重庆名校真题高二数学复习试题原卷_2024-2025高二（7-7月题库）_2024年12月试卷_1202重庆名校真题高二数学复习试题

重庆市名校考试真题汇编 高二·数学试题 格 物 致 知 知 行 合 一试题目录 1．重庆一中 23‐24 学年高二上 9 月月考数学试题 ...................................... 1 2．南开中学 23‐24 学年高二上 9 月月考数学试题 ...................................... 5 3．重庆一中 23‐24 学年高二上 10 月月考数学试题 .................................... 9 4．重庆八中 23‐24 学年高二上第一次月考数学试题 ................................ 13 5．巴蜀中学 23‐24 学年高二上 10 月月考数学试题 .................................. 18 6．重庆一中 23‐24 学年高二上期中考试数学试题 .................................... 22 7．南开中学 23‐24 学年高二上期中考试数学试题 .................................... 26 8．重庆八中 23‐24 学年高二上期中考试数学试题 .................................... 30 9．巴蜀中学 23‐24 学年高二上期中考试数学试题 .................................... 34 10．重庆一中 23‐24 学年高二上 11 月月考数学试题 ................................ 38 11．重庆八中 23‐24 学年高二上第二次月考数学试题 .............................. 42 12．重庆一中 23‐24 学年高二上 12 月月考数学试题 ................................ 47 13．重庆八中 23‐24 学年高二上 1 月月考数学试题 .................................. 51 14．重庆一中 23‐24 学年高二上期末考试数学试题 .................................. 55 15．南开中学 23‐24 学年高二上期末考试数学试题 .................................. 59 16．重庆八中 23‐24 学年高二上期末考试数学试题 .................................. 63 17．巴蜀中学 23‐24 学年高二上期末考试数学试题 .................................. 67重庆市第一中学校2023-2024学年高二上学期9月月考数学试题 一、单选题 x2 y2 x2 y2 1．椭圆  1与椭圆  1m9的( ) 9 25 9m 25m A．长轴相等 B．短轴相等 C．焦距相等 D．长轴、短轴、焦距均不相等 x2 y2 2．若方程  1表示椭圆，则实数m的取值范围是( ) 25m m9 A．9,25 B．9,88,25 C．8,25 D．8, x2 y2 3．椭圆  1的一个焦点为F ，点P在椭圆上且在第一象限，如果线段PF的中点M 在y轴上，那 12 3 1 1 么点M的纵坐标是( ) 追 3 3 2 3 A． B． C． D． 4 2 2 4 4．19世纪法国著名数学家加斯帕尔•蒙日，创立了画法几何学，推动了空间几何学的独立发展，提出了著 名的蒙日圆定理：椭圆的两条切线互相垂直，则切线的交点位于一个与椭圆同心的圆上，称为蒙日圆，椭 x2 y2 x2 圆  1ab0的蒙日圆方程为x2  y2 a2 b2.若圆x32 yb2 9与椭圆  y2 1的蒙 a2 b2 3 日圆有且仅有一个公共点，则b的值为( ) A．3 B．4 C．5 D．2 5 x2   5．设F 、F 分别是椭圆  y2 1的左、右焦点，若Q是该椭圆上的一个动点，则QF QF 的最小值为( ) 1 2 4 1 2 A．2 B．1 C．1 D．2 6．已知在平面直角坐标系xoy中，圆C的方程为x2  y2 2y3，直线l过点(1,0)且与直线x y10垂 直.若直线l与圆C交于A、B两点，则OAB的面积为 A．1 B． 2 C．2 D．2 2 51 7．数学美的表现形式多种多样，我们称离心率e(其中 ) 的椭圆为黄金椭圆，现有一个黄金 2 x2 y2 椭圆方程为  1，(ab0)，若以原点O为圆心，短轴长为直径作O,P为黄金椭圆上除顶点外任意 a2 b2 一点，过P作O的两条切线，切点分别为A,B，直线AB与x,y轴分别交于M,N 两点，则 b2 a2  ( ) |OM |2 |ON|2 1 1 A． B． C． D．   1x2 y2   8．设椭圆C：  1ab0的右焦点为F，椭圆C上的两点A,B关于原点对称，且满足FAFB0， a2 b2 FB  FA 2 FB ，则椭圆C的离心率的取值范围为( )  2  2 5 A．0,  B． ,   2 2 3     2 2  2  C． ,  D． ,1  3 2 2     二、多选题 y2 x2 9．已知P是椭圆C:  1上的一点，F,F 是椭圆C的两个焦点，则下列结论正确的是( ) 4 3 1 2 A．椭圆C的短轴长为2 3 B．F,F 的坐标为1,0,1,0 1 2 1 π C．椭圆C的离心率为 D．存在点P，使得FPF  2 1 2 2 三、单选题 10．阿基米德在他的著作《关于圆锥体和球体》中计算了一个椭圆的面积．当我们垂直地缩小一个圆时， 我们得到一个椭圆．椭圆的面积等于圆周率π与椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．已知椭圆 x2 y2 C:  1(ab0)的面积为21π，点P在椭圆C上，且点P与椭圆C左、右顶点连线的斜率之积为 a2 b2 9  ，记椭圆C的两个焦点分别为F,F ，则 PF 的值不可能为( ) 49 1 2 1 A．4 B．7 C．10 D．14 四、多选题 11．设点A，F ，F 的坐标分别为1,1，1,0，1,0，动点Px,y满足： 1 2 x12  y2  x12  y2 4，给出下列四个命题： x2 y2 ①点P的轨迹方程为  1；② PA  PF 5； 4 3 2 3 ③存在4个点P，使得PAF 的面积为 ；④ PA  PF 1. 1 2 1 则正确命题的有( ) A．① B．② C．③ D．④ x2 9y2 12．已知Px,y ，Qx ,y 是椭圆  1上两个不同点，且满足xx 9y y 2，则下列说法正 1 1 2 2 4 4 1 2 1 2 确的是( ) A． 2x 3y 3  2x 3y 3 的最大值为62 5 1 1 2 2 B． 2x 3y 3  2x 3y 3 的最小值为3 5 1 1 2 2 2 10 C． x 3y 5  x 3y 5 的最大值为2 5 1 1 2 2 5 D． x 3y 5  x 3y 5 的最小值为102 2 1 1 2 2 五、填空题 13．已知椭圆4x2 ky2 4的一个焦点坐标是0,1，则实数k的值是 . y2 x2 14．过点( 3，－ 5 ) ，且与椭圆  1有相同焦点的椭圆的标准方程为 ． 25 9   15．设F ，F 分别是椭圆C的左，右焦点，过点F 的直线交椭圆C于M ，N两点，若MF 3FN ，且 1 2 1 1 1 4 cosMNF  ，则椭圆C的离心率为 . 2 5 2x2 y2   16．已知椭圆C：  1ab0的左、右焦点分别为F ，F ，点M 是椭圆C上任意一点，且MF MF a2 b2 1 2 1 2 的取值范围为2,3.当点M 不在x轴上时，设△MFF 的内切圆半径为m，外接圆半径为n，则mn的最大 1 2 值为 . 六、解答题 x2 y2  17．已知点P是椭圆  1(ab0) 上的一点，F ，F 分别是椭圆左右两个焦点，若FPF  ， a2 b2 1 2 1 2 3 且焦点三角形的面积为3 3，又椭圆的长轴是短轴的2倍. (1) 求出椭圆的方程； (2) 若FPF 为钝角，求出点P横坐标的取值范围． 