文档内容
雅礼中学 2025 年下学期 10 月质量检测试卷
高二数学
时量：120 分钟 分值：150 分
命题人：陈智 审题人：陈朝阳，赵红顺
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1. 若复数 满足 ，则 （ ）
A. B. C. D.
2. 已知椭圆 的方程为 ，则椭圆 的离心率为（ ）
A. B. C. D.
3. 如图，在平行六面体 ABCD﹣ABC D 中，M 为 AC 与 BD 的交点．若 ， ，
1 1 1 1 1 1 1 1
，则下列向量中与 相等的向量是（ ）
A B.
C D.
4. 已知直线的一个方向向量为 ，其倾斜角为 ，则 （ ）
A. B. C. D.
5. 已知 的方差为 3，则 的方差为（ ）
A. 6 B. 7 C. 12 D. 18
6. 已知正方形的一组对边所在的直线方程分别为 和 ，另一组对边所在的直
第 1页/共 4页线方程分别为 和 ，则 （ ）
A. B. C. D. 6
7. “ ”是“直线 与曲线 恰有 1 个公共点”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
8. 已知正方体 的棱长为 ，空间中的点 满足： ，其中
，且 ，则点 的轨迹的长度为（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分．
9. 已知圆锥的顶点为 ， 为底面直径， 是面积为 1 的直角三角形，则（ ）
A. 该圆锥的母线长为 B. 该圆锥的体积为
C. 该圆锥的侧面积为 D. 该圆锥的侧面展开图的圆心角为
10. 下列说法正确的是（ ）
A. 若直线 与直线 平行，则
B. ，都有原点 在圆 外
C. 一条光线从点 射出，经 轴反射后，与圆 相切，则反射后光线
所在的直线方程为
D. 圆 与圆 的公切线恰有 2 条
11 已知 ，则（ ）
A. B. 最大值为 26
C. 的最小值是 D. 的最大值是
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分．
第 2页/共 4页12. 已知 是相互独立事件，且 ，则 _____．
13. 直线 ： 与直线 ： 交于点 Q，m 是实数，O 为坐标原点，则 的最
大值是______．
14. 已知椭圆 的左右焦点分别为 ，上顶点为 ，过 且垂直于 的直线与 交于
、 两点，则 的周长为_____．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大得利者，更
是文明城市的主要创造者，长沙市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从
所有答卷中随机抽取 100 份作为样本，将样本的成绩（满分 100 分，成绩均为不低于 40 分的整数）分成六
段： 得到如图所示的频率分布直方图．
（1）求频率分布直方图中 的值；
（2）求样本成绩的平均数和众数；
（3）用分层抽样的方法在分数落在 内的答卷中随机抽取一个容量为 5 的样本，现将该样本看成一
个总体，再从中任取 2 份，求至多有 1 份答卷的分数在 内的概率．
16. 已知 ， ， 分别是 的内角 ， ， 的对边，且 .
（1）求 ；
（2）若 ， 的面积为 ，求 的周长.
17. 在如图所示的几何体中，四边形 是正方形，四边形 是梯形， ， ，
平面 ，且 ， ．
第 3页/共 4页（1）求证： 平面 ；
（2）求平面 与平面 夹角的余弦值．
18. 已知过定点 的直线 被圆 截得的弦长为 ．
（1）求直线 的方程．
（2）线段 的端点 的坐标是 ，端点 在圆 上运动， 是线段 的中点，记点 的轨迹为
曲线 ．
（i）求曲线 方程；
（ii）已知点 为直线 上一动点，过点 作曲线 两条切线，切点分别为 、 ，判断直线
是否过定点?求出该定点，并说明理由；
19. 已知椭圆 的两个焦点为 和 ，点 为椭圆 的上顶点， 为等腰直角三角形．
（1）求椭圆 的标准方程；
（2）已知点 为椭圆 上一动点，求点 到直线 距离的最值；
（3）分别过 ， 作平行直线 ，若直线 与曲线 交于 两点，直线 与曲线 交于 两点，
其中点 在 轴上方，求四边形 的面积的取值范围．
