线方程分别是x2y0和x2y0. …… 2分
x 2y x 2y
点Px , y 到两条渐近线的距离分别是 1 1 和 1 1 ， …… 4分
1 1
5 5
它们的乘积是 x 1 2y 1  x 1 2y 1  x 1 2 4y 1 2  4 .
5 5 5 5
 点P到双曲线C 的两条渐近线的距离的乘积是一个常数. …… 6分
（2）设P的坐标为(x, y)，则
|PA|2(x3)2  y2 …… 8分
x2
(x3)2  1
4
2
5 12 4
  x   . …… 11分
4 5  5
第12页 | 共19页|x|2， …… 13分

12 4
 当x 时，|PA|2的最小值为 ，
5 5
2 5
即|PA|的最小值为 . …… 15分
5
1
19. [解] （1）当x0时， f(x)0；当x0时， f(x)2x  . …… 2分
2x
1
由条件可知 2x  2，即 22x 22x 10，
2x
解得 2x 1 2 . …… 6分
 
2x 0， xlog 1 2 . …… 8分
 2
 1   1 
（2）当t[1,2]时，2t 22t  m 2t  0， …… 10分
 22t   2t 
   
即 m 22t 1  24t 1 .
 
22t 10，  m 22t 1 . …… 13分

 
t[1, 2],   122t [17,5]，

故m的取值范围是[5, ). …… 16分
20. [解]（1）当a1, b2, p2时，
x2 4y, x8,
解方程组 得 
y2x, y16,
即点Q的坐标为8,16 . …… 3分
 1
 1 x ,
x2  y,  a
[证明]（2）由方程组 ab 得 
b
 ybx, y ,
 a
 1 b 
即点Q的坐标为 , . …… 5分
 a a 
a2
P是椭圆上的点，即 b2 1，

4
2 2
 1   b  4  
 4  4   1b2 1.
 a   a  a2
第13页 | 共19页因此点Q落在双曲线4x2 4y2 1上. …… 8分
（3）设Q所在抛物线的方程为 y2 2q(xc)，q0. …… 10分
 1 b  b2  1 
将Q  , 代入方程，得 2q c ，即b2 2qa2qca2. …… 12分
 a a  a2  a 
当qc0时，b2 2qa，此时点P的轨迹落在抛物线上；
2
1  1  1
当qc 时， a  b2  ，此时点P的轨迹落在圆上；
2  2c 4c2
2
 1 
 a 
1  2c b2
当qc0且qc 时，  1，此时点P的轨迹落在椭圆上；
2 1 q
4c2 2c
2
 1 
 a 
 2c b2
当qc0时，  1，此时点P的轨迹落在双曲线上.
1  q 
  
4c2  2c
…… 16分
1, n3k 2,
  
21. [解]（1）由题意得a
n
2, n3k 1, kZ . …… 3分

3, n3k,

（2）当0a 1时，
1
a a a
a a 1，a a 2，a a 3，a  1 1，a  1 2，a  1 3，…，
2 1 3 1 4 1 5 3 6 3 7 3
a a a
a  1 1，a  1 2，a  1 3 ，… …… 6分
3k1 3k1 3k 3k1 3k1 3k1
 S a a a a a a a  a a a 
100 1 2 3 4 5 6 7  98 99 100
 a   a 
a 3a 6a 6 1 6  1 6
1 1 1  3    331 
 1 1 
a a 31   633
1 1  3  331
1 1 
 11 a 198. …… 10分
2 331 1
第14页 | 共19页1
（3）当d 3m时，a a  ；
2 1 m
3m1 1 a 1
a a  a  33a 3a ， a  1  ；
 3m 1 m 1 m 1 3m1 3m2 3m m
a 1 a a 1
a  1  33 1 3a ， a  1  ；
 6m 3m m 3m 6m1 6m2 9m2 m
a 1 a a 1
a  1  33 1 3a ， a  1  .
 9m 9m2 m 9m2 9m1 9m2 27m3 m
1 1 a 1 a 1 a
 a  a ，a   1 ，a   1 ，a   1 .
2 m 1 3m2 m 3m 6m2 m 9m2 9m2 m 27m3
1 1 1 1
综上所述，当d 3m时，数列a  ，a  ，a  ，a  是公比为
2 m 3m2 m 6m2 m 9m2 m
1
的等比数列. ……13分
3m
a 3  1 
当d 3m1时， a  1  0, ，
3m2 d  m 
a 3
1 3
a 3  1  d  1 
a  1 33, 3 ，a   0, ，
6m2 d  m  6m3 d  m 
a 3
1 3
d 3m1  1 
a    3 , 3. ……15分
9m2 d m  m 
1 1 1
由于a  0，a  0，a  0，
3m2 m 6m2 m 9m2 m
1 1 1 1
故数列a  ，a  ，a  ，a  不是等比数列.
2 m 3m2 m 6m2 m 9m2 m
1 1 1 1
所以，数列a  ，a  ，a  ，a  成等比数列当且仅当d 3m.
2 m 3m2 m 6m2 m 9m2 m
……18分
1.不等式|x1|1的解集是 .
【答案】(0,2)
【解析】由1 x11Þ0 x2.
2.若集合A＝{x|x≤2}、B＝{x|x≥a}满足A∩B＝{2}，则实数a＝ .
【答案】2
【解析】由A B {2}Þ A,B 只有一个公共元素 2Þa 2.

第15页 | 共19页3.若复数z满足z＝i(2-z)（i是虚数单位），则z＝ .
【答案】1i
2i
【解析】由z i(2z)Þ z  1i.
1i
4.若函数f(x)的反函数为f －1(x)＝x2（x＞0），则f(4)＝ .
【答案】2
【解析】令 f(4)t Þ f 1(t)4Þt2 4(t 0)Þt 2.
        
