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滨城高中联盟 2024-2025 学年度下学期高二 4 月份考试
数学试卷
命题人：大连市第二十三中学 刘金秋 校对人：大连市第二十三中学 孙艳姝
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的.
1. 已知 ， ，则 （ ）
.
A B. C. D.
【答案】D
【详解】解：因为 ， ，
所以 .
故选：D.
2. 在某项测量中，测量结果 服从正态分布 （ ），若 在 内取值的概率为0.8，则
在 内取值的概率为（ ）
A. 0.9 B. 0.8 C. 0.3 D. 0.1
【答案】A
【详解】
因为 服从正态分布 （ ），
所以正态分布曲线关于 对称；
又因为 在 内取值的概率为0.8，所以 在 内取值的概率为0.4，
所以 在 内取值的概率为 ．
故选：A
3. 已知离散型随机变量 的分布列如下，若 ，则 （ ）
0 2
A. B. 1 C. D.
【答案】C
【详解】由题意知 ，
解得 ，
因 为 ， 所 以 ， 即 ， 则
，
解得 ，所以 ，
故选：C．
4. 在孟德尔豌豆试验中，子二代的基因型为 其中 为显性基因， 为隐性基因，生
物学中将 和 统一记为 )，且这三种基因型的比为 . 如果在子二代中任意选取 2 株
豌豆进行杂交试验，那么子三代中基因为 的概率为（ ）A. B. C. D.
【答案】D
【详解】记事件 子三代中基因型为 ，记事件 选择的是 、 ，记事件 选择的是 、
，记事件 选择的是 、 ，
则 ， ， .
在子二代中任取 颗豌豆作为父本母本杂交，分以下三种情况讨论：
①若选择的是 、 ，则子三代中基因型为 的概率为 ；
②若选择的是 、 ，则子三代中基因型为 的概率为 ；
③若选择的是 、 ，则子三代中基因型为 的概率为 .
综上所述，
.
因此，子三代中基因型为是 的概率是 .
故选：D.
5. 已知某条线路上有 两辆相邻班次的 （快速公交车），若 准点到站的概率为 ，在B准点到
站的前提下 准点到站的概率为 ，在 准点到站的前提下B不准点到站的概率为 ，则B准点到站的
概率为（ ）
A. B. C. D.【答案】B
【详解】设事件 为“ 准点到站”，事件 为“ 准点到站”，
依题意， ，
而 ，解得 ，
而 ，
则 ，而 ，解得 .
故选：B
6. 为了预测某地的经济增长情况，某经济学专家根据该地2023年1~6月的GDP的数据 （单位：百亿
元）建立了线性回归模型，得到的经验回归方程为 ，其中自变量 指的是 月的编号，其
中部分数据如表所示：
时间 1月 2月 3月 4月 5月 6月
编号 1 2 3 4 5 6
百亿元 11.1
参考数据： .则下列说法不正确的是（ ）
A. 经验回归直线经过点
B.
C. 根据该模型，该地2023年12月的GDP的预测值为14.4百亿元
D. 相应于点 的残差为0.1
【答案】D
【详解】选项A：由题意得： ，因为 ， ，所以 ，得 ，
因此该经验回归直线经过样本点的中心 ，故A正确；
选项B：由A知， ，得 ，故B正确；
选项C：由B得 ，则当 时， ，
故该地2023年12月的GDP的预测值为 百亿元，故C正确；
选项D：当 时， ，
相应于点 的残差为 ，故D错误，
故选：D.
7. 公司选拔部门总监，根据投票数与业绩评分，甲、乙、丙、丁、戊 人以并列第一的得分在选拔中脱颖
而出. 现在人事部、财务部与科研部要分别选择 人担任部门总监，其余 人随机分别调到 个部门中担任
项目经理，设事件 {甲、乙两人不在同一部门}，事件 {甲担任财务部部门总监}，则 （
）
A. B. C. D.
【答案】C
【详解】由题知 ， ，
所以 ，
故选：C.
