文档内容
2008 年陕西省高考数学试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）
1．（5分）（2008•陕西）sin330°等于（ ）
A． B． C． D．
【考点】运用诱导公式化简求值．
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【分析】根据330°=360°﹣30°，由诱导公式一可得答案．
【解答】解：∵
故选B．
【点评】本题主要考查根据三角函数的诱导公式进行化简求值的问题．属基础题．对于三角函数的诱导公
式一定要强化记忆．
2．（5分）（2008•四川）已知全集U={1，2，3，4，5}，集合A={1，3}，B={3，4，5}，则集合
∁U
（A∩B）=（ ）
A．{3} B．{4，5} C．{3，4，5} D．{1，2，4，5}
【考点】交、并、补集的混合运算．
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【分析】根据交集的含义求A∩B、再根据补集的含义求解．
【解答】解：A={1，3}，B={3，4，5} A∩B={3}；
所以C （A∩B）={1，2，4，5}，
U
⇒
故选D
【点评】本题考查集合的基本运算，较简单．
3．（5分）（2008•陕西）某林场有树苗30000棵，其中松树苗4000棵．为调查树苗的生长情况，采用分层
抽样的方法抽取一个容量为150的样本，则样本中松树苗的数量为（ ）
A．30 B．25 C．20 D．15
【考点】分层抽样方法．
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【分析】先计算抽取比例，再计算松树苗抽取的棵数即可．
【解答】解：设样本中松树苗的数量为x，则
故选C
【点评】本题考查分层抽样，属基本题．
4．（5分）（2008•陕西）已知{a }是等差数列，a +a =4，a +a =28，则该数列前10项和S 等于（ ）
n 1 2 7 8 10
A．64 B．100 C．110 D．120
【考点】等差数列的前n项和．
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【专题】计算题．
【分析】利用等差数列的通项公式，结合已知条件列出关于a ，d的方程组，求出a 和d，代入等差数列的
1 1
前n项和公式求解即可．
【解答】解：设公差为d，
则由已知得 ，
故选B．
【点评】本题考查了等差数列的通项公式和前n项和公式，熟记公式是解题的关键，同时注意方程思想的应
用．
第1页 | 共12页5．（5分）（2008•陕西）直线 与圆x2+y2﹣2x﹣2=0相切，则实数m等于（ ）
A． 或 B． 或 C． 或 D． 或
【考点】直线与圆的位置关系．
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【分析】圆心到直线的距离等于半径，求解即可．
【解答】解：圆的方程（x﹣1）2+y2=3，圆心（1，0）到直线的距离等于半径
或者
故选C．
【点评】本题考查直线和圆的位置关系，是基础题．
6．（5分）（2008•陕西）“a=1”是“对任意的正数x， ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．
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【分析】把a=1代入 ，不等式成立，当a=2时 也成立，可推出其关系．
【解答】解：a=1 ，显然a=2也能推出，所以“a=1”是“对任意的正
数x， ”的充分不必要条件．
故选A．
【点评】充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件；三者有明显区别，对任意的正数x， 成
立，可得a≥ ，而不仅仅是a=1
7．（5分）（2008•陕西）已知函数f（x）=2x+3，f﹣1（x）是f（x）的反函数，若mn=16（m，n R+），则
f﹣1（m）+f﹣1（n）的值为（ ）