1 2 18．已知直线l ：x+y-4=0，l ：x-y+2=0和直线l ：ax-y+1-4a=0. 1 2 3 (1) 若存在一个三角形，它的三条边所在的直线分别是l ，l ，l ，求实数a的取值范围； 1 2 3 (2) 若直线l经过l 和l 的交点，且点M1,2到l的距离为2，试求直线l的方程. 1 2 ab 19．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且 cosA 3sinA ． c (1) 求角C； (2) 若c=4，△ABC的面积为4 3，求a，b． 320．如图，在三棱台ABCABC 中，若AA平面ABC,AB AC,AB AC AA 2，AC 1,N 为AB中 1 1 1 1 1 1 1 点，M 为棱BC上一动点(不包含端点) (1) 若M 为BC的中点，求证：AN //平面CMA. 1 1 6 (2) 是否存在点M ，使得平面CMA与平面ACC A 所成角的余弦值为 ？若存在，求出BM 长度；若不 1 1 1 6 存在，请说明理由. 21．已知在平面直角坐标系xOy中，A0,1，B0,4，平面内动点P满足2 PA  PB ． (1) 求点P的轨迹方程； (2) 点P轨迹记为曲线，若C，D是曲线与x轴的交点，E为直线l：x＝4上的动点，直线CE，DE与曲线 的另一个交点分别为M，N，直线MN与x轴交点为Q，求点Q的坐标． y2 x2 22．如图，已知半圆C ：x2  y2 b2y0与x轴交于A、B两点，与y轴交于E点，半椭圆C ：  1 1 2 a2 b2 y0,ab0的上焦点为F，并且△ABF是面积为 3的等边三角形，将由C 、C 构成的曲线，记为“Γ”． 1 2 (1) 求实数a、b的值； (2) 直线l：y 2x与曲线Γ交于M、N两点，在曲线Γ上再取两点S、T(S、T分别在直线l两侧) ，使得这四 个点形成的四边形MSNT的面积最大，求此最大面积； (3) 设点K0,t tR，P是曲线Γ上任意一点，求 PK 的最小值． 4重庆市南开中学校2023-2024学年高二上学期9月测试数学试题 一、单选题 1．直线l经过点2,3，且倾斜角45，则直线l的方程为( ) A．x y10 B．x y50 C．x y10 D．x y50 2．两直线的斜率分别是方程x2 2023x10的两根，那么这两直线的位置关系是( ) A．垂直 B．斜交 C．平行 D．重合 3．直线ax2y40与直线x(a1)y20平行，则a的值为( ) A．a2 B．a0 C．a1 D．a1或a2 4．已知直线过点(1,2)，且纵截距为横截距的两倍，则直线l的方程为( ) A．2x y0 B．2x y40 C．2x y0或x2y20 D．2x y0或2x y40 5．“太极图”因其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，故也被称为“阴阳鱼太极图”．如图是放在平面直角坐 y 标系中的“太极图”，图中曲线为圆或半圆，已知点Px,y是阴影部分(包括边界) 的动点，则 的最小 x2 值为( ) 2 3 4 A． B． C． D．1 3 2 3 6．已知点P为直线y x1上的一点，M,N 分别为圆C :x42 y12 4与圆C：x2 y22 1上 1 2 的点,则 PM  PN 的最大值为 A．4 B．5 C．6 D．7 7．公元前3世纪，古希腊数学家阿波罗尼斯结合前人的研究成果，写出了经典之作《圆锥曲线论》，在此 著作第七卷《平面轨迹》中，有众多关于平面轨迹的问题，例如:平面内到两定点距离之比等于定值(不为 1) 的动点轨迹为圆.后来该轨迹被人们称为阿波罗尼斯圆.已知平面内有两点A(1,0)和B(2,1)，且该平面 2 5 内的点P满足 PA  2 PB ，若点P的轨迹关于直线mxny20 m,n0对称，则  的最小值是( ) m n A．10 B．20 C．30 D．40 58．已知直线l ：x y20，l ：x y20，直线l 垂直于l ，l ，且垂足分别为A，B，若C4，0， 1 2 3 1 2 D4，0，则 CA  AB  BD 的最小值为( ) A． 102 2 B．8 2 C．2 102 2 D．8 二、多选题 9．下列选项正确的是( ) ． A．过点1,2且和直线3x2y70平行的直线方程是3x2y10 π 3π B．若直线l的斜率k1,1，则直线倾斜角的取值范围是 ,   4 4  C．若直线l :x2y30与l :2xay20平行，则l 与l 的距离为 5 1 2 1 2 D．圆C :x2  y2 4x2y40和圆C :x2  y2 6y50相交 1 2 10．已知动直线m：x y0和n：xy320，P是两直线的交点，A、B是两直线m和n 分别过的定点，下列说法正确的是( ) A．B点的坐标为3,2 B．mn C． PA PB 的最大值为10 D．P的轨迹方程为x2  y2 2x2y30 11．已知圆M :x12  y2 2，直线l：x y30，点P在直线l上运动，直线PA、PB分别于圆M切 于点A、B．则下列说法正确的是( ) A．四边形PAMB的面积最小值为2 3 B． PA 最短时，弦AB长为 6 C． PA 最短时，弦AB直线方程为x y10  1 1 D．直线AB过定点为  ，   2 2 12．已知ABP的顶点P在圆C:x32 y42 81上，顶点A,B在圆O:x2  y2 4上.若 AB 2 3， 则( ) A．ABP的面积的最大值为15 3 B．直线PA被圆C截得的弦长的最小值为4 2 C．有且仅有一个点P，使得ABP为等边三角形 D．有且仅有一个点P，使得直线PA，PB都是圆O的切线 三、填空题 13．平行直线l :3x4y60与l :6x8y90之间的距离为 ． 1 2 14．已知圆C:x12 y22 25，直线l:2m1xm1ym40，当圆C被直线l截得的弦长 最短时，直线l的方程为 . 15．已知A(3,1),B(1,2)，若ACB的平分线方程为yx1，则AC所在的直线方程为 ． 616．在ABC中，AB2AC，点D是边BC上的一点，且BD2，CD1，当ABC 的面积最大时，则 tanABC . 四、解答题 17．圆C：x2  y2 2x8＝0内有一点P2,2，过点P作直线l交圆C于A，B两点. (1) 当弦AB最长时，求直线l的方程； (2) 当直线l被圆C截得的弦长为4 2时，求l的方程. 18．已知Mx,y为圆C：x2  y2 4x14y450上任意一点，且点Q2,3． (1) 求 MQ 的最大值和最小值． y3 (2) 求 的最大值和最小值． x2 (3) 求yx的最大值和最小值． π 19．在三棱柱ABCABC 中，平面ABBA平面ABC，侧面ABBA为菱形，ABB  ，AB  AC， 1 1 1 1 1 1 1 1 3 1 AB AC2，E是AC的中点. (1) 求证：AB平面ABC； 1 1 π EP (2) 点P在线段AE上(异于点A，E) ，AP与平面ABE所成角为 ，求 的值. 1 1 1 4 EA 1 720．已知a，b，c分别为ABC三个内角A，B，C的对边，cos2 Acos2C 1cos2B，且b1， (1) 求B；   (2) 若O为ABC的外接圆，若PM 、PN 分别切O于点M 、N，求PM PN 的最小值. 21．在平面直角坐标系xOy中，已知圆心在x轴上的圆C经过点A3,0，且被y轴截得的弦长为2 3.经过 坐标原点O的直线l与圆C交于M ，N两点. (1) 求圆C的方程； (2) 若点P5,0，直线PM 与圆C的另一个交点为R，直线PN 与圆C的另一个交点为S，分别记直线l、 k 直线RS 的斜率为k ，k ，求证： 2 为定值. 1 2 k 1 22．已知在平面直角坐标系xOy中，A(0,1),B(0,4),平面内动点P满足2 PA  PB ． (1) 求点P的轨迹方程； (2) 点P轨迹记为曲线，若C，D是曲线与x轴的交点，E为直线l:x4上的动点，直线CE，DE与曲线 1 1 的另一个交点分别为M，N，直线MN与x轴交点为Q，求  的最小值． MQ2 NQ2 8重庆市第一中学2023-2024学年高二上学期第一次月考数学试题 一、单选题 x2 y2 1．椭圆  1的短半轴长为（ ） 2 5 A．2 2 B． 2 C． 