8. 托马斯·贝叶斯（Thomas Bayes）在研究“逆向概率”的问题中得到了一个公式：，这个公式被称为贝叶斯公式（贝叶斯定理），其中
称为B的全概率，假设甲袋中有3个白球和2个红球，乙袋中有3个白球和2个红球，
现从甲袋中任取2个球放入乙袋，再从乙袋中任取2个球，已知从乙袋中取出的是2个白球，则从甲袋中
取出的是2个红球的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【详解】设从甲袋中取出2个球，其中红球的个数为i个的事件为 ，
从乙袋中取出2个球，其中白球的个数为2个的事件为B，
由题意：① ， ；
② ， ；
③ ， .
根据贝叶斯公式可得，从乙袋中取出的是2个白球，
则从甲袋中取出的是2个红球的概率为：
.
故选：A.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项
符合题目要求.全部选对的得6分，选对但选不全的得部分分，有选错的得0分.
9. 甲、乙两名同学进行投篮比赛，甲每次命中概率为 ，乙每次命中概率为 ，甲和乙是否命中互不
影响，甲、乙各投篮一次，则（ ）A. 两人都命中的概率为 B. 恰好有一人命中的概率为
C. 两人都没有命中的概率为 D. 至少有一人命中的概率为
【答案】ABD
【详解】设事件 ：甲投篮一次，命中；事件 ：乙投篮一次，命中.
则事件 ， 独立.
对A选项：由 ，故A正确；
对B选项：由 ，故B正确；
对C选项：由 ，故C错误；
对D选项：由 ，故D正确.
故选：ABD
10. 已知随机事件 、 满足： ， ，则下列选项正确的是（ ）
A. 若 ，则 与 相互独立 B. 若 与 相互独立，则
C. 若 与 互斥，则 D. 若 ，则
【答案】ACD
【详解】对于A， ，故 与 相互独立，即A正确；
对于B，若 与 相互独立，则 与 也相互独立，
则 ，故B错误；
对于C，若 与 互斥，则 ，
，故C正确；对于D，由全概率公式可得 ，
所以 ，故D正确；
故选：ACD.
11. 泊松分布是一种离散型概率分布，常用于描述单位时间（或空间）内随机事件发生的次数，其概率分
布列为 ，其中 为自然对数的底数， 是泊松分布的均值.当二项分布的
很大 而 很小 时，泊松分布可作为二项分布的近似，且 取二项分布的期望.假
设每个大肠杆菌基因组含有10000个核苷酸对，采用 紫外线照射大肠杆菌时，每个核苷酸对产
生嘧啶二体的概率均为0.0005，设大肠杆菌的基因组产生的嘧啶二体个数为 表示经该种紫外
线照射后产生 个嘧啶二体的概率.已知 近似服从泊松分布，当产生的嘧啶二体个数不小于1时，大肠杆
菌就会死亡，则下列说法正确的有（ ）
A.
B.
C. 大肠杆菌经该种紫外线照射后，存活的概率为
D. 经该种紫外线照射后产生10个嘧啶二体的概率最大
【答案】AC
【详解】对于A，因为 ，所以此时泊松分布满足二项分布的近似的
条件， ，A正确；
对于B， ，B错误；对于C， ，C正确；
对于D，
，
当 时， ，当 时， ；
当 时， ；故当 或5时取最大值，D错误.
故选:AC.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知随机变量 服从两点分布，其中 ，若 ，则 ______.
【答案】 ##
【详解】根据两点分布的特点得 ，
则 ，
根据方差的性质得 ，
故答案为： .
