2008年高考数学试卷（理）（广东）（解析卷）_数学历年高考真题_新·PDF版2008-2025·高考数学真题_数学（按年份分类）2008-2025_2008·高考数学真题

2008年普通高等学校招生全国统一考试
（广东卷）
数学(理科)
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的．
1．已知0<a<2，复数z的实部为a，虚部为1，则 z 的取值范围是（ C ）
A．(1，5) B．(1，3) C．(1，5) D．(1，3)
【解析】 z  a2 1，而0< a < 2，即1< a2 1<5，1< z < 5
1
2．记等差数列{a }的前n项和为S ，若a  ，S 20，则S （ D ）
n n 1 2 4 6
A．16 B．24 C．36 D．48
【解析】S  26d  20，d 3，故S 315d  48
4 6
3．某校共有学生2000名，各年级男、女生人数如表1．已知 一年级 二年级 三年级
在全校 女生 373 x y
学生中随机抽取1名，抽到二年级女生的概率是0.19．现用
男生 377 370 z
分层抽样的方法在全校抽取64名学生，则应在三年级抽取
的学生人数为（ C ）
A．24 B．18 C．16 D．12 表1
【解析】依题意我们知道二年级的女生有380人，那么三年级的学生的人数应该是500，即
总体中各个年级的人数比例为3:3:2，故在分层抽样中应在三年级抽取的学生人数为
2
64 16
8
ì2x y≤40，
ï
ïx2y≤50，
4．若变量x，y满足í 则z 3x2y的最大值是（ C ）
x≥0，
ï
ï îy≥0，
A．90 B．80 C．70 D．40
【解析】画出可行域,利用角点法易得答案C.
5．将正三棱柱截去三个角（如图1所示A，B，C分别是△GHI 三边的中点）得到几何体
如图2，则该几何体按图2所示方向的侧视图（或称左视图）为（ A ）
A A
H G
B C 侧视 B C B B B B
I
E D E D E E E E
F F A． B． C． D
图1 图2 ．
第1页 | 共9页【解析】解题时在图2的右边放扇墙(心中有墙),可得答案A.
6．已知命题 p:所有有理数都是实数，命题q:正数的对数都是负数，则下列命题中为真命
题的是（ D ）
A．(Øp)Úq B． pÙq C．(Øp)Ù(Øq) D．(Øp)Ú(Øq)
【解析】不难判断命题 p为真命题，命题q为假命题，从而上述叙述中只有(Øp)Ú(Øq)
为真命题
7．设aÎR，若函数y eax 3x，xÎR有大于零的极值点，则（ B ）
1 1
A．a>-3 B．a<-3 C．a>- D．a<-
3 3
【解析】 f '(x)3aeax，若函数在xÎR上有大于零的极值点，即 f '(x)3aeax 0
1 3
有正根。当有 f '(x)3aeax 0成立时,显然有a<0,此时x ln(- )，由x>0我
a a
们马上就能得到参数a的范围为a < -3
.
8．在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线
uuur uuur uuur
与CD交于点F ．若AC a，BDb，则AF （ B ）
1 1 2 1 1 1 1 2
A． a b B． a b C． a b D． a b
4 2 3 3 2 4 3 3
【解析】此题属于中档题.解题关键是利用平面几何知识得出DF:FC 1:2,然后利用向量
的加减法则易得答案B.
开始
二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．
（一）必做题（9~12题）
9．阅读图3的程序框图，若输入m4，n6，则输出a ，i  输入m，n
（注：框图中的赋值符号“”也可以写成“¬”或“:”） i 1
【解析】要结束程序的运算，就必须通过n整除a的条件运算，
而同时m也整除a，那么a的最小值应为m和n的最小公倍
ami
数12，即此时有i 3。
i i1
10．已知(1kx2)6（k是正整数）的展开式中，x8的系数小于120，
n整除a?
