2008年高考数学试卷（理）（上海）（解析卷）_历年高考真题合集_数学历年高考真题_新·PDF版2008-2025·高考数学真题_数学（按年份分类）2008-2025_2008·高考数学真题

绝密★启用前 2008年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷） 数学试卷（理工农医类） （满分150分，考试时间120分钟） 考生注意 1.本场考试时间120分钟，试卷共4页，满分150分，答题纸共2页. 2.作答前，在答题纸正面填写姓名、准考证号，反面填写姓名，将核对后的条形码贴在答 题纸指定位置. 3.所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区域，不得错位.在试卷上作答 一律不得分. 4.用2B铅笔作答选择题，用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题. 一. 填空题（本大题满分44分）本大题共有11题，只要求直接 得 分 评 卷 人 填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分． 1．不等式 x1 1的解集是 . 2．若集合A  x x2  、B  x xa  满足A B2，则实数a=_____________.  3．若复数z满足zi(2z)（i是虚数单位），则z=_____________. 4．若函数 f(x)的反函数为 f 1(x)x2（x0），则 f(4) . 5．若向量a 、b  满足 a  1， b  2，且a 与b  的夹角为 π ，则 a  b  =__________. 3 π  6．函数 f(x) 3sinxsin  x的最大值是 . 2  7．在平面直角坐标系中，从六个点：A(0,0)、B(2,0)、C(1,1)、D(0,2)、E(2,2)、 F(3,3)中任取三个，这三点能构成三角形的概率是 (结果用分数表示). 8．设函数 f(x)是定义在R上的奇函数. 若当x(0,)时， f(x)lgx，则满足 f(x)0的x的取值范围是 . 9．已知总体的各个体的值由小到大依次为2，3，3，7，a，b，12，13.7，18.3，20，且 总体的中位数为10.5. 若要使该总体的方差最小，则a、b的取值分别是 第1页 | 共19页. 10．某海域内有一孤岛. 岛四周的海平面（视为平面）上有一浅水区（含边界），其边界 是长轴长为2a、短轴长为2b的椭圆. 已知岛上甲、乙导航灯的海拔高度分别为h、 1 h ，且两个导航灯在海平面上的投影恰好落在椭圆的两个焦点上. 现有船只经过该海 2 域（船只的大小忽略不计），在船上测得甲、乙导航灯的仰角分别为、 ，那么 1 2 船只已进入该浅水区的判别条件是 . 1 11．方程x2  2x1 0的解可视为函数yx 2 的图像与函数y 的图像交点的 x 横坐标.若方程x4 ax40的各个实根x ,x , ,x (k 4)所对应的点 ( x , 4 ) 1 2  k i x i （i=1,2, ,k ）均在直线yx的同侧，则实数a的取值范围是 .  二. 选择题（本大题满分16分）本大题共有4 题，每题都给出 得 分 评 卷 人 代号为A、B、C、D的四个结论，其中有且只有一个结论 是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内， 选对得4分，不选、选错或者选出的代号超过一个（不论 是否都写在圆括号内），一律得零分． 12. 组合数Cr (nr1, n、rZ)恒等于 [答] ( ) n r 1 n (A) Cr1. (B) (n1)(r 1)Cr1. (C) nrCr1. (D) Cr1. n1 n1 n1 n1 r n1 13. 给定空间中的直线l及平面. 条件“直线l与平面内无数条直线都垂直”是“直 线l与平面垂直”的 [答] ( ) (A) 充要条件. (B) 充分非必要条件. (C) 必要非充分条件. (D) 既非充分又非必要条件. 3 14. 若数列a 是首项为1，公比为a 的无穷等比数列，且a 各项的和为a，则a n 2 n 的值是 [答] ( ) 1 5 (A) 1. (B) 2. (C) . (D) . 2 4 15. 如图，在平面直角坐标系中，是一个与x轴的正半轴、y轴的正半轴分别相切于点 C 、D的定圆所围成的区域（含边界），A、B、C、D是该 圆的四等分点. 