5 D． 3 x2 y2 2．双曲线  1a0,b0的离心率为2，则此双曲线的渐近线倾斜角可以是（ ） a2 b2 π 2 3π 5π A． B． π C． D． 4 3 4 6 2sin2Csin2 A 3．在ABC中，内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若2ac，则 的值为（ ） sin2 A A．1 B．1 C．3 D．7 4．古希腊数学家阿波罗尼奥斯采用平面切割圆锥的方法来研究圆锥曲线，用垂直于圆锥轴的平面去截圆 雉，得到的截面是圆；把平面再渐渐倾斜得到的截面是椭圆.若用面积为144的矩形ABCD截某圆锥得到椭 圆，且与矩形ABCD的四边相切.则下列椭圆的标准方程中满足题意的是（ ） x2 y2 x2 y2 A．  1 B．  1 81 16 65 81 x2 y2 x2 y2 C．  1 D．  1 100 64 64 100 5．圆心在y轴上的圆C与直线x y1相切于点A1,0，则圆心C的纵坐标为（ ） A．2 B． 2 C．1 D．0 x2 y2 6．设F 、F 分别是双曲线C：  1的左、右两个焦点，O为坐标原点，点P在C上且 1 2 2 4  1   OP  PF PF ，则PFO的面积为（ ） 2 1 2 1 A．4 B．2 2 C．3 D．2 x2 y2 7．斜率为k的直线l与椭圆C：  1交于A，B两点，线段AB的中点为M2,m，则k的范围是 6 3 （ ） 1 1 A．k1 B． k  3 3 2 2 C．k1或k 1 D． k  3 3 x2 y2 8．已知双曲线C：  1a0,b0，M(x ,y )是直线bxay4a0上任意一点，若圆 a2 b2 0 0 xx 2 yy 2 8与双曲线C的右支没有公共点，则双曲线C的离心率的取值范围是（ ） 0 0 A．  1, 2 B．1,2 C．2, D．4 2,    9二、多选题 9．已知圆C ：x32  y2 4，圆C ：x2  y2 1，则（ ） 1 2 A．两圆外切 B．直线x1是两圆的一条公切线 C．直线xmy2被圆C 截得的最短弦长为2 3 1  2 3 D．过点 , 作圆C 的切线仅有一条  2 2  2   10．已知曲线C：x x 4y y 4，Px ,y 为C上一点，则（ ） 0 0 A．曲线C在第一象限的图象为双曲线的一部分 B．点Px ,y 不可能落在第三象限 0 0 C．直线x2y20与曲线C有两个交点 1 2 D．若直线l：ykx1与曲线C有三个交点，则k ,    2 2   11．已知正方体ABCDABCD 的棱长为4，O为空间中一点，则下列结论中正确的是（ ） 1 1 1 1 6 A．直线AC和平面ABCD所成角的余弦值为 1 3 B．正方体ABCDABCD 的外接球表面积为48π 1 1 1 1 C．若O在正方形DCCD 内部，且 OB 2 6，则点O轨迹的长度为 2π 1 1 π D．若O在正方形ABCD内部，且ODC  恒成立，则点O轨迹为圆的一部分 1 6 x2 y2 12．已知椭圆C：  1a2的左、右焦点分别为F ，F ，过椭圆C上一点P和原点O作直线l交圆O： a2 3 1 2 x2  y2 a2 6于M，N两点，下列结论正确的是（ ） A．实数a越小，椭圆C越圆 2 B．若PF PF ，且 OP  PM ，则e 1 2 2   C．当a2时，过F 的直线l 交C于A，B两点（点A在x轴的上方）且AF 2FB，则l 的斜率k  5 1 1 1 1 1 D．若 PF  PF 6，则 PM  PN 9 1 2 三、填空题 13．若直线l ：ax2y20与直线l ：2xa4y10平行，则实数a . 1 2 x2 14．焦点在y轴上且中心为原点的椭圆C 与椭圆C ：  y2 1离心率相同，且C ，C 在第一象限内公 2 1 2 1 2 共点的横坐标为1，则C 的方程 2 10x2 y2 15．焦距为12的双曲线  1的左右焦点分别为F ，F ，P是双曲线右支上一点，I 为PFF 的内心， a2 b2 1 2 1 2 PI交x轴于Q点，若 FQ  PF ，且 PI : IQ 2:1，则双曲线的实轴长为 1 2 x2 y2 16．过椭圆  1上一动点P分别向圆C ：x32  y2 4和圆C ：x32  y2 1作切线，切点分 36 27 1 2 别为M ，N，则 PM 2 2 PN 2的取值范围为 . 四、解答题 π 17．在ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知b3 2，B . 3 (1) 若a2c，求a，c的值； (2) 求ABC面积的最大值. x2 y2   3 18．已知双曲线C：  1经过点 3, 2 ，其中一条渐近线为y x. a2 b2 3 (1) 求双曲线C的方程；   (2) 一条过双曲线C的右焦点F 且纵截距为2的直线l，交双曲线C于P，Q两点，求OPOQ的值. 19．圆O：x2  y2 8内有一点P 1,2，过P 的直线交圆于A，B两点. 0 0 (1) 当P 为弦AB中点时，求直线AB的方程； 0 (2) 若圆O与圆C：x12 y12 9相交于E，F 两点，求EF的长度. 113 20．在四棱锥ABCFE中，底面BCFE为梯形，BCBE，EF ΠBC ，BCBE2，AE6，EF  ， 2 AB⊥平面BCFE. (1) 求证：平面AEF 平面ABE； (2) 求直线AE与平面AFC所成角的正弦值.  2 49  2 1 21．已知圆O ： x 2  y2  和圆O ： x 2  y2  ，以动点P为圆心的圆与其中一个圆外切， 1 4 2 4 与另一个圆内切.记动点P的轨迹为T. (1) 求轨迹T的方程； (2) 过N0,1的直线交轨迹T于A，B两点，点C在直线y2上.若ABC为以AB为斜边的等腰直角三角 形，求AB的长度. x2 22．已知椭圆C：  y2 1a0，Aa,0，Ba,0. a2 3 (1) 若椭圆C的离心率是 ，求a的值； 2  1 (2) 椭圆C内部的一点Tt,  t 0，过点T作直线AT交椭圆于M ，作直线BT 交椭圆于N，且M ，N  2 是不同的两点. S ①设△BTM 的面积是S ，△ATN 的面积是S ，当a2时，求 1 的范围； 1 2 S 2 ②若点Ux ,y ，Vx ,y 满足x x ，且y  y ，则点U 在点V 的右下方.求证：点M 在点N的右下方. u u v v u v u v 12重庆市第八中学校2023-2024学年高二上学期第一次月考数学试题 一、单选题 1．在三棱锥ABCD中，若ADBC，ADBD，那么必有( ) A．平面ADC 平面BCD B．平面ABC平面BCD C．平面ABD平面ADC D．平面ABD平面ABC 2．若过点P0,1的直线l与圆  x 3 2  y2 1有公共点，则直线l的倾斜角的最大值( ) π π π 2π A． B． C． D． 6 4 3 3 3．折纸艺术是我国民间的传统文化，将一矩形OABC纸片放在平面直角坐标系中， O(0,0),A(2,0),C(0,1)，将矩形折叠，使O点落在线段BC上，设折痕所在直线的斜率为k，则k的取值 范围是( ) A．[0,1] B．[0,2] C．[1,0] D．[2,0] 4．某同学在参加《通用技术》实践课时，制作了一个工艺品，如图所示，该工艺品可以看成是一个球 被一个棱长为4 3的正方体的六个面所截后剩余的部分(球心与正方体的中心重合) ，若其中一个截面 圆的周长为4π，则该球的表面积为( ) 256π 32π A．64π B． C．16π D． 3 3 x2 y2 5．已知椭圆C：  1的左､右焦点分别为F ，F ，点M在椭圆C上，当△MF F 的面积最大时，△MF F 1 2 1 2 1 2 25 9 内切圆半径为( ) 5 4 A．3 B．2 C． D． 3 3 13x2 y2 6．已知椭圆C:  1(ab0)的焦距为6，过右焦点F 的直线l交椭圆C于A,B两点，若AB中 a2 b2 点坐标为(1,1)，则C的方程为( ) x2 y2 x2 y2 x2 y2 x2 y2 A．  1 B．  1 C．  1 D．  1 45 36 18 9 45 9 72 36 x2 y2 7．