∈
A．10 B．4 C．1 D．﹣2
【考点】反函数．
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【专题】计算题．
【分析】求出函数f（x）=2x+3的反函数f﹣1（x），化简f﹣1（m）+f﹣1（n）的表达式，代入mn=16即可求
值．
【解答】解：f（x）=2x+3 f﹣1（x）=log x﹣3；
2
于是f﹣1（m）+f﹣1（n）=log m﹣3+log n﹣3=log mn﹣6=log 16﹣6=4﹣6=﹣2
2 2 2 2
⇒
故选D．
【点评】本题考查反函数的求法，函数值的求解，是基础题．
8．（5分）（2008•陕西）长方体ABCD﹣A B C D 的各顶点都在半径为1的球面上，其中AB：AD：
1 1 1 1
AA =2：1： ，则两A，B点的球面距离为（ ）
1
第2页 | 共12页A． B． C． D．
【考点】球面距离及相关计算．
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【专题】计算题．
【分析】设出AD，然后通过球的直径求出AD，解出∠AOB，可求A，B两点的球面距离．
【解答】解：设AD=a，则 ⇒球的直径
即 ，在△AOB中， ，AB=2a，
OA2+OB2=AB2 ∠AOB=90°从而A，B点的球面距离为
⇒故选C． ⇒
【点评】本题考查球面距离及其他计算，实际上是球的内接长方体问题，考查学生发现问题解决问题能力，
是基础题．
9．（5分）（2008•陕西）双曲线 （a＞0，b＞0）的左、右焦点分别是F ，F ，过F 作倾斜角为
1 2 1
30°的直线交双曲线右支于M点，若MF 垂直于x轴，则双曲线的离心率为（ ）
2
A． B． C． D．
【考点】双曲线的简单性质．
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【专题】计算题．
【分析】先在Rt△MF
1
F
2
中，利用∠MF
1
F
2
和F
1
F
2
求得MF
1
和MF
2
，进而根据双曲线的定义求得a，最后根
据a和c求得离心率．
【解答】解：如图在Rt△MF
1
F
2
中，∠MF
1
F
2
=30°，F
1
F
2
=2c
∴ ，
∴
∴ ，
故选B．
【点评】本题主要考查了双曲线的简单性质，属基础题．
10．（5分）（2008•陕西）如图，α⊥β，α∩β=l，A α，B β，A、B到l的距离分别是a和b．AB与α、β所
成的角分别是θ和φ，AB在α、β内的射影分别是m和n．若a＞b，则（ ）
∈ ∈
第3页 | 共12页A．θ＞φ，m＞n B．θ＞φ，m＜n C．θ＜φ，m＜n D．θ＜φ，m＞n
【考点】平面与平面垂直的性质；三垂线定理．
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【专题】计算题．
【分析】在图象中作出射影，在直角三角形中利用勾股定理与三角函数的定义建立相关等式，运算即可．
【解答】解：由题意可得 ，
即有 ，
故选D．
【点评】本题考查对直二面角的认识程度，以及正确识图的能力、借且图象进行推理的能力．
11．（5分）（2008•陕西）定义在R上的函数f（x）满足f（x+y）=f（x）+f（y）+2xy（x，y R），f
（1）=2，则f（﹣3）等于
∈
（ ）
A．2 B．3 C．6 D．9
【考点】函数的值．
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【专题】压轴题．
【分析】根据关系式f（x+y）=f（x）+f（y）+2xy，令x=y=0求出f（0），再令x=y=1，求出f（2），同样
的道理求出f（3），最终求出f（﹣3）的值．
【解答】解：令x=y=0 f（0）=0，令x=y=1 f（2）=2f（1）+2=6；
令x=2，y=1 f（3）=f（2）+f（1）+4=12，
⇒ ⇒
再令x=3，y=﹣3得0=f（3﹣3）=f（3）+f（﹣3）﹣18 f（﹣3）=18﹣f（3）=6
⇒
故选C．
⇒