否
则k  ．
是
【解析】(1kx2)6按二项式定理展开的通项为T Cr(kx2)r Crkrx2r，
输出a，i
r1 6 6
我们知道x8的系数为C4k4 15k4，即15k4 <120，也即k4 <8，
6 结束
而k是正整数，故k只能取1。
图3
11．经过圆x2 2x y2 0的圆心C，且与直线x y 0垂直的直线
第2页 | 共9页方程是 ．
【解析】易知点C为(-1,0)，而直线与x y 0垂直，我们设待求的
直线的方程为y  xb，将点C的坐标代入马上就能求出参数b的
值为b1，故待求的直线的方程为x- y10。
12．已知函数 f(x)(sinx-cosx)sinx，xÎR，则 f(x)的最小正周期是 ．
1-cos2x 1
【解析】 f(x)sin2 x-sinxcosx - sin2x,此时可得函数的最小正周期
2 2
2p
T  p。
2
二、选做题（13—15题，考生只能从中选做两题）
13．（坐标系与参数方程选做题）已知曲线C，C 的极坐标方程分别为rcosq3，
1 2
æ πö
r4cosq ç r≥0，0≤q< ÷，则曲线C 与C 交点的极坐标为 ．
è 2ø 1 2
ìr2 3
ìrcosq3 p ï
【解析】我们通过联立解方程组í (r³0,0£q< )解得í
p
,即两曲线的交
îr4cosq 2 ïq
î 6
p
点为(2 3, )。
6
1
14．（不等式选讲选做题）已知aÎR，若关于x的方程x2 x a-  a 0有实根，
4
则a的取值范围是 ．
1 1
【解析】方程即 a-  a -x2 -xÎ[0, ],利用绝对值的几何意义(或零点分段法进行
4 4
é 1ù
求解)可得实数a的取值范围为 0,
ê ú
ë 4û
15．（几何证明选讲选做题）已知PA是圆O的切线，切点为A，PA2．AC是圆O
的直径，PC与圆O交于点B，PB1，则圆O的半径R ．
【解析】依题意，我们知道DPBA DPAC,
:
PA PB
由相似三角形的性质我们有  ,
2R AB
PA AB 2 22 -12
即R ·   3。
2PB 21
三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明，证明过程或演算步骤．
第3页 | 共9页16．（本小题满分13分）
已知函数 f(x) Asin(xj)(A>0，0<j<π)，xÎR的最大值是1，其图像经过点
æπ 1ö
M ç ， ÷．
è3 2ø
æ πö 3 12
（1）求 f(x)的解析式；（2）已知a，bÎ ç 0， ÷，且 f(a) ， f(b) ，求
è 2ø 5 13
f(a-b)的值．
【解析】（1）依题意有A1，则 f(x)sin(xj)，
p 1 p 1
将点M( , )代入得sin( j) ，
3 2 3 2
p 5 p
而0<j<p， j p，j ，
3 6 2
p
故 f(x)sin(x )cosx；
2
3 12 p
（2）依题意有cosa ,cosb ，而a,bÎ(0, )，
5 13 2
3 4 12 5
sina 1-( )2  ,sinb 1-( )2  ，
5 5 13 13
3 12 4 5 56
f(a-b)cos(a-b)cosacosbsinasinb     。
5 13 5 13 65
17．（本小题满分13分）
随机抽取某厂的某种产品200件，经质检，其中有一等品126件、二等品50件、三等品2
0件、次品4件．已知生产1件一、二、三等品获得的利润分别为6万元、2万元、1万元，而1
件次品亏损2万元．设1件产品的利润（单位：万元）为x．
（1）求x的分布列；（2）求1件产品的平均利润（即x的数学期望）；
（3）经技术革新后，仍有四个等级的产品，但次品率降为1%，一等品率提高为70%．
如果此时要求1件产品的平均利润不小于4.73万元，则三等品率最多是多少？
126
【解析】x的所有可能取值有6，2，1，-2；P(x6) 0.63，
200
50
P(x2) 0.25
200
20 4
P(x1) 0.1，P(x-2) 0.02
200 200
故x的分布列为：
第4页 | 共9页x 6 2 1 -2
P 0.63 0.25 0.1 0.02
（2）Ex60.6320.2510.1(-2)0.024.34