已知F ，F 是椭圆C：  1(ab0)的左，右焦点，A是C的左顶点，点P在过A且斜率 1 2 a2 b2 3 为 的直线上，PFF 为等腰三角形，FF P120，则C的离心率为 6 1 2 1 2 2 1 1 1 A． B． C． D． 3 2 3 4 x2 y2 8．已知点P是椭圆  1x0,y0上的动点，F ，F 为椭圆的两个焦点，O是坐标原点，若 13 5 1 2  M是以线段PF为直径的圆上一点，且M到FPF 两边的距离相等，则|OM |的取值范围是( ) 1 1 2 A．  0, 5  B．  0,2 2  C．5,13 D．  3,2 5  二、多选题 9．已知直线l :ax3y40,l :xa2ya2 50，则( ) 1 2 A．若a1，则l 的一个方向向量为3,1 B．若l ∥l ，则a1或a3 1 1 2 3 C．若l l ，则a D．若l 不经过第二象限，则a0 1 2 2 1 10．已知圆O:x2  y2 4和圆M :x2  y2 4x2y10相交于A，B两点，下列说法正确的是( ) A．圆O与圆M 有两条公切线 B．圆O与圆M 关于直线AB对称 11 C．线段AB的长为 2 D．E，F 分别是圆O和圆M 上的点，则|EF|的最大值为4 5 11．已知椭圆M : x2  y2 1ab0的左、右焦点分别为F   3,0  ，F  3,0  ，过点F 且垂直于x a2 b2 1 2 2 轴的直线与该椭圆相交于A，B两点，且 AB 1，点P在该椭圆上，则下列说法正确的是( ) A．存在点P，使得FPF 90 1 2 3 B．若FPF 60，则S  1 2 △F1PF2 3 C．满足FPF 为等腰三角形的点P只有2个 1 2 D． PF  PF 的取值范围为2 3,2 3 1 2   1412．在正方体ABCDABCD 中，E是侧面ADDA 上一动点，下列结论正确的是( ) 1 1 1 1 1 1 A．三棱锥B BCE的体积为定值 1 B．若AE∥BC，则AE 平面ABC 1 1 1 1 1 π C．若AD BE ，则AB与平面BCE 所成角为 1 1 1 1 6 3 D．若BE∥平面BDC ，则BE与AB所成角的正弦最小值为 1 1 1 3 三、填空题 13．若复数z满足z1i2i(i为虚数单位) ，则 z  . x2 y2 3 14．已知椭圆C:  1的离心率为 ，则椭圆C的长轴长为 . m4 m 3 15．已知三棱锥ABCD的侧面展开图放在正方形网格中的位置如图所示，那么在三棱锥ABCD中， AB与CD所成的角为 . 16．已知圆O：x2  y2 1，圆M：xa2 ya42 1.若圆M 上存在点P，过点P作圆O的两条切 线，切点为A,B，使得APB60，则实数a的取值范围为 . 四、解答题  1 17．已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，焦距为2 3，且点P 3,  在椭圆C上.  2 (1) 求椭圆C的标准方程；   (2) 过 0, 3 且斜率为2的直线l交椭圆于A，B两点，求弦AB的长. 1518．已知圆O经过点A(2,0)，圆心C在直线x y0上，直线x y 2 0被圆C截得的弦长为2 3． (1) 求圆C的方程； (2) 若点M(3,4)，动点N在圆C上运动，点O是坐标原点，以OM ，ON为两边作平行四边形MONP， 求动点P的轨迹． 19．如图，在四棱锥PABCD中，PD平面ABCD，底面ABCD为菱形，E,F 分别为AB，PD的 中点. (1) 求证：EF //平面PBC； (2) 若AD2 3，二面角EFCD的大小为45，再从条件①､条件②这两个条件中选择一个作为已 知.求PD的长. 条件①：DEPC；条件②：PBPC. 注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分. 20．如图，在ABC中，角A,B,C 的对边分别为a,b,c.已知bccosAacosBacosC0. (1) 求角A；  (2) 若D为线段BC延长线上一点，且CAD ,BD3CD，求tanACB. 4 1621．过点M1,0的直线l与圆C：x2 y22 4交于A，B两点，N为圆C与y轴正半轴的交点． (1) 若 AB 2 3，求直线l的方程； (2) 证明：直线AN，BN 的斜率之和为定值． x2 y2 22．已知点2,0在椭圆C:  1ab0上，设点A,B为C的短轴的上、下顶点，点T是椭圆 a2 b2 3 上任意一点，且TA，TB的斜率之积为 . 4 (1) 求C的方程； (2) 过C的两焦点F 、F 作两条相互平行的直线l ，l 交C于M ，N和P，Q，求四边形PQNM 面 1 2 1 2 积的取值范围. 17重庆市巴蜀中学校2023-2024学年高二上学期10月月考数学试题 一、单选题 1．直线3x 3y30的倾斜角为（ ） A．30 B．60 C．120 D．150 2．设m,n是两条不同的直线，,是两个不同的平面（ ） A．若m∥n,n∥，则m B．若m,∥，则m C．若m∥,，则m D．若mn,n∥，则m 3．过点P1,1且垂直于l:x2y10的直线方程为（ ） 1 1 A． x y 0 B．2x y30 2 2 C．2x y10 D．2x y10 4．已知直线l :x2my10与l :3m1xmy9m10平行，则实数m（ ） 1 2 1 1 1 A．0 B． C．0或 D．0或 6 6 6  1 5．已知圆C经过A1,0,B2,1两点，且圆心C在直线x y0上，则过点D1,  的直线与圆C相交  2 所截最短弦长为（ ） 3 A．1 B． 3 C． D．2 2 6．如图，在四面体ABCD中，AB AC AD2，∠BAC ∠BAD60，CAD90，点M为△BCD的 重心，则AM 的长是（ ） 5 8 2 5 2 6 A． B． C． D． 3 3 3 3 7．已知A,B是圆C：x2 2x y2 6y0上两点，若存在M5,t满足MAMB，则实数t的取值范围是 （ ） A．1,3 B．1,5 C．3,5 D．3,6 8．正四棱锥PABCD的底面边长为4 2，PA4 5则平面PCD截四棱锥PABCD外接球所得截面的 面积为（ ） 100 50 200 100 A． B． C． D． 9 3 9 3 二、多选题 9．已知点P在圆C:x2 6x y2 6y140上，直线AB:x y20，则（ ） A．直线AB与圆C相交 B．直线AB与圆C相离 1 C．点P到直线AB距离大于 2 D．点P到直线AB距离小于5 1810．正四棱台ABCDABCD 中，上底面ABCD 的边长为2，下底面ABCD的边长为4，棱台高为 3， 1 1 1 1 1 1 1 1 则下列结论正确的是（ ） 28 3 A．该四棱台的体积为 3 B．该四棱台的侧棱长为2     C．AB2BC CA0 1 1 D．几何体CDDB AA是三棱柱 1 1 1 1 11．已知圆C：x2  y2 4则（ ） A．圆C与直线mx ym10必有两个交点 B．圆C上存在4个点到直线l:x y 2 0的距离都等于1 C．圆C与圆x2  y2 6x8ym0恰有三条公切线，则m16， D．动点P在直线x2y40上，过点P向圆C引两条切线，A､B为切点，直线AB经过定点1,2 12．四棱锥PABCD的底面为正方形，PA与底面垂直，PA2,AB1，动点M在线段PC上，则（ ） A．存在点M，使得ACBM B．MAMB的最小值为6 2 5 C．M到直线AB距离最小值为 5 1 D．三棱锥AMBC与AMDP体积之和为 3 三、填空题 13．已知圆锥的底面半径为1，侧面积为2π，则此圆锥的体积是 ． 14．如图，在直三棱柱ABCABC 中，AC BC,CC 2AC2BC，则直线AB 与直线BC 夹角的余弦 1 1 1 1 1 1 值为 . 15．棱长为2的正方体ABCDABCD 中，点M､N分别是线段AC,CD的中点，则平面AMN 截正方体所 1 1 1 1 得截面的面积为 . 16．已知P是圆M :x2 4x y2 4y60上动点，A,B是圆x2 2x y2 2y20的上两点，若   AB 2 3，则 PAPB 的范围为 . 19四、解答题 17．如图，在正三棱柱ABCABC 中，AB2,AA 4，点D是AB的中点. 1 1 1 1 (1) 求正三棱柱ABCABC 的表面积； 1 1 1 (2) 求三棱锥B ADC的体积. 1 1   18．