13. 一个盒子中装有六张卡片，上面分别写着如下六个定义域为R的函数： ， ，
D
1 ， ， ， ．现从盒子中逐一抽取卡片并判函数的奇偶
性，每次抽出后均不放回，若取到一张写有偶函数的卡片则停止抽取，否则继续进行，设抽取次数为X，
则 的概率为___________．【答案】 ##0.8
【详解】易判断 ， ， 为偶函数，所以写有偶函数的卡片有3张，
的取值范围是 ．
， ，
所以 ．
故答案为：
14. 如图，电流通过元件 的概率均为0.8，且各元件能否正常工作相互独立，则电流能在
E，F之间通过的概率是_____.
【答案】0.7424
【详解】根据题意可知电流能通过 的概率为 ，电流能通过 的概率为 ，
所以电流不能通过 ，且也不能通过 的概率为 ，
所以电流能通过 的概率为 ，
因为电流能通过 的概率为 ，
所以电流能在E，F之间通过的概率为 .
故答案为：
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 袋中有6个白球、2个黑球，从中随机地连续抽取3次，每次取1个球，每次抽取后都不放回，设取到
黑球的个数为 ．（1）求 的分布列；
（2）求 ；
（3）若摸出一个黑球得10分，摸出一个白球得5分，总分为 分，求 的值．
【答案】（1）答案见解析
（2）
（3）
【小问1详解】
由题意得， 的可能取值为0，1，2，且 ，
，
，
，
所以 的分布列如下．
0 1 2
【小问2详解】因为 ，所以 ．
【小问3详解】
由已知得 ，
因为 ，所以 ，所以 ．
16. 某汽车公司研发了一款新能源汽车，并在出厂前对 辆汽车进行了单次最大续航里程的测试.现对测
试数据进行整理，得到如下的频率分布直方图：
的
（1）估计这 辆汽车 单次最大续航里程的平均值 （同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；
（2）由频率分布直方图计算得样本标准差 的近似值为 ，根据大量的汽车测试数据，可以认为这款
汽车的单次最大续航里程 近似的服从正态分布 ，其中 近似为样本平均数 ， 近似为样本
标准差 .
（i）利用该正态分布，求 ；
（ii）假设某企业从该汽车公司购买了 辆该款新能源汽车，记 表示这 辆新能源汽车中单次最大续
航里程 的车辆数，求 ；
参考数据：若随机变量 服从正态分布 ，则 ，
， .
【答案】（1）
（2）（i） ；（ii） .
【小问1详解】
由频率分布直方图可得 .【小问2详解】
（i）由题意可得 ， ，则 ，
所以， ；
（ii）由题意可知， ，故 .
17. 经观测，长江中某鱼类的产卵数 与温度 有关，现将收集到的温度 （单位： ）和产卵数
的10组观测数据作了初步处理，得到如图所示的散点图及一些统计量表.
360 54.5 1360 44 384
3 588 32 6430
表中 ， ， .
（1）根据散点图判断， ， 与 哪一个适宜作为 与 之间的回归方程模型
（给出判断即可，不必说明理由），并求出 关于 的回归方程；
（2）某兴趣小组抽取两批鱼卵，已知第一批中共有5个鱼卵，其中“死卵”有2个；第二批中共有6个鱼
卵，其中“死卵”有3个.现随机挑选一批，然后从该批次中随机取出2个鱼卵，求取出“死卵”个数的分
布列及数学期望.附：对于一组数据 ， ，…， ，其回归直线 的斜率和截距的最小二乘估
计分别为 ， .
【答案】（1） 适宜作为 与 之间的回归方程模型，
（2）答案见解析， .
【
小问1详解】
根据散点图判断，看出样本点分布在一条指数函数的周围，所以 适宜作为 与 之间的回归方程
模型.
令 ，则 ，
，
，
所以 ，
所以 关于 的回归方程为 .
【小问2详解】
由题意设随机挑选一批，取出两个鱼卵，其中“死卵”个数为 ，则 的可能取值为 ， ， ，
设 “所取两个鱼卵来自第 批” ，
所以 ，设 “所取两个鱼卵有 个‘死卵’” ，
由全概率公式得
，
，
，
所以取出“死卵”个数的分布列为
0 1 2
所以 ，
所以取出“死卵”个数的数学期望为 .
