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祁阳一中 2025 年下学期高二十月月考数学试题
（时量120分钟 满分150分）
第I卷
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的）
1. 已知点 、 ，则 （ ）．
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用空间向量坐标运算法则直接求解．
【详解】解：∵点 、 ，∴ ．
故选：C．
2. 若圆 的半径为2，则实数 的值为（ ）
A. -9 B. -8 C. 9 D. 8
【答案】D
【解析】
【分析】由圆的一般方程配方得出其标准方程，由半径为2得出答案.
【详解】由 ，得 ，
所以 ，解得 .
故选：D.
3. 已知直线 的方向向量是 ，平面 的一个法向量是 ，则 与 的位置关系是
（ ）
A. B.
C. l与α相交但不垂直 D. 或
【答案】A【解析】
【分析】由 和 的位置关系即可判断.
【详解】 ， ，
所以 ，
所以 ，
故选：A
4. 椭圆的两个焦点是 和 ，椭圆上的点M到两个焦点的距离之和等于10，则椭圆的标准方程
是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据椭圆定义可得a，根据焦点坐标可得c，然后由 求出 即可得方程.
【详解】由椭圆定义可知， ，得 ，
又椭圆的两个焦点是 和 ，
所以椭圆焦点在x轴上，且 ，所以 ，
所以，所求椭圆的标准方程为 .
故选：C
5. 如图，在平行六面体 中， 为 与 的交点．若 ， ，
则下列向量中与 相等的向量是（ ）A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】结合图形，利用空间向量的加减数乘运算即得.
【详解】由图知，
.
故选：A
6. 瑞士数学家欧拉在《三角形的几何学》一书中提出：三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上.这条直
线被称为“欧拉线”.已知 的顶点 ， ， ，则 的欧拉线方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意求 的重心和外心，结合直线的两点式方程可得欧拉线方程.
【详解】因为 的顶点 ， ， ，可知 的重心为点 ，即点 ，
由题意，可知 ，
所以 的外心为斜边的中点 ，即点 ，
所以 的欧拉线方程为 ，即 .
故选：C.
7. 已知 ，从点 射出的光线经x轴反射到直线 上，又经过直线 反射到
点，则光线所经过的路程为（ ）
A. B. 6 C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用点关于直线的对称点的求法，以及数形结合，即可求解.
【详解】直线 的方程为 ，设点 关于 的对称点为 ，
则 ，得 ，即
点 关于 轴的对称点为 ，由题意可知，如图，点 都在光线 上，并且利用对称性可知， ， ，
所以光线经过 的路程 .
故选：C
8. 已知圆 与圆 ，过动点 分别作圆 、圆
的切线 ， （ ， 分别为切点），若 ，则 的最小值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】求出 点的轨迹为直线 ，再根据点到直线的距离公式即可得到最值.
【详解】由题意得 ， ，
因为 ，
又 ，即 ，
即 ，
化简得 点的轨迹为 ，即在直线 上，
表示的几何意义为 点到原点距离的平方，
故只需计算原点到直线 的距离再平方就可得最小值，
即最小值为 .
故选：B.二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9. 已知直线l的倾斜角等于 ，且l经过点 ，则下列结论中正确的有（ ）
A. 直线l在y轴上的截距为 B. l的一个方向向量为
C. l与直线 垂直 D. l与直线 平行
【答案】ABC
【解析】
【分析】先求出直线 的方程，然后逐项判断计算即可.
的
【详解】因为直线 倾斜角为 ，所以斜率为 .
因为直线 经过点 ，所以该直线方程为 ，
即 .
对于A：
令 ，则 ，所以该直线与 轴上的截距为 ，所以A正确；
对于B：
因为 ，与斜率 相等，所以B正确；
对于C：
因为直线 的斜率为 ，而 ，所以 与该直线垂直，所以C正确；
对于D：
因为直线 的斜率为 ，所以两直线不平行，所以D错误.
故选：ABC.
10. 已知圆 与圆 有四条公切线，则实数a的取值可能是（
）
A. －4 B. －2 C. D. 3
【答案】AD
【解析】
【分析】根据题意可知，两圆外离，即圆心距大于两圆半径之和，解不等式即可得解．
【详解】圆心 ，半径 ，圆心 ，半径 ．因为两圆有四条公切线，所以两圆外
离．又两圆圆心距 ，所以 ，解得 或 ．
故选：AD．
11. 在棱长为2的正方体 中，点P满足 ， 、 ，则（
）
的
A. 当 时，点P到平面 距离为
B. 当 时，点P到平面 的距离为
C. 当 时，存在点P，使得
D. 当 时，存在点P，使得 平面
【答案】BD
【解析】
【分析】根据给定条件，建立空间直角坐标系，利用点平面距离向量求法求解判断 AB；利用空间位置关系的向量证明判断CD.
【详解】在棱长为2的正方体 中，建立如图所示的空间直角坐标系，
则 ，
，设平面 的法向量为 ，
则 ，令 ，得 ，
对于A，当 时， ， ， ，
点P到平面 的距离 ，A错误；
对于B，当 时， ， ， ，
点P到平面 的距离 ，B正确；
对于C，当 时， ，
则 ， ，
当 时，
显然 ，方程无实根，即 与 不垂直，C错误；对于D，当 时， ，
则 ， ，
显然 ，即 ，由 ，得 ，
即当 时， ，而 平面 ，因此 平面 ，D正确.
故选：BD
第Ⅱ卷
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12. 点 到直线 ： 的距离为_________.
【答案】
【解析】
【分析】直接利用点到直线的距离公式计算即可.
【详解】点 到直线 ： 的距离为 ，
故答案为： .