已知圆O的圆心为原点，斜率为1且过点M 2,3 2 的直线与圆相切 (1) 求圆O的方程； (2) 过M的直线l交圆O于A、B，若△OAB面积为2，求直线l方程. 19．如图，在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD,AD∥BC,AD2BC 2AB4,PA2，且ABC 60， 点E为棱PD上一点（不与P,D重合），平面BCE交棱PA于点F . (1) 求证：BC∥EF： (2) 若E为PD中点，求平面ACE与平面PAD夹角的余弦值. π 20．如图，在多面体ABCDEF 中，平面ABCD平面CDEF，四边形CDEF为菱形，DCF  ，底面ABCD 3 为直角梯形，AB//CD，ABBC，DC2BC4，AB3． (1) 证明：BEDF ； 1 FM (2) 在FB上是否存在点M ，使得平面MCD与平面BCD夹角的余弦值为 ，若存在，求出 的值；若 2 FB 不存在，请说明理由． 202 21．已知三棱锥PABC中，平面PBC平面ABC,AB2AC 2,tanPBC  ，PBPC. 2 (1) 若BC AB，求PA与平面ABC所成角的正切值； (2) 当二面角PABC最小时，求三棱锥PABC体积. 9  22．已知圆O:x2  y2 9，动点A在圆O上，点A关于x轴的对称点为点C，点C与点D ,0 所在直线 4  交圆O于另一点B，直线AB交x轴于点T， (1) 求AD中点P的轨迹方程； (2) 若A在第二象限，求TBC面积的最大值. 21重庆市第一中学校2023-20324学年高二上学期期中考试数学试题 一、单选题 1．直线x 3y10的斜率为 3 3 A． 3 B． 3 C． D． 3 3 x2 y2 1 2．已知椭圆C：  1的离心率为 ，则m（ ） m1 m 2 1 A． B．1 C．3 D．4 3 3．已知S 是等差数列a 的前n项和，且a 2,S 36，则a 的公差d （ ） n n 3 9 n A．1 B．2 C．3 D．4 4．如图，在等边ABC中，点O为底边AC的中点，将ABO沿BO折起到△𝐷𝐵𝑂4． 如图，在等边△ABC 中，点O为底边AC的中点，将△ABO沿BO折起到△DBO的位置，使二面角DBOC的大小为90°，则异 面直线DO与BC所成的角的大小为（ ） A．30° B．45° C．60° D．90° x2 y2 5．已知双曲线  1的左、右焦点分别为F ，F ，过F 的直线与该双曲线的右支交于M，N两点， 9 16 1 2 2 若 MN 12，则△MNF 周长为（ ） 1 A．16 B．24 C．36 D．40 6．已知等比数列a 有2n1项，a 1，所有奇数项的和为85，所有偶数项的和为42，则n（ ） n 1 A．2 B．3 C．4 D．5 7．数列a ，b 满足：a 2，a a 2n  nN*,n2 ，b a    8   n ，则数列b 的最大项是第 n n 1 n n1 n n 11 n （ ）项． A．6 B．7 C．8 D．9 8．抛物线有一条重要性质：从焦点出发的光线，经过抛物线上一点的反射后，反射光线平行于抛物线的 对称轴．已知抛物线C:y2 4x，在抛物线内平行于x轴的光线射向抛物线C，交抛物线C于点P（不为原点）， 过点P作C的切线l，过坐标原点O作OQl，垂足为Q，反射光线与直线OQ交于点T，点A(0,2)，则|TA|的 取值范围为（ ） A．2 22,2 22 B． 51, 51     C． 7 2, 7  2 D．[3,4]   22二、多选题 S S 9．设数列a 的前n项和为S ， n1  n 1,S 32，则下列说法正确的是（ ） n n n1 n 1 A．a 是等差数列 n B．S ,S S ,S S 成等差数列，公差为9 3 6 3 9 6 C．当n16或n17时，S 取得最大值 n D．S 0时，n的最大值为33 n 10．已知圆O:x2  y2 4，下列说法正确的是（ ） A．过点P(1,1)作直线与圆O交于A，B两点，则|AB|范围为[2 2,4] B．过直线l:x y40上任意一点Q作圆O的切线，切点分别为C，D，则直线CD必过定点(1,1) C．圆O与圆C:(x3)2 (y4)2 r2(r0)有且仅有两条公切线，则实数r的取值范围为(3,5) D．圆O上有2个点到直线l:x 3y10的距离等于1 x2 y2 11．已知椭圆  1(ab0)，长轴长为8，短半轴长为2 3，F,F 分别为椭圆左右焦点，点Q(2,1)， a2 b2 1 2 P为椭圆上任意一点，则下列说法正确的是（ ）   A．PF PF [12,16] 1 2 B．若直线l交椭圆于A，B两点，且Q为AB中点，则直线l的方程为3x2y80 4 C．PFF 内切圆面积的最大值为 π 1 2 3 D．|PQ| PF 的最小值为7 1 n 12．在数学中，b b b b ．已知数列a 满足a a 2 3a 4  nN* ,a 4，则下列说法正 i 1 2 n n n1 n n 1 l1 确的是（ ） A．数列a 是递增数列 B．a 2a n n1 n 1 n 1 1 n C．   D．log a 22n 1 a 2 a 1 2 2 i n1 i1 i i1 三、填空题 13．已知点F为抛物线E:y2 4x的焦点，点A2,m在抛物线E上，则 AF  ． 1 14．已知数列(cid:4668)𝑎 (cid:4669)满足a  ,a a 2a a 0  nN*，则a  ． (cid:3041) 1 2 n1 n n1 n 5 15．已知数列a 是公差不为0的等差数列，数列 a 为等比数列，数列k 的前三项分别为1，2，6， n kn n 则数列k 的通项公式为 ． n 23n 16．我们把形如ymx (mn0)的函数称为类双勾函数，这类函数有两条渐近线x0和ymx，它的 x 1 函数图像是对称轴不在坐标轴上双曲线．现将函数y 3x 的图像绕原点逆时针旋转一定的角度得到焦 x 点位于x轴上的双曲线C，则该双曲线C的离心率是 ． 四、解答题 17．已知数列a 中，a 2a 0  nN* ,a 2，b 为等差数列，它的前n项和为T ，满足b a 1， n n1 n 2 n n 3 3 T a ． 4 5 (1) 求数列b 的通项公式； n  1  (2) 若c log a ，数列 的前n项和为S ，证明：S 1． n 2 n1 c c  n n n n1    18．如图所示，在三棱锥PABC中，PAPC4,ABBC5,PB3,CM  AM 0,MB 17． (1) 求三棱锥PABC的体积； (2) 求二面角PBCA的正弦值． |PA| 1 19．已知点A(1,0),B(4,0)，动点P满足  ，设P的轨迹为C． |PB| 2 (1) 求C的轨迹方程；   (2) 若过点A的直线与C交于M，N两点，求BM BN 取值范围． 2420．设数列a 的前n项和为S ，且满足2S a n2 n1（为常数）. n n n n (1) 若1，求S . 100 (2) 是否存在实数，使得数列a 为等差数列？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. n x2 y2 a 21．已知双曲线C:  1(a0)的左顶点为A，右焦点为F，P是直线l:x 上一点，且P不在x轴上， a2 3a2 2 以点P为圆心，线段PF的长为半径的圆弧AF交C的右支于点N． (1) 证明：APN 2NPF； (2) 取a1，若直线PF与C的左、右两支分别交于E，D两点，过E作l的垂线，垂足为R，试判断直线DR是 否过定点若是，求出定点的坐标；若不是，请说明理由． a2 y2 x2 22．我们把直线y 叫做椭圆  1(ab0)的上准线．已知一列椭圆 c a2 b2 x2 C :y2  1  0b 1,nN*的上、下焦点分别是F ,G ，若椭圆C 上有一点P ，使得P 到上准线l 的 n b 2 n n n n n n n n 距离d 是 PF 与 PG 的等差中项， n n n n n (1) 当b 取最大值时，求椭圆C 的离心率； n n 2n3 (2) 取b  ，并用S 表示△PFG 的面积，请探索数列S 的单调性． n n2 n n n n n 25重庆市南开中学校2023-2024学年高二上学期期中数学试题 一、单选题 1．