（3）设技术革新后的三等品率为x，则此时1件产品的平均利润为
E(x)60.72(1-0.7-0.01-x)(-2)0.014.76-x(0£ x£0.29)
依题意，E(x)³4.73，即4.76-x³4.73，解得x£0.03 所以三等品率最多为3%
18．（本小题满分14分）
x2 y2
设b>0，椭圆方程为  1，抛物线方程为x2 8(y-b)．如图4所示，过点
2b2 b2
F(0，b2)作x轴的平行线，与抛物线在第一象限的交点为G，已知抛物线在点G的切
线经过椭圆的右焦点F ．
1
（1）求满足条件的椭圆方程和抛物线方程；
（2）设A，B分别是椭圆长轴的左、右端点，试探究在抛物线上是否存在点P，使得
△ABP为直角三角形？若存在，请指出共有几个这样的点？并说明理由（不必具体求出
这些点的坐标）．
1
【解析】（1）由x2 8(y-b)得y  x2 b，
8
当y b2得x±4，
y
1 F
G点的坐标为(4,b2)，y' x，y'| 1，
4 x4 G
F
1 x
过点G的切线方程为y-(b2) x-4即y  xb-2，
A O B
令y 0得x2-b，F点的坐标为(2-b,0)， 图4
1
由椭圆方程得F 点的坐标为(b,0)，
1
x2
2-bb即b1，即椭圆和抛物线的方程分别为  y2 1和x2 8(y-1)；
2
（2） 过A作x轴的垂线与抛物线只有一个交点P,
Q
以ÐPAB为直角的RtDABP只有一个，
同理 以ÐPBA为直角的RtDABP只有一个。
1
若以ÐAPB为直角，设P点坐标为(x, x2 1)，A、B两点的坐标分别为(- 2,0)
8
和( 2,0)，
第5页 | 共9页uuur uuur 1 1 5
PA PB x2 -2( x2 1)2  x4  x2 -10。
g
8 64 4
关于x2的二次方程有一大于零的解，x有两解，即以ÐAPB为直角的RtDABP有两
个，
因此抛物线上存在四个点使得DABP为直角三角形。
19．（本小题满分14分）
ì 1
ï
，x<1
设kÎR，函数 f(x)í1-x ，F(x) f(x)-kx，xÎR，试讨论函数
ï
î- x-1，x≥1
F(x)的单调性．
ì 1
ì 1 -k, x<1,
ï
ï -kx, x<1, ï(1-x)2
【解析】F(x) f(x)-kxí1-x F'(x)í
1
ï ï
î- x-1-kx, x³1, - -k, x³1,
ï î 2 x-1
1
对于F(x) -kx(x<1)，
1-x
当k £0时，函数F(x)在(-¥,1)上是增函数；
1 1
当k >0时，函数F(x)在(-¥,1- )上是减函数，在(1- ,1)上是增函数；
k k
1
对于F(x)- -k(x³1)，
2 x-1
当k ³0时，函数F(x)在1,¥上是减函数；
é 1 ö é 1 ö
当k <0时，函数F(x)在
ê
1,1 ÷上是减函数，在
ê
1 ,¥ ÷上是增函数。
ë 4k2 ø ë 4k2 ø
20．（本小题满分14分）
如图5所示，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是半径为R的圆的内接四边形，其中
BD是圆的直径，ÐABD60o，ÐBDC 45o，PD垂直底面ABCD，PD2 2R，
P
PE DF
E，F分别是PB，CD上的点，且  ，过点E作BC的平行线交PC于G．
EB FC E
G
（1）求BD与平面ABP所成角q的正弦值；
（2）证明：△EFG是直角三角形；
A D
PE 1
（3）当  时，求△EFG的面积． F
EB 2 B
C
图5
第6页 | 共9页【解析】（1）在RtDBAD中， ÐABD60o，AB R,AD 3R
Q
而PD垂直底面ABCD，PA PD2  AD2  (2 2R)2 ( 3R)2  11R
PB PD2 BD2  (2 2R)2 (2R)2 2 3R,
在DPAB中，PA2  AB2  PB2,即DPAB为以ÐPAB为直角的直角三角形。
设点D到面PAB的距离为H ,
由V V 有PA AB H  AB AD PD,
P-ABD D-PAB g g g g
即
AD PD 3R 2 2R 2 66
g g
H    R
PA 11R 11
H 66
sinq  ;
BD 11