13. 已知经过椭圆 的右焦点 作垂直于x轴的直线AB，交椭圆于A，B两点， 是椭圆的左
焦点，则 的周长_______．
【答案】
【解析】
【分析】由椭圆定义计算即可得.
【详解】由椭圆 可得 ，则 的周长 .
故答案为： .
14. 曲线 与直线 有两个交点，则实数 的取值范围为___________.
【答案】
【解析】
【分析】明确曲线 的几何意义，作出其表示的图象，结合直线曲线 与直线
有两个交点，数形结合，即可求得答案.
【详解】方程 可化为 且 ，
所以曲线 的轨迹为以 为圆心，1为半径的圆上纵坐标大于等于1的点的集合，
直线 表示过点 且斜率存在的直线，作图可得:
因为曲线 与直线 有两个交点,
观察图象可得 ，又 ， ，所以 ，
所以实数 的取值范围为 ，
故答案为： .
四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15. 已知 的三个顶点分别为 ，求：
（1） 边所在直线的方程；
（2） 边的垂直平分线 的方程．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用两点求斜率，由点斜式方程即可求解；
（2）根据中垂线的性质，利用垂直直线的斜率关系，结合点斜式方程，可得答案.
【小问1详解】
，
边所在直线的方程 ，
即 ；
【小问2详解】
，
所以又 中点坐标 ，
所以 边的垂直平分线 的方程 ，
即 .
16. 如图，长方体 中， ，E，F 分别在 上，且
，
（1）求证： 平面AEF；
（2）求异面直线AE与 所成角的余弦值．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）建立空间直角坐标系，求得 与平面 的法向量为 ，易得 ，从而得到
平面 ；
（2）由（1）的条件，得到 ， ，再根据向量夹角余弦公式求解即可.
【小问1详解】依题意，建立以D为原点，以DA，DC， 分别为x，y，z轴的空间直角坐标系，
则 ，
则 ，
设平面 的一个法向量为 ，
则 ，即 ，令 ，得 ，
所以 ，故 ，所以 面 .
【小问2详解】
由（1）知 ， ，
则 ，
即异面直线AE与 所成角的余弦值为 ．
17. 已知圆心为C的圆经过点 和 ，且圆心C在直线 上．
（1）求圆C的标准方程；
（2）直线 与圆C相交于M，N两点，且 ，求实数a的值．【答案】（1）
（2） 或
【解析】
【分析】（1）由圆心所在的直线设出圆心坐标，再利用两点间距离公式求解；
（2）由（1）的结论及已知求出圆心到直线 的距离，再利用点到直线距离公式求出参数值.
【小问1详解】
由圆心 在直线 上，设圆心 ，
由 ，得 ，解得 ，
因此圆心 ，半径 ，
所以圆 的标准方程为 .
【小问2详解】
由（1）知，圆 的圆心 ，半径 ，
由 ，得圆心 到直线 的距离为 ，
则 ，即 ，解得 或 ，
18. 已知圆 ，线段 的端点 的坐标是 ，端点 在圆 上运动，且点 满
足线段 ，记 点的轨迹为曲线 .（1）求曲线 的方程；
（2）过点 斜率为 的直线 与曲线 交于 ， 两点，试探究：
①设 为坐标原点，若 ，这样的直线 是否存在，若存在求出 ；若不存在说明理由；
②求线段 的中点 的轨迹方程.
【答案】（1）
（2）①直线不存在，理由见解析；②
【解析】
【分析】（1）运用相关点代入法求解轨迹方程即可；
（2） 根据向量等式，求解直线的斜率k,结合联立方程组法确定k的取值范围，进而确定直线是否存在；
根据中点坐标公式，再运用参数法求解点 D的轨迹方程.
【小问1详解】
设 ，则 ，
设 ， ， ，
即 .
【小问2详解】
①设存在满足条件的直线l，设直线l方程为 ，
则
设 ，直线与圆交于两点，则 ，
由韦达定理得： ，，则
即 ，与 不符，所以满足条件的直线不存在；
②MN中点坐标为：
，设MN中点D为
则 ，即
所以中点 的轨迹方程为： .
19. 如图，在三棱锥 中，平面 平面 ， ，且 ，以
为邻边作平行四边形 ， 为 的中点， 为 的中点．
（1）证明： 平面 ；
（2）若 ， 四点在同一个球面上，设该球面的球心O．
（i）证明：球心O在平面 内；
（ii）求平面 与平面 夹角的余弦值．
【答案】（1）证明见解析
（2）（i）证明见解析（ii）0【解析】
【分析】（1）要证明线面平行，需证明线线平行，即 .
（2）（i）根据外接球的定义，找出到四个顶点距离相等的球心的位置；（ii）先建立空间直角坐标系，然
后求出平面 的法向量的坐标，最后根据向量的夹角的余弦公式求出余弦值即可.
【小问1详解】
取 的中点 ，连接 .
因为 分别为 的中点，所以 .
因为 为平行四边形，所以 .
又 ，所以 .
所以四边形 为平行四边形，所以 .
又 平面 ，而 不在平面 内，
所以 平面 .
【小问2详解】
（i）证明：取 的中点为 ，连接 .
因为 ，所以 .
为
因 ，所以 .又平面 平面 ，平面 平面 ，
所以 平面 ，又 平面 ，所以 .
因为 ，所以 .
在直角三角形 中，根据勾股定理得 .
所以点 到点 的距离相等，所以 为球心 .
所以球心 在平面 内.
（ii）以 为原点，以 所在直线为 轴建立空间直角坐标系，如图所示.
则 .
所以 .
因为 ，所以 ，且 .
又 ，所以 ，所以 .
所以 .
设平面 与平面 的法向量为 ，
则 ， .
即 ， .令 ，则 ；令 ，则 .
所以 .
所以平面 与平面 的夹角的余弦值为
.