直线 3x y50的倾斜角为（ ） π π 2π 5π A． B． C． D． 6 3 3 6 2．若直线x2y30与mx3y60互相垂直，则m（ ） 3 3 A． B．6 C． D．6 2 2 3．抛物线x2  y的准线方程是 1 1 1 1 A．y B．x C．y D．x 4 4 2 2 4 4．若双曲线C以两条坐标轴为对称轴，y x是其一条渐近线，则双曲线C的离心率为（ ） 3 5 4 4 5 5 5 A． B． C． 或 D． 或 4 3 3 3 4 3 5．若直线axby1与O:x2  y2 1相离，则点Pa,b与圆O的位置关系为（ ） A．点P在圆O内 B．点P在圆O上 C．点P在圆O外 D．无法确定 x2 y2 6．设F 、F 分别为双曲线  1a0,b0的左、右焦点，双曲线上存在一点P使得 PF  PF 3b， 1 2 a2 b2 1 2 9 PF  PF  ab，则该双曲线的离心率为（ ） 1 2 4 4 5 9 A． B． C． D．3 3 3 4 x2 y2   7．若F为椭圆C:  1的左焦点，P为椭圆C上一动点，M  2,1 ，则MFP周长的最大值为（ ） 9 7 A．4 2 B．6 2 C．7 D．10 x2 y2 x2 y2 8．椭圆C :  1a 2与双曲线C :  1a 2有相同的焦点F 、F ，记椭圆C 的离心率 1 a2 4 1 2 a2 4 2 1 2 1 1 2 为e ，双曲线C 的离心率为e ，则下列关系式一定正确的是（ ） 1 2 2 A．ee 1 B．e 2e C．e2 e2 1 D．e2 e2 2e2e2 1 2 2 1 2 1 1 2 1 2 26二、多选题 9．已知椭圆C的中心为坐标原点，焦点F 、F 在x轴上，短轴长等于2，焦距为2 3，过焦点F 作x轴 1 2 1 的垂线交椭圆C于P、Q两点，则下列说法正确的是（ ） x2 3 A．椭圆C的方程为  y2 1 B．椭圆C的离心率为 4 4 1 7 C． PQ  D． PF  2 2 2 10．已知圆C :x2  y2 1，C :(x3)2 (y3)2 r2(r0)．则下列说法正确的是（ ） 1 2 A．当r1时，圆C 与圆C 有4条公切线 1 2 B．当r 2时，y1是圆C 与圆C 的一条公切线 1 2 C．当r3时，圆C 与圆C 相交 1 2 1 D．当r 4时，圆C 与圆C 的公共弦所在直线的方程为yx 1 2 2 x2 y2 11．已知双曲线C：  1的左、右焦点分别为F 、F ，过F 向C的一条渐近线作垂线，垂足为M ， 9 16 1 2 2 交另一条渐近线于N，则下列说法正确的是（ ） 9 A．M 为线段NF 的中点 B．点M 在直线x 上 2 5   C．MF MF 16 D． MF 2 13 1 2 1 12．如图，F为抛物线C:y2 2pxp0的焦点，O为坐标原点，过y轴左侧一点P作抛物线C的两条切线， 切点为A、B，PA、PB分别交y轴于M、N两点，则下列结论一定正确的是（ ） A．APBMFN 180 B．AFBAPB180 |OM | |FA| |OM | |MA| C．  D．  |ON| |FB| |ON| |MP| 三、填空题 x2 y2 13．已知双曲线C:  1，则C的右焦点的坐标为 . 6 3 14．若M(1,2)为圆C:x2 (y1)2 16的弦AB的中点，则直线AB的方程为 ． 27x2 15．若P是椭圆  y2 1上一动点，A0,3，则 PA 的最大值为 ． 4 x2 y2 π 16．设椭圆  1(ab0)的焦点为F ，F ，P是椭圆上一点，且FPF  ，若FPF 的外接圆 a2 b2 1 2 1 2 3 1 2 和内切圆的半径分别为R，r，当R3r时，椭圆的离心率为 ． 四、解答题 x2 y2 17．已知双曲线的方程是  1． 9 4 (1) 求双曲线的渐近线方程； (2) 设F 和F 是双曲线的左、右焦点，点P在双曲线右支上，且 PF  PF 16，求PF 的大小． 1 2 1 2 2 18．已知圆C:x2  y2 2x4ym0． (1) 求实数m的取值范围； (2) 若直线l:x y20被圆C所截得的弦长为 2，求实数m的值． 19．已知抛物线y2 x与直线xmy1相交于A、B两点，O为坐标原点． (1) 求证：OAOB； (2) 当S  10 时，求m的值． AOB 2820．已知圆C:x2  y2 6x4y90，A是圆C上一动点，点B(3,0)，M为线段AB的中点． (1) 求动点M的轨迹方程； (2) 记M的轨迹为曲线E，过点N(1,3)的点线l与曲线E有且只有一个交点，求直线l的方程． x2 y2 2 21．如图，椭圆C:  1ab0的离心率为 ，其长轴的两个端点与短轴的一个端点构成的三角 a2 b2 2 形的面积为2 2． (1) 求椭圆C的标准方程；     (2) 过点M1,0的直线l交C于A、B两点，交直线x4于点P．若PAAM ，PBBM ，证明：为 定值，并求出这个定值． y2 22．如图，双曲线:x2  1m1，过原点O的直线l ,l 与双曲线分别交于A、C、B、D四点，且l l ． m2 1 2 1 2 (1) 若m 3，P为双曲线的右顶点，记直线PA、PB、PC、PD的斜率分别为k 、k 、k 、k ，求kk k k 1 2 3 4 1 2 3 4 的值； (2) 求四边形ABCD面积的取值范围． 29重庆市第八中学校2023-2024学年高二上学期期中数学试题 一、单选题 1．已知i是虚数单位，若复数z满足：z  1i3 1i，则 z （ ） A．i B．1 C．i D．0 x2 y2 3 2．若椭圆C:  1的离心率为 ，则m（ ） m 2 3 2 8 4 4 8 A．3或 B． C．3或 D． 或 3 3 3 3 3 3．“直线3x4ym0与圆x2  y2 2x0相切”是“m8”的（ ）条件． A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要      4．已知D，E分别为ABC的边BC，AC的中点，且ADa，BEb，则BC为（ ） 4  2  2  2  2  4  2  4  A． a b B． a b C． a b D． b a 3 3 3 3 3 3 3 3 5．若曲线C上存在点M，使M到平面内两点A5,0,B5,0距离之差的绝对值为8，则称曲线C为“好曲 线”．以下曲线不是“好曲线”的是（ ） x2 y2 A．x y5 B．  1 C．x2  y2 16 D．x2 16y 9 4 6．如图所示，双曲线型冷却塔的外形，是离心率为3的双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面，已 知该冷却塔的上口半径为3cm，下口半径为4cm，高为8cm（数据以外壁即冷却塔外侧表面计算），则冷 却塔的最小直径为（ ） 574 287 574 287 A． cm B． cm C． cm D． cm 8 8 4 4 7．已知点M是圆x2  y2 1上的动点，点N是圆x52 y22 16上的动点，点P在直线x y50 上运动，则 PM  PN 的最小值为（ ） A． 1395 B． 1495 C． 1395 D． 1495 x2 y2 8．点F,F 分别为椭圆C:  1(ab0)的左、右焦点，点P，Q为C上关于坐标原点对称的两点， 1 2 a2 b2 1 PQ |FF |，△PFQ的面积为 a2，e为椭圆的离心率，则e2为（ ） 1 2 1 8 7 7 7 7 A． B． C． D． 8 10 9 12 30二、多选题 9．若三条不同的直线l :mx2ym40,l :x y10,l :3x y50能围成一个三角形，则m的 1 2 3 取值不可能为（ ） A．2 B．6 C．3 D．1 x2 y2 10．椭圆C:  1(ab0)的左、右焦点分别为F ，F ，过F 的直线l与C交于P，Q两点，且点 a2 b2 1 2 2 Q在第四象限，若 FQ : FQ : PQ 5:1:4，则（ ） 1 2 2 A．PFF 为等腰直角三角形 B．C的离心率等于 1 2 2 a2 2 C．QFF 的面积等于 D．直线l的斜率为 1 2 6 2 11．如图，已知E，F分别是正方体ABCDABCD 的棱BC和CD的中点，则（ ） 1 1 1 1 A．