【点评】本题主要考查已知函数的关系式求函数值的问题．这里经常取一些特殊点代入，要注意特殊点的
选取技巧．
12．（5分）（2008•陕西）为提高信息在传输中的抗干扰能力，通常在原信息中按一定规则加入相关数据
组成传输信息．设定原信息为a
0
a
1
a
2
，a
i
{0，1}（i=0，1，2），传输信息为h
0
a
0
a
1
a
2
h
1
，其中h
0
=a 0⊕a
1
，
h
1
=h 0⊕a
2
，⊕运算规则为：0⊕0=0，0⊕1=1，1⊕0=1，1⊕1=0，例如原信息为111，则传输信息为01111．传
∈
输信息在传输过程中受到干扰可能导致接收信息出错，则下列接收信息一定有误的是（ ）
A．11010 B．01100 C．10111 D．00011
【考点】抽象函数及其应用．
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【专题】压轴题．
【分析】首先理解⊕的运算规则，然后各选项依次分析即可．
【解答】解：A选项原信息为101，则h
0
=a 0⊕a
1
=1⊕0=1，h
1
=h 0⊕a
2
=1⊕1=0，所以传输信息为11010，A选项
正确；
第4页 | 共12页B选项原信息为110，则h
0
=a 0⊕a
1
=1⊕1=0，h
1
=h 0⊕a
2
=0⊕0=0，所以传输信息为01100，B选项正确；
C选项原信息为011，则h
0
=a 0⊕a
1
=0⊕1=1，h
1
=h 0⊕a
2
=1⊕1=0，所以传输信息为10110，C选项错误；
D选项原信息为001，则h
0
=a 0⊕a
1
=0⊕0=0，h
1
=h 0⊕a
2
=0⊕1=1，所以传输信息为00011，D选项正确；
故选C．
【点评】本题考查对新规则的阅读理解能力．
二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）
13．（4分）（2008•陕西）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若c= ，b= ，B=120°，则
a= ．
【考点】正弦定理．
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【专题】计算题．
【分析】由正弦定理求得sinC的值，进而求得C，进而求得A推断a=c，答案可得．
【解答】解：由正弦定理 ，
∴
故答案为
【点评】本题主要考查了正弦定理得应用．属基础题．
14．（4分）（2008•陕西） 的展开式中 的系数为
8 4 ．（用数字作答）
【考点】二项式系数的性质．
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【专题】计算题．
【分析】利用二项展开式的通项个数求出第r+1项，令x的指数为﹣2，求出系数．
【解答】解： ，
令7﹣r=2 r=5，
因此展开式⇒中 的系数为（﹣2）7﹣5C 5=84，
7
故答案为84．
【点评】本题考查利用二项展开式的通项个数解决展开式的特定项问题．
15．（4分）（2008•陕西）关于平面向量 ， ， ，有下列三个命题：
①若 • = • ，则 = 、
②若 =（1，k）， =（﹣2，6）， ∥ ，则k=﹣3．
③非零向量 和 满足| |=| |=| ﹣ |，则 与 + 的夹角为60°．
其中真命题的序号为 ② ．（写出所有真命题的序号）
【考点】命题的真假判断与应用．
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【专题】压轴题；数形结合．
【分析】①向量不满足约分运算，但满足分配律，由此我们利用向量的运算性质，可判断平面向量 ， ，
的关系；
②中，由 ∥ ，我们根据两个向量平行，坐标交叉相乘差为0的原则，可以构造一个关于k的方程，解方
程即可求出k值；
③中，若| |=| |=| ﹣ |，我们利用向量加减法的平行四边形法则，可以画出满足条件图象，利用图象易得
到两个向量的夹角；
【解答】解：①若 • = • ，则 •（ ﹣ ）=0，此时 ⊥（ ﹣ ），而不一定 = ，①为假．
