2008年高考数学试卷（理）（上海）（空白卷）_历年高考真题合集_数学历年高考真题_新·PDF版2008-2025·高考数学真题_数学（按年份分类）2008-2025_2008·高考数学真题

绝密★启用前 2008年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷） 数学试卷（理工农医类） （满分150分，考试时间120分钟） 考生注意 1.本场考试时间120分钟，试卷共4页，满分150分，答题纸共2页. 2.作答前，在答题纸正面填写姓名、准考证号，反面填写姓名，将核对后的条形码贴在答 题纸指定位置. 3.所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区域，不得错位.在试卷上作答 一律不得分. 4.用2B铅笔作答选择题，用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题. 一. 填空题（本大题满分44分）本大题共有11题，只要求直接 得 分 评 卷 人 填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分． 1．不等式 x1 1的解集是 . 2．若集合A  x x2  、B  x xa  满足A B2，则实数a=_____________.  3．若复数z满足zi(2z)（i是虚数单位），则z=_____________. 4．若函数 f(x)的反函数为 f 1(x)x2（x0），则 f(4) . 5．若向量a 、b  满足 a  1， b  2，且a 与b  的夹角为 π ，则 a  b  =__________. 3 π  6．函数 f(x) 3sinxsin  x的最大值是 . 2  7．在平面直角坐标系中，从六个点：A(0,0)、B(2,0)、C(1,1)、D(0,2)、E(2,2)、 F(3,3)中任取三个，这三点能构成三角形的概率是 (结果用分数表示). 8．设函数 f(x)是定义在R上的奇函数. 若当x(0,)时， f(x)lgx，则满足 f(x)0的x的取值范围是 . 9．已知总体的各个体的值由小到大依次为2，3，3，7，a，b，12，13.7，18.3，20，且 总体的中位数为10.5. 若要使该总体的方差最小，则a、b的取值分别是 第1页 | 共11页. 10．某海域内有一孤岛. 岛四周的海平面（视为平面）上有一浅水区（含边界），其边界 是长轴长为2a、短轴长为2b的椭圆. 已知岛上甲、乙导航灯的海拔高度分别为h、 1 h ，且两个导航灯在海平面上的投影恰好落在椭圆的两个焦点上. 现有船只经过该海 2 域（船只的大小忽略不计），在船上测得甲、乙导航灯的仰角分别为、 ，那么 1 2 船只已进入该浅水区的判别条件是 . 1 11．方程x2  2x1 0的解可视为函数yx 2 的图像与函数y 的图像交点的 x 横坐标.若方程x4 ax40的各个实根x ,x , ,x (k 4)所对应的点 ( x , 4 ) 1 2  k i x i （i=1,2, ,k ）均在直线yx的同侧，则实数a的取值范围是 .  二. 选择题（本大题满分16分）本大题共有4 题，每题都给出 得 分 评 卷 人 代号为A、B、C、D的四个结论，其中有且只有一个结论 是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内， 选对得4分，不选、选错或者选出的代号超过一个（不论 是否都写在圆括号内），一律得零分． 12. 组合数Cr (nr1, n、rZ)恒等于 [答] ( ) n r 1 n (A) Cr1. (B) (n1)(r 1)Cr1. (C) nrCr1. (D) Cr1. n1 n1 n1 n1 r n1 13. 给定空间中的直线l及平面. 条件“直线l与平面内无数条直线都垂直”是“直 线l与平面垂直”的 [答] ( ) (A) 充要条件. (B) 充分非必要条件. (C) 必要非充分条件. (D) 既非充分又非必要条件. 3 14. 若数列a 是首项为1，公比为a 的无穷等比数列，且a 各项的和为a，则a n 2 n 的值是 [答] ( ) 1 5 (A) 1. (B) 2. (C) . (D) . 2 4 15. 如图，在平面直角坐标系中，是一个与x轴的正半轴、y轴的正半轴分别相切于点 C 、D的定圆所围成的区域（含边界），A、B、C、D是该 圆的四等分点. 若点P(x, y)、点Px, y满足xx且y y， 则称P优于P. 如果中的点Q满足：不存在中的其它点优 第2页 | 共11页于Q，那么所有这样的点Q组成的集合是劣弧 [答] ( ) AB BC CD DA (A) . (B) . (C) . (D) . 三. 解答题（本大题满分90分）本大题共有6题，解答下列各题必须写出必要的步骤． 得 分 评 卷 人 16.（本题满分12分） 如图，在棱长为 2 的正方体ABCD A B C D 中，E是BC 的中点. 求直线DE与平面 1 1 1 1 1 ABCD所成角的大小（结果用反三角函数值表示）. [解] 第3页 | 共11页得 分 评 卷 人 17.（本题满分13分） 如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为120的扇形AOB. 小区的两个出入口设置在点 A及点C 处，且小区里有一条平行于BO的小路CD. 已知某人从C 沿CD走到D用了10分钟，从D沿DA走到A用了6分钟. 若此人步行的速度为每分钟50米，求该扇形的半径OA的长（ 精确到1米）. [解] 第4页 | 共11页得 分 评 卷 人 18.（本题满分15分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第 2小题满分9分． x2 已知双曲线C:  y2 1，P是C 上的任意点. 4 （1）求证：点P到双曲线C 的两条渐近线的距离的乘积是一个常数； （2）设点A的坐标为(3,0)，求|PA|的最小值. [证明]（1） [解]（2） 第5页 | 共11页19.（本题满分16分）本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2 得 分 评 卷 人 小题满分8分． 1 已知函数 f(x)2x  . 2|x| （1）若 f(x)2，求x的值； （2）若2tf(2t)mf(t)0对于t[1,2]恒成立，求实数m的取值范围. [解]（1） （2） 第6页 | 共11页得 分 评 卷 人 20.（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2 小题满分5分，第3小题满分8分． 设P(a, b) (b0)是平面直角坐标系xOy中的点，l是经过原点与点(1, b)的直线.记Q是 直线l与抛物线x2 2py (p0)的异于原点的交点. （1）已知a1, b2, p2. 求点Q的坐标； x2 1 （2）已知点P(a, b) (ab0)在椭圆  y2 1上， p . 求证：点Q落在双曲线 4 2ab 4x2 4y2 1上； 1 （3）已知动点P(a, b) 满足ab0， p . 2ab 若点Q始终落在一条关于x轴对称的抛物线上，试问动点P的轨迹落在哪种二次曲线上， 并说明理由. [解]（1） [证明]（2） 第7页 | 共11页[解]（3） 第8页 | 共11页得 分 评 卷 人 21.（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第 2小题满分7分，第3小题满分8分． a c, a 3,  n n 已知以a 为首项的数列a 满足：a a 1 n n1 n , a 3.   d n （1）当a 1，c1, d 3时，求数列a 的通项公式； 1 n （2）当0a 1，c1, d 3时，试用a 表示数列a 前100项的和S ； 1 1 n 100 1 1 1 （3）当0a  （m是正整数），c ，正整数d 3m时，求证：数列a  , 1 m m 2 m 1 1 1 a  ，a  ，a  成等比数列当且仅当d 3m. 3m2 m 6m2 m 9m2 m [解]（1） 第9页 | 共11页（2） [证明]（3） 第10页 | 共11页第11页 | 共11页