2008年高考数学试卷（理）（江西）（解析卷）_数学历年高考真题_新·PDF版2008-2025·高考数学真题_数学（按年份分类）2008-2025_2008·高考数学真题

准考证号 姓名
（在此卷上答题无效）
绝密★启用前
2008年江西高考理科数学真题及答案
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷l至2页，第Ⅱ卷3至4页，共1
50分．
第Ⅰ卷
考生注意：
1．答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上．考生要认真核对答题
卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一
致．
2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改
动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．第Ⅱ卷用黑色墨水签字笔在答题卡上书写
作答．若在试题卷上作答，答案无效．
3．考试结束，监考员将试题卷、答题卡一并收回．
参考公式：
如果事件A、B互斥，那么 球的表面积公式
P(A＋B)＝P(A)＋P(B) S＝4πR2
如果事件A、B相互独立，那么 其中R表示球的半径
P(A·B)＝P(A)·P(B) 球的体积公式
4
如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么 V＝ πR3
3
n次独立重复试验中恰好发生k次的概率 其中R表示球的半径
P(k)＝CkPk (1一P)nk
n n
一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的．
1．在复平面内，复数z =sin2+icos2对应的点位于
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．定义集合运算：A*B=z|z = xy,xÎA,yÎB．设A=1,2,B=0,2，则集合A*B
的所有元素之和为
A．0 B．2 C．3 D．6
é1 ù 1
3．若函数y = f(x)的值域是 ,3 ，则函数Fx= f x+ 的值域是
ê ú
ë2 û f(x)
1 10 5 10 10
A．[ ，3] B．[2， ] C．[ ， ] D．[3， ]
2 3 2 3 3
第1页 | 共13页x+32
4．lim ＝
x 1
x1
1 1
A． B．0 C．－ D．不存在
2 2
æ 1ö
5．在数列a 中，a =2,a =a +ln ç 1+ ÷，则a ＝
n 1 n+1 n è nø n
A．2+lnn B．2+n1lnn C．2+nlnn D．1+n+lnn
 3
6．函数y =tanx+sinx tanxsinx 在区间( ， )内的图象大致是
2 2
A B C D
7．已知F、F 是椭圆的两个焦点．满足MF ·MF ＝0的点M 总在椭圆内部，则椭圆离心率
1 2 1 2
的取值范围是
1 2 2
A．(0，1) B．(0， ] C．(0， ) D．[ ，1)
2 2 2
1
8．(1＋3 x )6(1＋ )10展开式中的常数项为
4 x
A．1 B．46 C．4245 D．4246
9．若0<a <a ,0<b <b ，且a +a =b +b =1，则下列代数式中值最大的是
1 2 1 2 1 2 1 2
1
A．ab +a b B．aa +bb C．ab +a b D．
1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 2 1 2
10．连结球面上两点的线段称为球的弦．半径为4的球的两条弦AB、CD的长度分别等于2 7 、4
3，M、N分别为AB、CD的中点，每条弦的两端都在球面上运动，有下列四个命题：
①弦AB、CD可能相交于点M ②弦AB、CD可能相交于点N
③MN的最大值为5 ④MN的最小值为l
其中真命题的个数为
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
11．电子钟一天显示的时间是从00∶00到23∶59，每一时刻都由四个数字组成，则一天中任一
第2页 | 共13页时刻显示的四个数字之和为23的概率为
1 1 1 1
A． B． C． D．
180 288 360 480