②由两向量 ∥ 的充要条件，知1×6﹣k•（﹣2）=0，解得k=﹣3，②为真．
③如图，在△ABC中，设 ， ， ，
第5页 | 共12页由| |=| |=| ﹣ |，可知△ABC为等边三角形．
由平行四边形法则作出向量 + = ，
此时 与 + 成的角为30°．③为假．
综上，只有②是真命题．
答案：②
【点评】本题考查的知识点是向量的运算性质及命题的真假判断与应用，处理的关键是熟练掌握向量的运
算性质，如两个向量垂直，则数量积为0，两个向量平等，坐标交叉相乘差为0等．
16．（4分）（2008•陕西）某地奥运火炬接力传递路线共分6段，传递活动分别由6名火炬手完成．如果第
一棒火炬手只能从甲、乙、丙三人中产生，最后一棒火炬手只能从甲、乙两人中产生，则不同的传递方案
共有 9 6 种．（用数字作答）．
【考点】排列、组合的实际应用．
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【专题】计算题；压轴题．
【分析】根据题意，如果第一棒火炬手只能从甲、乙、丙三人中产生，最后一棒火炬手只能从甲、乙两人
中产生；按第一棒是丙或甲、乙中一人，分为两类，分别计算其情况数目，结合分类计数原理，计算可得
答案．
【解答】解：分两类：第一棒是丙有C 1•C 1•A 4=48，
1 2 4
第一棒是甲、乙中一人有C 1•C 1•A 4=48
2 1 4
因此共有方案48+48=96种；
故答案为96．
【点评】本题考查排列、组合的综合应用，注意优先分析有特殊要求的元素，对于本题，注意分类的标准
前后统一，要做到不重不漏．
三、解答题（共6小题，满分70分）
17．（12分）（2008•陕西）已知函数f（x）=2sin •cos + cos ．
（1）求函数f（x）的最小正周期及最值；
（2）令g（x）=f ，判断函数g（x）的奇偶性，并说明理由．
【考点】三角函数的周期性及其求法；正弦函数的奇偶性；三角函数的最值．
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【专题】计算题．
【分析】利用二倍角公式、两角和的正弦函数化简函数f（x）=2sin •cos + cos ，为y=2sin
，
（1）直接利用周期公式求出周期，求出最值．
（2）求出g（x）=f 的表达式，g（x）=2cos ．然后判断出奇偶性即可．
【解答】解：（1）∵f（x）=sin + cos =2sin ，
∴f（x）的最小正周期T= =4π．
第6页 | 共12页当sin =﹣1时，f（x）取得最小值﹣2；
当sin =1时，f（x）取得最大值2．
（2）g（x）是偶函数．理由如下：
由（1）知f（x）=2sin ，
又g（x）=f ，
∴g（x）=2sin
=2sin =2cos ．
∵g（﹣x）=2cos =2cos =g（x），
∴函数g（x）是偶函数．
【点评】本题是基础题，考查三角函数的化简与求值，考查三角函数的基本性质，常考题型．
18．（12分）（2008•陕西）一个口袋中装有大小相同的2个红球，3个黑球和4个白球，从口袋中一次摸
出一个球，摸出的球不再放回．
（Ⅰ）连续摸球2次，求第一次摸出黑球，第二次摸出白球的概率；
（Ⅱ）如果摸出红球，则停止摸球，求摸球次数不超过3次的概率．
【考点】相互独立事件的概率乘法公式；互斥事件的概率加法公式；古典概型及其概率计算公式．
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【专题】计算题．
【分析】（Ⅰ）本题是一个古典概型，试验发生包含的事件是从袋中依次摸出2个球共有A 2种结果，满足
9
条件的事件是第一次摸出黑球、第二次摸出白球有A 1A 1种结果，或者是题目按照相互独立事件同时发生
3 4
的概率来理解．
（Ⅱ）摸球不超过三次，包括第一次摸到红球，第二次摸到红球，第三次摸到红球，这三个事件是互斥的，
分别写出三个事件的概率，根据互斥事件的概率得到结果．
【解答】解：（Ⅰ）由题意知，本题是一个古典概型，
试验发生包含的事件是从袋中依次摸出2个球共有A 2种结果，
9
满足条件的事件是第一次摸出黑球、第二次摸出白球有A 1A 1种结果，