若点P(x, y)、点Px, y满足xx且y y， 则称P优于P. 如果中的点Q满足：不存在中的其它点优 第2页 | 共19页于Q，那么所有这样的点Q组成的集合是劣弧 [答] ( ) AB BC CD DA (A) . (B) . (C) . (D) . 三. 解答题（本大题满分90分）本大题共有6题，解答下列各题必须写出必要的步骤． 得 分 评 卷 人 16.（本题满分12分） 如图，在棱长为 2 的正方体ABCD A B C D 中，E是BC 的中点. 求直线DE与平面 1 1 1 1 1 ABCD所成角的大小（结果用反三角函数值表示）. [解] 第3页 | 共19页得 分 评 卷 人 17.（本题满分13分） 如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为120的扇形AOB. 小区的两个出入口设置在点 A及点C 处，且小区里有一条平行于BO的小路CD. 已知某人从C 沿CD走到D用了10分钟，从D沿DA走到A用了6分钟. 若此人步行的速度为每分钟50米，求该扇形的半径OA的长（ 精确到1米）. [解] 第4页 | 共19页得 分 评 卷 人 18.（本题满分15分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第 2小题满分9分． x2 已知双曲线C:  y2 1，P是C 上的任意点. 4 （1）求证：点P到双曲线C 的两条渐近线的距离的乘积是一个常数； （2）设点A的坐标为(3,0)，求|PA|的最小值. [证明]（1） [解]（2） 第5页 | 共19页19.（本题满分16分）本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2 得 分 评 卷 人 小题满分8分． 1 已知函数 f(x)2x  . 2|x| （1）若 f(x)2，求x的值； （2）若2tf(2t)mf(t)0对于t[1,2]恒成立，求实数m的取值范围. [解]（1） （2） 第6页 | 共19页得 分 评 卷 人 20.（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2 小题满分5分，第3小题满分8分． 设P(a, b) (b0)是平面直角坐标系xOy中的点，l是经过原点与点(1, b)的直线.记Q是 直线l与抛物线x2 2py (p0)的异于原点的交点. （1）已知a1, b2, p2. 求点Q的坐标； x2 1 （2）已知点P(a, b) (ab0)在椭圆  y2 1上， p . 求证：点Q落在双曲线 4 2ab 4x2 4y2 1上； 1 （3）已知动点P(a, b) 满足ab0， p . 2ab 若点Q始终落在一条关于x轴对称的抛物线上，试问动点P的轨迹落在哪种二次曲线上， 并说明理由. [解]（1） [证明]（2） 第7页 | 共19页[解]（3） 第8页 | 共19页得 分 评 卷 人 21.（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第 2小题满分7分，第3小题满分8分． a c, a 3,  n n 已知以a 为首项的数列a 满足：a a 1 n n1 n , a 3.   d n （1）当a 1，c1, d 3时，求数列a 的通项公式； 1 n （2）当0a 1，c1, d 3时，试用a 表示数列a 前100项的和S ； 1 1 n 100 1 1 1 （3）当0a  （m是正整数），c ，正整数d 3m时，求证：数列a  , 1 m m 2 m 1 1 1 a  ，a  ，a  成等比数列当且仅当d 3m. 3m2 m 6m2 m 9m2 m [解]（1） 第9页 | 共19页（2） [证明]（3） 第10页 | 共19页200 8 年全国普通高等学校招生统一考试 上海数学试卷(理工农医类)答案要点及评分标准 说明 1.本解答列出试题的一种或几种解法，如果考生的解法与所列解法不同，可参照解答 中评分标准的精神进行评分． 2.评阅试卷，应坚持每题评阅到底，不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的 评阅，当考生的解答在某一步出现错误，影响了后继部分，但该步以后的解答未改变这一 题的内容和难度时，可视影响程度决定后面部分的给分，这时原则上不应超过后面部分应 给分数之半，如果有较严重的概念性错误，就不给分． 