12．已知函数 f x=2mx2 24mx+1,gx=mx，若对于任一实数x， f x与gx
的值至少有一个为正数，则实数m的取值范围是
A．(0，2) B．(0，8) C．(2，8) D．(－∞，0)
绝密★启用前
第Ⅱ卷
注意事项：
第Ⅱ卷2页，须用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答．若在试题卷上作答，答案无效．
二．填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．请把答案填在答题卡上．
13．直角坐标平面内三点A1,2、B3,2、C9,7，若E、F为线段BC的三等分点，则
AE·AF ＝ ．
x 3 +1 1
14．不等式2 x ≤ 的解集为 ．
2
15．过抛物线x2 =2pyp>0的焦点F作倾斜角为30°的直线，与抛物线分别交于A、B两点(
AF
点A在y轴左侧)，则 ＝ ．
FB
16．如图1，一个正四棱柱形的密闭容器水平放置，其底部镶嵌了同底的正四棱锥形实心装饰块
，容器内盛有a升水时，水面恰好经过正四棱锥的顶点P．如果将容器倒置，水面也恰好
过点P (图2)．有下列四个命题：
A．正四棱锥的高等于正四棱柱高的一半
B．将容器侧面水平放置时，水面也恰好过点P
C．任意摆放该容器，当水面静止时，水面都恰好
经过点P
D．若往容器内再注入a升水，则容器恰好能装满
其中真命题的代号是 ．(写出所有真命题的代号) ．
三．解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分12分）
在△ABC中．a、b、c分别为角A、B、C所对的边长，
A+B C A
a＝2 3，tan ＋tan ＝4，sin B sin C＝cos2 ．求A、B及b、c．
2 2 2
18．（本小题满分12分）
因冰雪灾害，某柑桔基地果林严重受损，为此有关专家提出两种拯救果树的方案，每种方
第3页 | 共13页案都需分两年实施．若实施方案一，预计第一年可以使柑桔产量恢复到灾前的1.0倍、0.9
倍、0.8倍的概率分别是0.3、0.3、0.4；第二年可以使柑桔产量为第一年产量的1.25倍、1
.0倍的概率分别是0.5、0.5．若实施方案二，预计第一年可以使柑桔产量达到灾前的1.2倍
、1.0倍、0.8倍的概率分别是0.2、0.3、0.5；第二年可以使柑桔产量为第一年产量的1.2
倍、1.0倍的概率分别是0.4、0.6．实施每种方案第一年与第二年相互独立，令xi =1,2
i
表示方案i实施两年后柑桔产量达到灾前产量的倍数．
（1）写出ξ、ξ的分布列；
1 2
（2）实施哪种方案，两年后柑桔产量超过灾前产量的概率更大?
（3）不管哪种方案，如果实施两年后柑桔产量达不到、恰好达到、超过灾前产量，预计利
润分别为10万元、15万元、20万元．问实施哪种方案的平均利润更大?
19．（本小题满分12分）
等差数列a 各项均为正整数，a =3，前n项和为S ，等比数列b 中，b =1，且
n 1 n n 1
b S =64，b 是公比为64的等比数列．
2 2 n
（1）求a 与b ；
n n
1 1 1 3
（2）证明： ＋ ＋……＋ ＜ ．
S S S 4
1 2 n
20．（本小题满分12分）
正三棱锥OABC的三条侧棱OA、OB、OC两两垂
直，且长度均为2．E、F分别是AB、AC的中点，
H 是EF 的中点，过EF 的一个平面与侧棱
OA、OB、OC或其延长线分别相交于A、B、C ，
1 1 1
3
已知OA = ．
1 2
（1）证明：BC ^平面OAH ；
1 1
（2）求二面角OAB C 的大小．
1 1 1
第4页 | 共13页21．（本小题满分12分）
设点Px ,y 在直线x=my ¹±m,0<m<1上
0 0
，过点P作双曲线x2  y2 =1的两条切线PA、PB
1
，切点为A、B，定点M ( ，0)．
m
（1）过点A作直线x y =0的垂线，垂足为
N ，试求△AMN 的重心G所在的曲线方程；
（2）求证：A、M、B三点共线．
22．（本小题满分14分）
1 1 ax
已知函数 f x＝ ＋ ＋ ，x∈(0，＋∞)．
1+ x 1+a ax+8
（1）当a=8时，求 f x的单调区间；
（2）对任意正数a，证明：1< f x<2．
参考答案
一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 D D B A A D C D A C C B