3 4
∴所求概率
（Ⅱ）摸球不超过三次，包括第一次摸到红球，
第二次摸到红球，第三次摸到红球，
这三个事件是互斥的
第一次摸出红球的概率为 ，
第二次摸出红球的概率为 ，
第三次摸出红球的概率为 ，
第7页 | 共12页则摸球次数不超过3次的概率为 ．
【点评】本题考查互斥事件的概率，考查相互独立事件同时发生的概率，考查古典概型，是一个综合题，
解题时关键在于理解题意，同一个题目可以有不同的解法．
19．（12分）（2008•陕西）三棱锥被平行于底面ABC的平面所截得的几何体如图所示，截面为A B C ，
1 1 1
∠BAC=90°，A
1
A⊥平面ABC， ， ，AC=2，A
1
C
1
=1， ．
（Ⅰ）证明：平面A
1
AD⊥平面BCC
1
B
1
；
（Ⅱ）求二面角A﹣CC ﹣B的大小．
1
【考点】平面与平面垂直的判定；二面角的平面角及求法．
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【专题】计算题；证明题．
【分析】（Ⅰ）欲证平面A
1
AD⊥平面BCC
1
B
1
，根据面面垂直的判定定理可知在平面BCC
1
B
1
内一直线与平
面A
1
AD垂直，根据线面垂直的性质可知A
1
A⊥BC，AD⊥BC，又A
1
A∩AD=A，根据线面垂直的判定定理可
知BC⊥平面A
1
AD，而BC 平面BCC
1
B
1
，满足定理所需条件；
（Ⅱ）作AE⊥C
1
C交C
1
C于E点，连接BE，由三垂线定理知BE⊥CC
1
，从而∠AEB为二面角A﹣CC
1
﹣B
⊂
的平面角，过C
1
作C
1
F⊥AC交AC于F点，在Rt△BAE中，求出二面角A﹣CC
1
﹣B的平面角即可．
【解答】证明：（Ⅰ）∵A
1
A⊥平面ABC，BC 平面ABC，
∴A
1
A⊥BC．在Rt△ABC中， ，∴ ，
⊂
∵BD：DC=1：2，∴ ，又 ，
∴△DBA∽△ABC，∴∠ADB=∠BAC=90°，即AD⊥BC．
又A
1
A∩AD=A，∴BC⊥平面A
1
AD，∵BC 平面BCC
1
B
1
，∴平面A
1
AD⊥平面BCC
1
B
1
．
⊂
（Ⅱ）如图，作AE⊥C
1
C交C
1
C于E点，连接BE，
由已知得AB⊥平面ACC
1
A
1
．∴AE是BE在面ACC
1
A
1
内的射影．
由三垂线定理知BE⊥CC
1
，∴∠AEB为二面角A﹣CC
1
﹣B的平面角．
过C
1
作C
1
F⊥AC交AC于F点，
则CF=AC﹣AF=1， ，∴∠C CF=60°．
1
在Rt△AEC中， ．
在Rt△BAE中， ．∴ ，
即二面角A﹣CC ﹣B为 ．
1
第8页 | 共12页【点评】本题主要考查平面与平面垂直的判定，以及二面角的平面角的度量，同时考查了空间想象能力，
计算能力和推理能力，以及转化与划归的思想，属于中档题．
20．（12分）（2008•陕西）已知数列{a }的首项a = ，a = ，n=1，2，…．
n 1 n+1
（Ⅰ）证明：数列{ ﹣1}是等比数列；
（Ⅱ）求数列{ }的前n项和．
【考点】数列递推式；等比关系的确定；数列的求和．
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【专题】计算题；压轴题．
【分析】（1）化简 构造新的数列 ，进而证明数列 是等比数列．
（2）根据（1）求出数列 的递推公式，得出a ，进而构造数列 ，求出数列 的通项公
n
式，进而求出前n项和S ．
n
【解答】解：（Ⅰ）由已知： ，
∴ ，（2分）
∴ ，
又 ，∴ ，（4分）
∴数列 是以 为首项， 为公比的等比数列．（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知 ，
即 ，∴ ．（8分）
设 ，①
则 ，②
由①﹣②得： ，（10分）
∴ ．又1+2+3+… ．（12分）
∴数列 的前n项和： ．（14分）
【点评】此题主要考查通过构造新数列达到求解数列的通项公式和前n项和的方法．
第9页 | 共12页21．（12分）（2008•陕西）已知抛物线C：y=2x2，直线y=kx+2交C于A，B两点，M是线段AB的中点，