解答 一、（第1题至第11题） 1. (0,2). 2. 2. 3. 1 i. 4. 2. 5. 7 . 3 6. 2. 7. . 8. (1,0) (1,). 9. a10.5, b10.5.  4 10. h cot h cot 2a. 11. (, 6) (6, ). 1 1 2 2  二、（第12题至第15题） 题 号 12 13 14 15 代 号 D C B D 三、（第16题至第21题） 16．[解] 过E 作EF BC，交BC于F ，连接DF . EF 平面ABCD，   EDF是直线DE与平面ABCD所成的角. …… 4分 1 由题意，得EF  CC 1. 2 1 1 CF  CB1,  DF  5. …… 8分  2 EF 5 EF DF ，  tanEDF   . …… 10分  DF 5 5 故直线DE与平面ABCD所成角的大小是arctan . …… 12分 5 17. [解法一] 设该扇形的半径为r米. 连接CO. …… 2分 由题意，得 CD=500（米），DA=300（米），CDO60. …… 4分 第11页 | 共19页在△CDO中，CD2 OD2 2CDODcos60OC2， …… 6分 1 即5002 (r 300)2 2500(r 300) r2， …… 9分 2 4900 解得r  445（米）. 11 答：该扇形的半径OA的长约为445米. …… 13分 [解法二] 连接AC，作OH  AC，交AC于H . …… 2分 由题意，得CD=500（米），AD=300（米），CDA120. …… 4分 在△ACD中，AC2 CD2  AD2 2CDADcos120 1 5002 3002 2500300 7002， 2  AC 700（米）， …… 6分 AC2  AD2 CD2 11 cosCAD  . …… 9分 2ACAD 14 11 在直角△HAO中，AH 350（米），cosHAO ， 14 AH 4900  OA  445（米）. cosHAO 11 答：该扇形的半径OA的长约为445米. …… 13分 18. [解] （1）设Px , y 是双曲线上任意一点， 1 1 该双曲线的两条渐近线方程分别是x2y0和x2y0. …… 2分 x 2y x 2y 点Px , y 到两条渐近线的距离分别是 1 1 和 1 1 ， …… 4分 1 1 5 5 它们的乘积是 x 1 2y 1  x 1 2y 1  x 1 2 4y 1 2  4 . 5 5 5 5  点P到双曲线C 的两条渐近线的距离的乘积是一个常数. …… 6分 （2）设P的坐标为(x, y)，则 |PA|2(x3)2  y2 …… 8分 x2 (x3)2  1 4 2 5 12 4   x   . …… 11分 4 5  5 第12页 | 共19页|x|2， …… 13分  12 4  当x 时，|PA|2的最小值为 ， 5 5 2 5 即|PA|的最小值为 . …… 15分 5 1 19. [解] （1）当x0时， f(x)0；当x0时， f(x)2x  . …… 2分 2x 1 由条件可知 2x  2，即 22x 22x 10， 2x 解得 2x 1 2 . …… 6分   2x 0， xlog 1 2 . …… 8分  2  1   1  （2）当t[1,2]时，2t 22t  m 2t  0， …… 10分  22t   2t      即 m 22t 1  24t 1 .   22t 10，  m 22t 1 . …… 13分    t[1, 2],   122t [17,5]，  故m的取值范围是[5, ). …… 16分 20. [解]（1）当a1, b2, p2时， x2 4y, x8, 解方程组 得  y2x, y16, 即点Q的坐标为8,16 . …… 3分  1  1 x , x2  y,  a [证明]（2）由方程组 ab 得  b  ybx, y ,  a  1 b  即点Q的坐标为 , . …… 5分  a a  a2 P是椭圆上的点，即 b2 1，  4 2 2  1   b  4    4  4   1b2 1.  