1．D.因sin2>0,cos2<0所以z =sin2+icos2对应的点在第四象限，
2．D.因A*B={0,2,4}，
1 1 10
3．B.令t = f(x)，则tÎ[ ,3]，F(x)=t+ Î[2, ]
2 t 3
x+32 ( x+32)( x+3+2)( x +1)
4．A.lim =lim
x1 x 1 x1 ( x 1)( x +1)( x+3+2)
(x1)( x +1)
=lim
x1 (x1)( x+3+2)
1
=
2
第5页 | 共13页1 1 1
5. A. a =a +ln(1+ )，a =a +ln(1+ )，…，a =a +ln(1+ )
2 1 1 3 2 2 n n1 n1
2 3 4 n
Þa =a +ln( )( )( ) ( )=2+lnn
n 1 1 2 3 L n1
ì2tanx, 当tanx<sinx时
6．D. 函数y =tanx+sinx tanxsinx =í
î2sinx, 当tanx³sinx时
1
7． C.由题知,垂足的轨迹为以焦距为直径的圆,则c<bÞc2 <b2 =a2 c2 Þe2 <
2
1
又eÎ(0,1),所以eÎ(0, )
2
8．D. 常数项为1+C3C4 +C6C8 =4246
6 10 6 10
a +a b +b 1
9. A. aa +bb £( 1 2)2 +( 1 2)2 =
1 2 1 2 2 2 2
ab +a b (ab +a b)=(a a )b +(a a )b =(a a )(b b)³0
1 1 2 2 1 2 2 1 1 2 1 1 2 2 2 1 2 1
ab +a b ³(ab +a b)
1 1 2 2 1 2 2 1
1=(a +a )(b +b )=ab +a b +ab +a b £2(ab +a b )
1 2 1 2 1 1 2 2 1 1 2 1 1 2 2 2
1
ab +a b ³
1 1 2 2 2
10．C. 解：①③④正确，②错误。易求得M 、N 到球心O的距离分别为3、2，若两弦交于
N ，则OM ⊥MN ，RtDOMN中，有OM <ON，矛盾。当M 、O、N 共线时分别取最大
值5最小值1。
1
11. C. 一天显示的时间总共有24´60=1440种,和为23总共有4种,故所求概率为 .
360
12．B. 解：当m£0时，显然不成立
b 4m
当m>0时，因 f(0)=1>0当 = ³0即0<m£4时结论显然成立；
2a 2
b 4m
当 = <0时只要D=4(4m)2 8m=4(m8)(m2)<0即可
2a 2
即4<m<8
则0<m<8
二.填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。
1
13.22 14.(¥,3] (0,1] 15. 16. B、D
U
3
uuur uuur
13. 由已知得E(5,1),F(7,4),则AE×AF =(4,1)×(6,2)=22
1 x 3 +1 1 3 x2 +2x3
14．( ) x ³( )1 Þ x +1£1Þ £0
2 2 x x
第6页 | 共13页(x+3)(x1)
£0Þ xÎ(¥,3] (0,1]
U
x
1
15.
3
16． 解：真命题的代号是： BD
。易知所盛水的容积为容器容量的一半，故D正确，于是A错误；水平放置时由容器形状的对称
性知水面经过点P，故B正确；C的错误可由图1中容器位置向右边倾斜一些可推知点P将露出水面
。
三.解答题：本大题共6小题，共74分。
A+B C C C
17.解：由 tan +tan =4得cot +tan =4
2 2 2 2
C C
cos sin
1
2 2
∴ + =4 ∴ =4
C C C C
sin cos sin cos
2 2 2 2
1
∴sinC = ，又CÎ(0,)
2
 5
∴C = ，或C =
6 6
由2sinBcosC =sinA得 2sinBcosB=sin(B+C)
即sin(BC)=0 ∴B=C

B=C =
6
2
A=(B+C)=
3
a b c
由正弦定理 = = 得
sinA sinB sinC
1
sinB
2
b=c=a =2 3´ =2
sinA 3
2
18.解：（1）x的所有取值为0.8、 0.9、 1.0、 1.125、 1.25
1
x的所有取值为0.8、 0.96、 1.0、 1.2、 1.44,
2