过M作x轴的垂线交C于点N．
（Ⅰ）证明：抛物线C在点N处的切线与AB平行；
（Ⅱ）是否存在实数k使 ，若存在，求k的值；若不存在，说明理由．
【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；平面向量数量积的运算．
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【专题】计算题；压轴题．
【分析】（1）设A（x ，2x 2），B（x ，2x 2），把直线方程代入抛物线方程消去y，根据韦达定理求得
1 1 2 2
x +x 和x x 的值，进而求得N和M的横坐标，表示点M的坐标，设抛物线在点N处的切线l的方程将
1 2 1 2
y=2x2代入进而求得m和k的关系，进而可知l∥AB．
（2）假设存在实数k，使 成立，则可知NA⊥NB，又依据M是AB的中点进而可知 ．
根据（1）中的条件，分别表示出|MN|和|AB|代入 求得k．
【解答】解：（Ⅰ）如图，设A（x ，2x 2），B（x ，2x 2），
1 1 2 2
把y=kx+2代入y=2x2得2x2﹣kx﹣2=0，
由韦达定理得 ，x x =﹣1，
1 2
∴ ，∴N点的坐标为 ．
设抛物线在点N处的切线l的方程为 ，
将y=2x2代入上式得 ，
∵直线l与抛物线C相切，
∴ ，
∴m=k，即l∥AB．
（Ⅱ）假设存在实数k，使 ，则NA⊥NB，
又∵M是AB的中点，∴ ．
由（Ⅰ）知 = ．
∵MN⊥x轴，
∴ ．
又 =
．
∴ ，
解得k=±2．
即存在k=±2，使 ．
第10页 | 共12页【点评】本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．考查了学生综合把握所学知识和基本的运算能力．
22．（14分）（2008•陕西）设函数f（x）=x3+ax2﹣a2x+1，g（x）=ax2﹣2x+1，其中实数a≠0．
（Ⅰ）若a＞0，求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）当函数y=f（x）与y=g（x）的图象只有一个公共点且g（x）存在最小值时，记g（x）的最小值为h
（a），求h（a）的值域；
（Ⅲ）若f（x）与g（x）在区间（a，a+2）内均为增函数，求a的取值范围．
【考点】利用导数研究函数的单调性．
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【专题】压轴题．
【分析】（1）先对函数f（x）进行求导，令导函数大于0可求函数的增区间，令导函数小于0可求函数的
减区间．
（2）令f（x）=g（x）整理可得x[x2﹣（a2﹣2） =0，故a2﹣2≤0求出a的范围，再根据g（x）存在最小值
必有a＞0，最后求出h（a）的值域即可．
]
（3）分别求出函数f（x）与g（x）的单调区间，然后令（a，a+2）为二者单调增区间的子集即可．
【解答】解：（Ⅰ）∵ ，又a＞0，
∴当 时，f'（x）＞0；
当 时，f'（x）＜0，
∴f（x）在（﹣∞，﹣a）和 内是增函数，在 内是减函数．
（Ⅱ）由题意知x3+ax2﹣a2x+1=ax2﹣2x+1，
即x[x2﹣（a2﹣2） =0恰有一根（含重根）．∴a2﹣2≤0，即 ≤a≤ ，
又a≠0，∴ ．
]
当a＞0时，g（x）才存在最小值，∴ ．
g（x）=a（x﹣ ）2+1﹣ ，
∴ ．
h（a）≤1﹣ ；
∴h（a）的值域为 ．
（Ⅲ）当a＞0时，f（x）在（﹣∞，﹣a）和 内是增函数，g（x）在 内是增函数．
由题意得 ，解得a≥1；
当a＜0时，f（x）在 和（﹣a，+∞）内是增函数，g（x）在 内是增函数．
第11页 | 共12页由题意得 ，解得a≤﹣3；
综上可知，实数a的取值范围为（﹣∞，﹣3 ∪[1，+∞）．
【点评】本题主要考查函数的单调性与其导函数的正负情况之间的关系，即当导函数小于0时原函数单调递
]
减，当导函数大于0时原函数单调递增．
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