a   a  a2 第13页 | 共19页因此点Q落在双曲线4x2 4y2 1上. …… 8分 （3）设Q所在抛物线的方程为 y2 2q(xc)，q0. …… 10分  1 b  b2  1  将Q  , 代入方程，得 2q c ，即b2 2qa2qca2. …… 12分  a a  a2  a  当qc0时，b2 2qa，此时点P的轨迹落在抛物线上； 2 1  1  1 当qc 时， a  b2  ，此时点P的轨迹落在圆上； 2  2c 4c2 2  1   a  1  2c b2 当qc0且qc 时，  1，此时点P的轨迹落在椭圆上； 2 1 q 4c2 2c 2  1   a   2c b2 当qc0时，  1，此时点P的轨迹落在双曲线上. 1  q     4c2  2c …… 16分 1, n3k 2,    21. [解]（1）由题意得a n 2, n3k 1, kZ . …… 3分  3, n3k,  （2）当0a 1时， 1 a a a a a 1，a a 2，a a 3，a  1 1，a  1 2，a  1 3，…， 2 1 3 1 4 1 5 3 6 3 7 3 a a a a  1 1，a  1 2，a  1 3 ，… …… 6分 3k1 3k1 3k 3k1 3k1 3k1  S a a a a a a a  a a a  100 1 2 3 4 5 6 7  98 99 100  a   a  a 3a 6a 6 1 6  1 6 1 1 1  3    331   1 1  a a 31   633 1 1  3  331 1 1   11 a 198. …… 10分 2 331 1 第14页 | 共19页1 （3）当d 3m时，a a  ； 2 1 m 3m1 1 a 1 a a  a  33a 3a ， a  1  ；  3m 1 m 1 m 1 3m1 3m2 3m m a 1 a a 1 a  1  33 1 3a ， a  1  ；  6m 3m m 3m 6m1 6m2 9m2 m a 1 a a 1 a  1  33 1 3a ， a  1  .  9m 9m2 m 9m2 9m1 9m2 27m3 m 1 1 a 1 a 1 a  a  a ，a   1 ，a   1 ，a   1 . 2 m 1 3m2 m 3m 6m2 m 9m2 9m2 m 27m3 1 1 1 1 综上所述，当d 3m时，数列a  ，a  ，a  ，a  是公比为 2 m 3m2 m 6m2 m 9m2 m 1 的等比数列. ……13分 3m a 3  1  当d 3m1时， a  1  0, ， 3m2 d  m  a 3 1 3 a 3  1  d  1  a  1 33, 3 ，a   0, ， 6m2 d  m  6m3 d  m  a 3 1 3 d 3m1  1  a    3 , 3. ……15分 9m2 d m  m  1 1 1 由于a  0，a  0，a  0， 3m2 m 6m2 m 9m2 m 1 1 1 1 故数列a  ，a  ，a  ，a  不是等比数列. 2 m 3m2 m 6m2 m 9m2 m 1 1 1 1 所以，数列a  ，a  ，a  ，a  成等比数列当且仅当d 3m. 2 m 3m2 m 6m2 m 9m2 m ……18分 1.不等式|x1|1的解集是 . 【答案】(0,2) 【解析】由1 x11Þ0 x2. 2.若集合A＝{x|x≤2}、B＝{x|x≥a}满足A∩B＝{2}，则实数a＝ . 【答案】2 【解析】由A B {2}Þ A,B 只有一个公共元素 2Þa 2.  第15页 | 共19页3.若复数z满足z＝i(2-z)（i是虚数单位），则z＝ . 【答案】1i 2i 【解析】由z i(2z)Þ z  1i. 1i 4.若函数f(x)的反函数为f －1(x)＝x2（x＞0），则f(4)＝ . 【答案】2 【解析】令 f(4)t Þ f 1(t)4Þt2 4(t 0)Þt 2.          5.若向量 、 满足| |＝1，| |＝2，且 与 的夹角为 ，则| + |＝ . a b a b a b 3 a b 【答案】 7 【解析】 v v v v v v v v v v v v v v v v  v v |ab|2(ab)(ab)a abb2ab|a|2 |b|2 2|a||b|cos 7Þ|ab|7. g g g g 3  6.函数f(x)＝ 3sin x +sin( +x)的最大值是 . 2 【答案】2  【解析】由 f(x) 3sinxcosx 2sin(x )Þ f(x) 2. 6 max 7.在平面直角坐标系中，从六个点：A(0,0)、B(2,0)、C(1,1)、D(0,2)、E(2,2)、F(3,3)中任取 三个，这三点能构成三角形的概率是 （结果用分数表示）. 