PE PG PE DF PG DF
(2)EG//BC,  ,而  ,即  ,GF //PD,
EB GC EB FC GC DC
GF ^ BC，
GF ^ EG,DEFG是直角三角形；
PE 1 EG PE 1 GF CF 2
（3）  时   ,   ,
EB 2 BC PB 3 PD CD 3
1 1 2 2 2 4 2
即EG  BC  2Rcos45° R,GF  PD 2 2R R,
3 3 3 3 3 3
1 1 2 4 2 4
DEFG的面积S  EG GF   R R R2
DEFG 2 g 2 3 3 9
21．（本小题满分12分）
设 p，q为实数，a，b是方程x2 - pxq0的两个实根，数列{x }满足x  p，
n 1
x  p2 -q，x  px -qx （n3，4，…）．
2 n n-1 n-2
（1）证明：ab p，abq；
（2）求数列{x }的通项公式；
n
1
（3）若 p1，q ，求{x }的前n项和S ．
4 n n
p- p2 -4q p p2 -4q
【解析】（1）由求根公式，不妨设a<b，得a ,b
2 2
第7页 | 共9页p- p2 -4q p p2 -4q
ab   p，
2 2
p- p2 -4q p p2 -4q
ab  q
2 2
（2）设x -sx t(x -sx )，则x (st)x -stx ，
n n-1 n-1 n-2 n n-1 n-2
ìst  p
由x  px -qx 得í ，
n n-1 n-2 î st q
消去t，得s2 - psq0，s是方程x2 - pxq0的根，
由题意可知，s a,s b
1 2
ìst  p ìs a ìs b
①当a¹b时，此时方程组í 的解记为í 1 或 í 2
î st q î t b î t a
1 2
x -ax b(x -ax ), x -bx a(x -bx ),
n n-1 n-1 n-2 n n-1 n-1 n-2
即x -t x 、x -t x 分别是公比为s a、s b的等比数列，
n 1 n-1 n 2 n-1 1 2
由等比数列性质可得x -ax (x -ax )bn-2,x -bx (x -bx )an-2,
n n-1 2 1 n n-1 2 1
两式相减，得(b-a)x (x -ax )bn-2 -(x -bx )an-2
n-1 2 1 2 1
x  p2 -q,x  p，x a2 b2 ab，x ab
Q 2 1 2 1
(x -ax )bn-2 b2 bn-2 bn，(x -bx )an-2 a2 an-2 an
2 1 g 2 1 g
(b-a)x bn -an，
n-1
bn -an bn1-an1
即x  ，x 
n-1 b-a n b-a
②当ab时，即方程x2 - pxq0有重根，p2 -4q0，
即(st)2 -4st 0，得(s-t)2 0,s t，不妨设s t a，
由①可知
x -ax (x -ax )bn-2， ab，x -ax (x -ax )an-2 an
n n-1 2 1 Q n n-1 2 1
x x x x
即x ax an，等式两边同时除以an，得 n  n-1 1，即 n - n-1 1
n n-1 an an-1 an an-1
第8页 | 共9页x
数列{ n}是以1为公差的等差数列，
an
x x 2a
 n  1 (n-1)1 n-1n1,x nan an
an a a n
ìbn1-an1
ï ,(a¹b)
综上所述，x í b-a
n
ï
î
nan an,(ab)
1 1 1
（3）把 p1，q 代入x2 - pxq0，得x2 -x 0，解得ab
4 4 2
1 1
x n ( )n ( )n
n g 2 2
æ 1 1 1 1 ö æ 1 1 1 1 ö
S  ( )( )2 ( )3...( )n  ( )2 ( )2 3 ( )3...n ( )n
n ç è 2 2 2 2 ÷ ø ç è 2 g 2 g 2 g 2 ÷ ø
1 æ 1 1 1 1 ö
1-( )n  ( )2 ( )2 3 ( )3 ...n ( )n
ç g g g ÷
2 è 2 2 2 2 ø
1 1 1
1-( )n 2-( )n-1-n( )n
2 2 2
1
3-(n3)( )n
2
第9页 | 共9页