x、x的分布列分别为：
1 2
x 0.8 0.9 1.0 1.125 1.25
1
P 0.2 0.15 0.35 0.15 0.15
第7页 | 共13页x 0.8 0.96 1.0 1.2 1.44
2
P 0.3 0.2 0.18 0.24 0.08
（2）令A、B分别表示方案一、方案二两年后柑桔产量超过灾前产量这一事件，
P(A)=0.15+0.15=0.3,
P(B)=0.24+0.08=0.32
可见，方案二两年后柑桔产量超过灾前产量的概率更大
（3）令h表示方案i所带来的效益，则
i
h 10 15 20
1
P 0.35 0.35 0.3
h 10 15 20
2
P 0.5 0.18 0.32
所以Eh =14.75,Eh =14.1
1 2
可见，方案一所带来的平均效益更大。
19．解：（1）设{a }的公差为d ，{b }的公比为q，则d 为正整数，
n n
a =3+(n1)d ，b =qn1
n n
ìb q3+nd
ï a n+1 = =qd =64=26
依题意有í b q3+(n1)d ①
a
n
ï
S b =(6+d)q=64
î
2 2
由(6+d)q=64知q为正有理数，故d 为6的因子1,2,3,6之一，
解①得d =2,q =8
故a =3+2(n1)=2n+1,b =8n1
n n
（2）S =3+5+ +(2n+1)=n(n+2)
n L
1 1 1 1 1 1 1
∴ + + + = + + + +
L L
S S S 1´3 2´4 3´5 n(n+2)
1 2 n
第8页 | 共13页1 1 1 1 1 1 1 1
= (1 +  +  + +  )
L
2 3 2 4 3 5 n n+2
1 1 1 1 3
= (1+   )<
2 2 n+1 n+2 4
20．解 ：（1）证明：依题设，EF 是DABC的中位线，所以EF ∥BC，
则EF ∥平面OBC，所以EF ∥BC 。
1 1 O
又H 是EF 的中点，所以AH ⊥EF ，则AH ⊥BC 。
1 1
因为OA⊥OB，OA⊥OC， A M C
1 F
所以OA⊥面OBC，则OA⊥BC ， H C 1
1 1 A N
E
因此BC ⊥面OAH 。
1 1 B
（2）作ON⊥AB 于N ，连C N 。因为OC ⊥平面OAB ，
1 1 1 1 1 1
B
1
根据三垂线定理知，C N ⊥AB ，
1 1 1
ÐONC 就是二面角OAB C 的平面角。
1 1 1 1
作EM ⊥OB 于M ，则EM ∥OA，则M 是OB的中点，则EM =OM =1。
1
OB OA x 3
设OB = x，由 1 = 1 得， = ，解得x=3，
1 MB EM x1 2
1
3 OA ×OB 3
在RtDOAB 中，AB = OA2 +OB2 = 5，则，ON = 1 1 = 。
1 1 1 1 1 1 2 AB 5
1 1
OC
所以tanÐONC = 1 = 5，故二面角OAB C 为arctan 5。
1 ON 1 1 1
解法二：（1）以直线OA、OC、OB分别为x、y、z轴，建立空间直角坐标系，Oxyz则
1 1
A(2,0,0),B(0,0,2),C(0,2,0),E(1,0,1),F(1,1,0),H(1, , )
2 2
uuur 1 1 uuur 1 1 uuur
所以AH =(1, , ),OH =(1, , ),BC =(0,2,2)
2 2 2 2
uuur uuur uuur uuur
所以AH×BC =0,OH×BC =0
所以BC ^平面OAH
由EF ∥BC得BC ∥BC，故：BC ^平面OAH
1 1 1 1
第9页 | 共13页3
(2)由已知A( ,0,0),设B (0,0,z)
1 2 1
uuur 1 uuur
则AE =( ,0,1),EB =(1,0,z1)
1 2 1
uuur uuur uuur uuur
由AE与EB 共线得:存在lÎR有AE =lEB 得
1 1 1 1
ì 1
ï =l
í 2 Þ z =3\B (0,0,3) x y
1
ï î1=l(z1)
同理:C (0,3,0)
1
uuuur 3 uuuur 3
z
\AB =( ,0,3),AC =( ,3,0)
1 1 2 1 1 2
r
设n =(x ,y ,z )是平面ABC 的一个法向量,
1 1 1 1 1 1 1
ì 3
 x+3z =0
ï
ï 2 ur
则í 令x=2得y = x=1 \n =(2,1,1).