3 【答案】 4 【解析】已知A、C、E、F 共线；B、C、D 共线；六个无共线的点生成三角形总数为： C3C3C3 3 C3；可构成三角形的个数为：C3C3C315，所以所求概率为： 6 4 3  ； 6 6 4 3 C3 4 6 8.设函数f(x)是定义在R上的奇函数，若当x∈(0,+∞)时，f(x)＝lg x，则满足f(x)＞0的x的取值范围是 . 【答案】(1,0) (1,)  【解析】当 x 0 时， f(x)0Û x 1 ；f(x)0Û 0 x1 ；由f(x)为奇函数得： 当 x0 时， f(x)0Û 1 x0 ；f(x)0Û x1 Þ 结论； 9.已知总体的各个体的值由小到大依次为2,3,3,7,a,b,12，13.7，18.3，20，且总体的中位数 为10.5，若要使该总体的方差最小，则a、b的取值分别是 . 第16页 | 共19页【答案】a10.5,b10.5 【解析】根据总体方差的定义知，只需且必须a10.5,b10.5时，总体方差最小； 10.某海域内有一孤岛，岛四周的海平面（视为平面）上有一浅水区（含边界），其边界是 长轴长为2a，短轴长为2b的椭圆，已知岛上甲、乙导航灯的海拔高度分别为h 、h ，且 1 2 两个导航灯在海平面上的投影恰好落在椭圆的两个焦点上，现有船只经过该海域（船只 的大小忽略不计），在船上测得甲、乙导航灯的仰角分别为￿ 、￿ ，那么船只已进入 1 2 该浅水区的判别条件是 . 【答案】h coth cot 2a 1 1 2 2 【解析】依题意， |MF ||MF |2a 1 2 Þh coth cot 2a； 1 1 2 2 1 11.方程x2+ 2x－1＝0的解可视为函数y＝x+ 2的图像与函数y＝ 的图像交点的横坐标，若x x 4+ax－4＝0的各个实根x ，x ，…，x (k≤4)所对应的点(x 1 2 k i 4 , )（i＝1,2,…,k）均在直线y＝x的同侧，则实数a的取值范围是 x i . 【答案】(,6) (6,)  4 【解析】方程的根显然x 0，原方程等价于x3a ，原方程的实根是曲线 x 4 yx3a与曲线y 的交点的横坐标；而曲线yx3a是由曲线yx3向上或向下 x 平移|a|个单位而得到的。若交点(x i 4 4 , )（i＝1,2,…,k）均在直线y＝x的同侧，因直线y＝x与y 交点为：(2,2),(2,2)； x x i 所以结合图象可得： a0 a0   x3a2 或 x3a2 Þ a(,6)  (6,)；   x2 x2   12.组合数C r （n＞r≥1，n、r∈Z）恒等于（ ） n r+1 r-1 r-1 r-1 n r-1 A． C B．(n+1)(r+1)C C．nr C D． C n+1 n-1 n-1 n-1 r n-1 【答案】D 第17页 | 共19页n! n (n1)! n 【解析】由Cr    Cr1. n r!(nr)! r g (r 1)![(n1)(r 1)]! r n1 13. 给定空间中的直线l及平面，条件“直线l与平面内无数条直线都垂直”是“直线l与平面 垂直”的（ ）条件 A．充要 B．充分非必要 C．必要非充分 D．既非充分又非必要 【答案】C 【解析】直线与平面内的无数条平行直线垂直，但该直线未必与平面垂直， 即充分性不成立； 3 14. 若数列{a }是首项为1，公比为a－ 的无穷等比数列，且{a }各项的和为a，则a的值 n n 2 1 5 是（ ） A．1 B．2 C． D． 2 4 【答案】B  1 a   a  3 S  1  1a 【解析】由 1q Þ  2 Þ a 2.   |q|1 3 |a |1  2 15.如图，在平面直角坐标系中，是一个与x轴的正半轴、y轴的正半轴分别相切于点C、 D的定圆所围成区域（含边界），A、B、C、D是该圆的四等分点，若点P(x,y)、P’(x’,y’) 满足x≤x’ 且y≥y’，则称P优于P’，如果中的点Q满足：不存在中的其它点优于Q，那么所有这 样的点Q组成的集合是劣弧（ ） ︵ ︵ ︵ ︵ A． AB B． BC C． CD D． DA 【答案】D y A · 【解析】依题意，在点Q组成的集合中任取一点，过 该点分别作平行于两坐标轴的直线，构成的  D · · B 左上方区域（权且称为“第二象限”）与点 Q组成的集合无公共元素，这样点Q组成的 · 集合才为所求. 检验得：D． D ︵ A O C x 第18页 | 共19页第19页 | 共19页