AE与BD 是异面直线 1 1 1 2π B．BC与EF所成角的大小为 1 3 3 C．AF 与平面BEB所成角的正弦值为 1 1 3 6 D．二面角CDB B的余弦值为 1 1 3 12．已知抛物线C:y2 2pxp0的焦点坐标F1,0，圆E:x12  y2 1，直线ykx1与C交 于A，B两点，与E交于M，N两点（A，M在第一象限），O为坐标原点，则下列说法中正确的是（ ）   A．OAOB0 B．若 AB 4 MN ，则k 1     C．OM ON OAOB D． AM  BN 1 三、填空题  π     13．已知向量a，b夹角为 ，且|a|1，|b| 2，则 2ab  ． 4 14．直线l:ykx3与曲线C: 1(y2)2 x1有两个交点，则实数k的取值范围是 ． 15．过抛物线y2 4x上的点P1,t且与圆x22  y2 1有且只有一个公共点的直线有 条． 16．贵州榕江“村超”火爆全网，引起旅游爱好者、社会名流等的广泛关注．足球最早起源于我国古代“蹴 鞠”，被列为国家级非物质文化，蹴即踢，鞠即球，北宋《宋太祖蹴鞠图》描绘太祖、太宗蹴鞠的场景．已 知某“鞠”的表面上有四个点A、B、C、D，连接这四点构成三棱锥A-BCD如图所示，顶点A在底面的射 3 影落在△BCD内，它的体积为 ，其中△BCD和ABC都是边长为2的正三角形，则该“鞠”的表面积 2 为 ． 31四、解答题 17．如图，S为圆锥顶点，O是圆锥点面圆的圆心，AB，CD为底面圆的两条直径，ABCDO 如图，S为圆锥顶点，O是圆锥底面圆的圆心，AB，CD为底面圆的两条直径，ABCDO，且𝑆𝑂 (cid:3404)3， 5 P为母线SB上一点，SPPB ． 2 (1) 求证：SA//平面PCD； (2) 求圆锥SO的体积． 18．已知过抛物线C:y2 2pxp0的焦点，斜率为1的直线交抛物线于.A(x,y ),B(x ,y ).，且 1 1 2 2 AB 8． (1) 求该抛物线的方程； (2) 在抛物线C上求一点D，使得点D到直线x y30的距离最短． 19．在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，点D在边BC上，且点D是靠近C的三等分点， DAB90． (1) 若B45，△ADC的面积为1，求b； tanA (2) 求 的值． tanB 321 20．如图1，四边形ABCD是梯形，AB//CD，ADDCCB AB4，点M在AB上，AM MB，将 2 △ADM 沿DM折起至ADM ，如图2，点N在线段AC上． (1) 若AC2NC，求证：平面DNM 平面ABC ； 5 AN (2) 若AC 2 6，平面DNM与平面CDM夹角的正弦值为 ，求 值． 5 AC x2 y2 3 21．椭圆C:  1(ab0)的离心率为 ，过椭圆焦点并且垂直于长轴的弦长度为1． a2 b2 2 (1) 求椭圆C的标准方程； (2) 若直线l与椭圆C相交于A，B两点，与y轴相交于M(0,m)点，若存在实数m，使得    OA3OB4OM ，求m的取值范围． x2 y2 22．已知双曲线E:  1(a0,b0)的渐近线为yx，左焦点为F，左顶点M到双曲线E的渐近 a2 b2 线的距离为1，过原点的直线与双曲线E的左、右支分别交于点C、B，直线FB与双曲线E的左支交于点 A，直线FC与双曲线E的右支交于点D． (1) 求双曲线E的方程； (2) 求证：直线AD过定点． 33重庆市巴蜀中学2023-2024学年高二上学期期中考试数学试卷 一、单选题 x2 y2 1．椭圆E：  1的左右焦点分别是F ，F ，P在椭圆E上，且 PF 2，则 PF （ ） 9 8 1 2 1 2 A．7 B．6 C．5 D．4 2．直线3xmy2m0平分圆C：x2 2x y2 2y0，则m（ ） 3 A． B．1 C．-1 D．-3 2 x2 y2 3．双曲线E：  1a0,b0的一条渐近线方程是y2x，则E的离心率是（ ） a2 b2 A．5 B． 5 C．2 D． 2 4．正方体ABCDABCD 中，M，N分别是AD ，BC 的中点，则异面直线AM 与CN 所成角的余弦值 1 1 1 1 1 1 1 1 为（ ） 3 4 2 5 A． B． C． D． 5 5 3 3 5．已知M2,0，圆C: x2 4x y2 0，动圆P经过M点且与圆C相切，则动圆圆心P的轨迹方程是（ ） A．x2  y2 1x1 B． x2  y2 1  x 3  3 3 y2 x2 C．x2  1 D．  y2 1 3 3   6．已知三棱锥ABCD，E，F分别是AB，CD的中点，G在BC上且满足：BG3GC，过E，F，G三点 的平面与AD相交于点H，则AH:HD（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 7．已知抛物线C：y2 4x上一点Px ,y ，点A  3, 21  ，则 y 0 2 2 PA 的最小值是（ ） 0 0 2 A．10 B．8 C．5 D．4 x2 y2 8．已知椭圆E：  1，A，B是左右顶点，P，Q在椭圆E上，满足k 2k ，则直线PQ恒过定点 4 2 PA QB （ ） A．   2,0  B．1,0 C．   2 ,0   D．  2,0   3  二、多选题 9．直线l：3x4y50，圆M：x22 y12 16，P是圆M上的动点，则（ ） A．过M且与直线l垂直的直线方程为3x4y20； B．直线l与圆M相交 C．点P到直线l的距离最大值是5； D．点P到直线l的距离最小值是1 34x2 10．椭圆E：  y2 1的左右焦点分别为F ，F ，O是坐标原点，Px ,y 是椭圆E上一点，则（ ） 5 1 2 0 0 A．PFF 的周长是2 54 B．当PF PF 时，PFF 面积最大 1 2 1 2 1 2 C． OP 的最大值是5 D．当x2  y2 4时，PFF 面积为1 0 0 1 2 11．设O是坐标原点，直线ykx2k 0经过抛物线C：y2 2px的焦点F，且与C交于A，B西点，△OAF 是以OF 为底边的等腰三角形，l是抛物线C的准线，则（ ） A．以AB直径的圆与准线l相切 B．k  2   C．BF 2FA D．△OAB的面积是6 2 12．如图，四棱柱ABCDABCD 底面ABCD是边长为2的正方形，侧棱AA 底面ABCD，且AA 2 2， 1 1 1 1 1 1 P是线段BD 上一点（包含端点），Q在四边形ADDA 内运动（包含边界），则下列说法正确的是（ ） 1 1 1 A．该四棱柱能装下球的最大半径是1 6 B．点P到直线AB 的距离最小值是 1 1 3 C．若P为BD 中点，且AQCP，则Q的轨迹长度为 6 1 D．PCPQ的最小值是3 三、填空题 13．倾斜角为135且经过点(2,1)的直线方程是 . 13 14．圆C ：x12  y2 1与圆C ： 的公共弦长是 1 2 3 15．已知三棱锥SABC中，SA平面ABC，且SA AC 2 3，三棱锥SABC的外接球表面积为24， 则三棱锥SABC的体积最大值是 . x2 y2 16．双曲线E：  1，过P4,tt0作直线l交双曲线于A，B两点，若不存在直线l使得P是线段AB 4 12 的中点，则t的取值范围是 . 35四、解答题 17．已知直线m2xm3y73m0mR过定点P，圆C经过P点且与x轴和y轴正半轴都相切. (1)求定点P的坐标； (2)求圆C的方程. 18．如图正方体ABCDABCD 的棱长为2，E是棱BC 的中点，过ADE的平面与棱BB 相交于点F. 1 1 1 1 1 1 1 1 (1)求证：F是BB 的中点； 1 (2)求点D到平面ADE的距离. 1 x2 y2 19．已知双曲线E：  1a0,b0的左右焦点分别为F ，F ，F 到其中一条渐近线的距离为1， a2 b2 1 2 1 过F 且垂直于x轴的直线交双曲线于A，B，且 AB 1. 1 (1)求E的方程； (2)过Q4,0的直线l交曲线E于M，N两点若 MN 4，求直线l的方程 3620．如图，A，C在以PB4为直径的球上，ABBC，M是PB的中点. (1)求证：平面MAC平面ABC； (2)若AB2，BC 2 2，求平面ABP与平面BCP夹角的余弦值. x2 y2 21．已知抛物线C：y2 2pxp0与椭圆  1有公共的焦点. 