3 1
ï
 x+3y =0
ïî 2
uur
又n =(0,1,0)是平面OAB 的一个法量
2 1 1
ur uur 1 6
\cos<n ,n >= =
1 2 4+1+1 6
6
所以二面角的大小为arccos
6
3 ur
（3）由（2）知，A( ,0,0)，B(0,0,2)，平面ABC 的一个法向量为n =(2,1,1)。
1 2 1 1 1 1
uuur 3
则AB=( ,0,2)。
1 2
uuur ur
AB×n 3+2 6
1 1
则点B到平面ABC 的距离为d = = =
1 1 1 n 6 6
1
21．证明：（1）设A(x ,y ),B(x ,y )，由已知得到y y ¹0，且x2  y2 =1，x2  y2 =1，
1 1 2 2 1 2 1 1 2 2
第10页 | 共13页ìy y =k(xx )
设切线PA的方程为：y y =k(xx )由í 1 1 得
1 1 î x2  y2 =1
y
(1k2)x2 2k(y kx )x(y kx )2 1=0
1 1 1 1 x = m
从而D=4k2(y kx )2 +4(1k2)(y kx )2 +4(1k2)=0,
1 1 1 1
N
x
A
解得k = 1
y
1
O P M x
因此PA的方程为：y y = x x1
1 1
同理PB的方程为：y y = x x1
2 2
B
又P(m,y )在PA、PB上，所以y y =mx 1，
0 1 0 1
y y =mx 1
2 0 2
即点A(x ,y ),B(x ,y )都在直线y y =mx1上
1 1 2 2 0
1
又M( ,0)也在直线y y =mx1上,所以三点A、M、B共线
m 0
（2）垂线AN的方程为：y y =x+x ，
1 1
ìy y =x+x x + y x + y
由í 1 1 得垂足N( 1 1, 1 1)，
î x y =0 2 2
设重心G(x,y)
ì 3
9x3y
ì 1 1 x + y ï m
ï ï x= 3 (x 1 + m + 1 2 1) ï ï x 1 = 4
所以í 解得í
1 x + y 1
ï y = (y +0+ 1 1) ï 9y3x+
ïî 3 1 2 ï m
y =
ï î 1 4
由x2  y2 =1
1 1
1 1 1 2
可得(3x3y )(3x+3y )=2即(x )2  y2 = 为重心G所在曲线方程
m m 3m 9
1+ x 1 1 x
22．解：1、当a=8时， f x= + ，求得 f¢x= ，
1+x 3
2
x1+x3
第11页 | 共13页于是当xÎ(0,1]时， f¢x³0；而当 xÎ[1,+¥)时， f¢x£0．
即 f(x)在(0,1]中单调递增，而在[1,+¥)中单调递减．
1 1 1
（2）.对任意给定的a>0，x>0，由 f(x)= + + ，
1+x 1+a 8
1+
ax
8 1 1 1
若令 b= ，则 abx=8 … ① ，而 f x= + + … ②
ax 1+x 1+a 1+b
1 1 1 1 1 1
（一）、先证 f x>1；因为 > ， > ， > ，
1+x 1+x 1+a 1+a 1+b 1+b
又由 2+a+b+x³2 2a +2 bx ³44 2abx =8 ，得 a+b+x³6．
1 1 1 1 1 1 3+2(a+b+x)+(ab+ax+bx)
所以 f x= + + > + + =
1+x 1+a 1+b 1+x 1+a 1+b (1+x)(1+a)(1+b)
9+(a+b+x)+(ab+ax+bx) 1+(a+b+x)+(ab+ax+bx)+abx
³ = =1．
(1+x)(1+a)(1+b) (1+x)(1+a)(1+b)
（二）、再证 f x<2；由①、②式中关于x,a,b的对称性，不妨设x³a³b．则0<b£2
1
（ⅰ）、当a+b³7，则a³5，所以x³a³5，因为 <1，
1+b
1 1 2 1 1 1
+ £ <1，此时 f x= + + <2．
1+x 1+a 1+5 1+x 1+a 1+b
8 1 ab
（ⅱ）、当a+b<7 …③，由①得 ,x= ， = ，
ab 1+x ab+8
1 b b2 b 1 b
因为 <1 + =[1 ]2 所以 <1 … ④
1+b 1+b 4(1+b)2 2(1+b) 1+b 2(1+b)
1 a 1æ a b ab ö
同理得 <1 … ⑤ ，于是 f x<2 ç + 2 ÷ …
ç ÷
1+a 2(1+a) 2 1+a 1+b ab+8
è ø
⑥
a b ab a b ab
今证明 + >2 … ⑦, 因为 + ³2 ，
1+a 1+b ab+8 1+a 1+b (1+a)(1+b)
第12页 | 共13页ab ab
只要证 > ，即 ab+8>(1+a)(1+b)，也即
(1+a)(1+b) ab+8
a+b<7，据③，此为显然．
因此⑦得证．故由⑥得 f(x)<2．
综上所述，对任何正数a,x，皆有1< f x<2．
第13页 | 共13页