5.若向量 、 满足| |＝1，| |＝2，且 与 的夹角为 ，则| + |＝ .
a b a b a b
3
a b
【答案】 7
【解析】
v v v v v v v v v v v v v v v v  v v
|ab|2(ab)(ab)a abb2ab|a|2 |b|2 2|a||b|cos 7Þ|ab|7.
g g g g
3

6.函数f(x)＝ 3sin x +sin( +x)的最大值是 .
2
【答案】2

【解析】由 f(x) 3sinxcosx 2sin(x )Þ f(x) 2.
6 max
7.在平面直角坐标系中，从六个点：A(0,0)、B(2,0)、C(1,1)、D(0,2)、E(2,2)、F(3,3)中任取
三个，这三点能构成三角形的概率是 （结果用分数表示）.
3
【答案】
4
【解析】已知A、C、E、F 共线；B、C、D 共线；六个无共线的点生成三角形总数为：
C3C3C3
3
C3；可构成三角形的个数为：C3C3C315，所以所求概率为： 6 4 3  ；
6 6 4 3 C3 4
6
8.设函数f(x)是定义在R上的奇函数，若当x∈(0,+∞)时，f(x)＝lg
x，则满足f(x)＞0的x的取值范围是 .
【答案】(1,0) (1,)

【解析】当 x 0 时， f(x)0Û x 1 ；f(x)0Û 0 x1 ；由f(x)为奇函数得：
当 x0 时， f(x)0Û 1 x0 ；f(x)0Û x1 Þ 结论；
9.已知总体的各个体的值由小到大依次为2,3,3,7,a,b,12，13.7，18.3，20，且总体的中位数
为10.5，若要使该总体的方差最小，则a、b的取值分别是 .
第16页 | 共19页【答案】a10.5,b10.5
【解析】根据总体方差的定义知，只需且必须a10.5,b10.5时，总体方差最小；
10.某海域内有一孤岛，岛四周的海平面（视为平面）上有一浅水区（含边界），其边界是
长轴长为2a，短轴长为2b的椭圆，已知岛上甲、乙导航灯的海拔高度分别为h 、h ，且
1 2
两个导航灯在海平面上的投影恰好落在椭圆的两个焦点上，现有船只经过该海域（船只
的大小忽略不计），在船上测得甲、乙导航灯的仰角分别为￿ 、￿ ，那么船只已进入
1 2
该浅水区的判别条件是 .
【答案】h coth cot 2a
1 1 2 2
【解析】依题意， |MF ||MF |2a
1 2
Þh coth cot 2a；
1 1 2 2
1
11.方程x2+ 2x－1＝0的解可视为函数y＝x+ 2的图像与函数y＝ 的图像交点的横坐标，若x
x
4+ax－4＝0的各个实根x ，x ，…，x (k≤4)所对应的点(x
1 2 k i
4
, )（i＝1,2,…,k）均在直线y＝x的同侧，则实数a的取值范围是
x
i
.
【答案】(,6) (6,)

4
【解析】方程的根显然x 0，原方程等价于x3a ，原方程的实根是曲线
x
4
yx3a与曲线y 的交点的横坐标；而曲线yx3a是由曲线yx3向上或向下
x
平移|a|个单位而得到的。若交点(x
i
4 4
, )（i＝1,2,…,k）均在直线y＝x的同侧，因直线y＝x与y 交点为：(2,2),(2,2)；
x x
i
所以结合图象可得：
a0 a0
 
x3a2 或 x3a2 Þ a(,6)

(6,)；
 
x2 x2
 
12.组合数C r （n＞r≥1，n、r∈Z）恒等于（ ）
n
r+1 r-1 r-1 r-1 n r-1
A． C B．(n+1)(r+1)C C．nr C D． C
n+1
n-1 n-1 n-1
r
n-1
【答案】D
第17页 | 共19页n! n (n1)! n
【解析】由Cr    Cr1.
n r!(nr)! r g (r 1)![(n1)(r 1)]! r n1
13.
给定空间中的直线l及平面，条件“直线l与平面内无数条直线都垂直”是“直线l与平面
垂直”的（ ）条件
A．充要 B．充分非必要 C．必要非充分 D．既非充分又非必要
【答案】C
【解析】直线与平面内的无数条平行直线垂直，但该直线未必与平面垂直，
即充分性不成立；
3
14. 若数列{a }是首项为1，公比为a－ 的无穷等比数列，且{a }各项的和为a，则a的值
n n
2
1 5
是（ ） A．1 B．2 C． D．
2 4
【答案】B
 1
a 
 a  3
S  1  1a
【解析】由 1q Þ  2 Þ a 2.
 
|q|1 3
|a |1
 2
15.如图，在平面直角坐标系中，是一个与x轴的正半轴、y轴的正半轴分别相切于点C、
D的定圆所围成区域（含边界），A、B、C、D是该圆的四等分点，若点P(x,y)、P’(x’,y’)
满足x≤x’
且y≥y’，则称P优于P’，如果中的点Q满足：不存在中的其它点优于Q，那么所有这
样的点Q组成的集合是劣弧（ ）
︵ ︵ ︵ ︵
A． AB B． BC C． CD D． DA
【答案】D
y A
·
【解析】依题意，在点Q组成的集合中任取一点，过
该点分别作平行于两坐标轴的直线，构成的

D · · B
左上方区域（权且称为“第二象限”）与点
Q组成的集合无公共元素，这样点Q组成的
·
集合才为所求. 检验得：D． D ︵ A O C x
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