18. 中国男子篮球职业联赛“简称CBA”半决赛采用“五局三胜制”，具体规则为比赛最多进行五场，当参赛
的两方有一方先赢得三场比赛，就由该方获胜而比赛结束，每场比赛都需分出胜负.同时比赛采用主客场制，
比赛先在A队的主场进行两场比赛，再移师B队主场进行两场比赛（有必要才进行第二场），如果需要第
五场比赛，则回到A队的主场进行，已知A队在主场获胜的概率为 ，在客场获胜的概率为 ，假设每场
比赛的结果相互独立.
（1）第一场比赛B队在客场通过全队的努力先赢了一场，赛后B队的教练鼓励自己的队员说“胜利的天平
已经向我们倾斜”，试从概率大小的角度判断B队教练的话是否客观正确；
（2）每一场比赛，会给主办方在门票，饮食，纪念品销售等方面带来综合收益300万元，设整个半决赛主
办方综合收益为 ，求 的分布列与期望，
【答案】（1）从概率大小的角度判断B队教练的话是客观正确的.（2）分布列见解析， 万元.
【
小问1详解】
由题知，B队获胜的情况有三种，
第一种情况，比赛三场获胜，其概率为 ；
第二种情况，比赛四场获胜，则第二场或第三场B队失败，故其概率为 ；
第三种情况，比赛五场获胜，则B队在第二场，第三场，第四场中赢得一场比赛，第五场比赛获胜，其概
率为 ，
所以，B队在第一场比赛获胜的情况下，赢得比赛的概率为
，
所以，从概率大小的角度判断B队教练的话是客观正确的.
【小问2详解】
由题知，至少举办3场球赛，至多举办5场球赛，
所以 的可能取值为 ，
所以，当举办3场球赛时，A队获胜的概率为 ，B队获胜的概率为 ，
所以， ；
当举办4场球赛时，A队获胜的概率为 ，
B队获胜的概率为 ，，
所以， ，
所以， 的分布列为：
所以， 万元
19. “分布式计算系统”是由多台计算机组成的用以提高计算效率的计算机系统．在一个分布式计算系统
中，若一次计算中发生故障的计算机数不超过总计算机数的 ，则称这次计算是“优质计算”，某科技
公司采购了一批共计 台计算机用于搭建分布式计算系统，每台计算机的故障率均为 ．
（1）若 ， ，记 为一次计算中正常运行的计算机数量，求 的分布列和数学期望；
（2）若 ， ，请估计一次计算中正常运行的计算机数量最有可能是多少？
（3）该科技公司决定再购入 台与（2）中完全相同的计算机组成新的分布式计算系统，请与（2）的分
布式计算系统比较，判断新的分布式计算系统完成一次“优质计算”的概率是否有提升？
【答案】（1）分布列见解析，数学期望为
（2） 台或 台
（3）能得到提升
【小问1详解】
由题意可知， ，所以， ，
， ，，
所以，随机变量 的分布列如下表所示：
所以，随机变量 的数学期望为 .
【小问2详解】
设由 台计算机组成的分布式计算系统中正常运行的计算机数为 ，则 ．
且 ，
由 得 ，其中 ，
，
即 ，解得 ．
所以同时正常运行的计算机数最有可能是 台或 台．
【小问3详解】
当分布式计算系统中计算机数量为 时，
若要完成一次“优质计算”，同时正常运行的计算机数应不小于 ，
即至少 台计算机同时正常运行．当分布式计算系统中计算机数量为 时，
若要完成一次“优质计算”，同时正常运行的计算机数应不小于 ，
即至少 台计算机同时正常运行．
记 台计算机正常运行的个数为 ，设 ， ， ，
，且有 ．
的
则由 台计算机组成 分布式计算系统完成“优质计算”的概率 ，
由 台计算机组成的分布式计算系统完成“优质计算”的概率为 ，则：
，
于是 ，
而 ，