5 4 (1)求抛物线C的方程； (2)过Q3,2的直线l交抛物线C于A，B两点，试问在抛物线C上是否存在定点P，使得直线PA，PB的 斜率存在且非零时，满足两直线的斜率之积为1，若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由. x2 y2 22．已知椭圆E：  1ab0的焦点分别为F ，F ，过左焦点F 的直线与椭圆交于M，N两点， a2 b2 1 2 1 MNF 的周长为4 FF . 2 1 2 (1)求椭圆E的离心率； (2)直线l：ykx4与椭圆有两个不同的交点A，B，直线l与x轴的交点为D，若A，B都在x轴上方且点 S A在线段DB上，O为坐标原点，△AOD和BOD面积分别为S ，S ，记 2 ，当满足条件的实数k变 1 2 S 1  5 化时，的取值范围是 1,  ，求椭圆E的方程.  3 37重庆市第一中学校2023-2024学年高二上学期11月月考数学试题 一、单选题 x2 y2 x2 y2 1．曲线  1与曲线  1（k9且k 0）的（ ） 25 9 9k 25k A．长轴长相等 B．短轴长相等 C．焦距相等 D．离心率相等 2．以A(1,3)和B(5,1)为端点的线段AB的垂直平分线方程是 A．3x y80 B．3x y40 C．2x y60 D．3x y80       3．平面向量a与b相互垂直，已知a(6,8)， b 5，且b与向量(1，0) 的夹角是钝角，则b=（ ） A．(3,4) B．(4,3) C．(4,3) D．(4,3) x2 y2 4．已知椭圆C：  1的左右焦点分别为F ，F ，P为C上任意一点．I为三角形PFF 的内心，则I 4 3 1 2 1 2 恒在（ ）上 A．离心率比C小的椭圆 B．离心率比C大的椭圆 C．直线 D．双曲线 5．古典吉他的示意图如图所示．A ,B分别是上弦枕、下弦枕，Ai1,2,,19是第i品丝．记a 为A与A 0 i i i i1 X L 的距离，L为A与A 的距离，且满足a  L i1,i1,2,,19，其中X 为弦长（A 与B的距离），M 为 i i 0 i M L 0 大于1的常数，并规定L 0．则（ ） 0 X A．数列a,a ,,a 是等差数列，且公差为 L 1 2 19 M2 M 1 B．数列a,a ,,a 是等比数列，且公比为 1 2 19 M 2M 1 C．数列L,L ,,L 是等比数列，且公比为 1 2 19 M M 1X D．数列L,L ,,L 是等差数列，且公差为 L 1 2 19 M2 1 n1a 6．已知数列a 满足a  ，a  n ，a aa aa a mmR恒成立，则m的最小值 n 1 3 n1 a n 1 1 2 1 2 n n 为（ ） 2 A．3 B．2 C．1 D． 3 3 7．已知数列 a 满足：a  ，a a 3n，a a 913n，则a （ ） n 1 8 n2 n n6 n 2023 32023 3 32023 3 32023 32023 A．  B．  C． D． 2 2 8 2 8 2 38x2 y2 8．已知O为坐标原点，椭圆E：  1(ab0)，平行四边形OACB的三个顶点A，B，C在椭圆E a2 b2 1 3 6 上，若直线AB和OC的斜率乘积为 ，四边形OACB的面积为 ，则椭圆E的方程为（ ） 2 2 x2 y2 x2 y2 A．  1 B．  1 8 4 6 3 x2 y2 x2 C．  1 D．  y2 1 4 2 2 二、多选题 9．记S 为公差d不为0的等差数列a 的前n项和，则（ ）. n n A．S ，S S ，S S 成等差数列 3 6 3 9 6 S S S B． 3 ， 6 ， 9 成等差数列 3 6 9 C．S 2S S 9 6 3 D．S 3S S  9 6 3 10．A，B，C，D是半径已知的某球体表面上不共面的四点，且AB恰为该球体的一条直径，现已知AC和CD 的长，在一般情况下，若再加入一个条件就能使四面体ABCD的体积有唯一值，则该条件可以是（ ） A．CD⊥AB B．BD的长 C．二面角C－AB－D的大小 D．直线CD与平面ABC所成角的大小 x2 y2 11．已知直线l:ykxm与椭圆C:  1交于A,B两点，点F 为椭圆C的下焦点，则下列结论正确 3 4 的是（ ）     A．当m1时，kR，使得 FA  FB 3 B．当m1时，kR， FAFB 2     6 C．当k 1时，mR，使得 FA  FB 4 D．当k 1时，mR， FAFB  5 12．已知抛物线C:y2 x的焦点为F ，准线交x轴于点D，过点F 作倾斜角为（为锐角）的直线交抛 物线于A,B两点（其中点A在第一象限）.如图，把平面ADF沿x轴折起，使平面ADF 平面BDF ，则以 下选项正确的为（ ） 1 A．折叠前△ABD的面积的最大值为 4 B．折叠前DF平分ADB 1 C．折叠后三棱锥V 体积为定值 BADF 48 D．折叠后异面直线AD,BF 所成角随的增大而增大 三、填空题 13．设O :x2  y2 1与O :x2 (y2)2 4相交于A,B两点，则 AB  ． 1 2 39x2 14．已知Ax,y ，Bx ,y 是椭圆C：  y2 1上两个动点，满足xx 4y y 0，O为坐标原点，则 1 1 2 2 4 1 2 1 2 OA2  OB2  ． 15．设S 为数列a 的前n项和，S 2a 1  nN*，则S S S  ． n n n n 1 2 100  16．定义向量a cosnx,sinnx，其中nN，x0,，若存在实数t，使得对任意的正整数n，都有 n,x   6 2 a a  成立，则x的最小值是 . n,x 1,t 2 四、解答题 17．已知无穷等比数列a 的各项均为整数，其前n项和为S ,a 3,a a 10． n n 2 1 3 (1) 求a 的通项公式； n (2) 证明：对kN*,3S ,2S ,S 这三个数成等差数列． k k1 k2 18．已知各项均为正数的数列a 满足：a 2，a2 a a 2a ． n 1 n1 n n1 n (1) 求数列a 的通项公式； n n (2) 若b 1a sin  nN*，记数列b 的前n项和为T ，求T ． n n 2 n n 2024 19．在斜三角形ABC中，内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c，已知cosCBsinAcosCAsinB． (1) 证明：AB； 1 1 1 (2) 若 sinB，求  的最小值． c c2 a2 40x2 x2 y2 20．已知O为坐标原点，曲线C ：  y2 1a0和曲线C ：  1有公共点，直线l ：yk xb 1 a2 2 4 2 1 1 1 与曲线C 的左支相交于A、B两点，线段AB的中点为M． 1 (1) 若曲线C 和C 有且仅有两个公共点，求曲线C 的离心率和渐近线方程； 1 2 1   (2) 若直线OM经过曲线C 上的点T 2,1 ，且a2为正整数，求a的值； 2 x2 y2 21．已知椭圆C:  1(ab0)的左、右焦点分别为F ，F ，动直线l过F 且与椭圆C相交于A,B a2 b2 1 2 2 7a 两点，且|AF ||BF |的最大值为 ． 1 1 2 (1) 求椭圆C的离心率； (2) 如图，已知Px ,y y 0为抛物线E:x2 4by上一点，l为抛物线E在点P处的切线，l与椭圆C 0 0 0 a 有两个不同的交点M，N，当以MN为直径的圆过原点O时，求 ． y 0 1 1 22．已知数列a 满足a a 0且a  na  ． n n1 n n a n a n n (1) 若a 为等差数列，求其前n项和； n (2) 若存在m2  mN*，使得对任意的nN*，a ma 恒成立，证明a 是等差数列． mn n n 41重庆市第八中学校2023-2024学年高二上学期第二次月考数学试题 一、单选题 1．对某班的第一学月数学成绩排名进行抽样调查得到样本数据：10，21，23，24，27，37，41，47，52， 57，此样本数据中的下四分位数为（ ） A．21 B．23 C．41 D．47 2．已知甲、乙两位同学在一次射击练习中各射靶10次，射中环数频率分布如图所示： 令x ，x 分别表示甲、乙射中环数的均值；s2 ，s2 分别表示甲、乙射中环数的方差，则（ ） 甲 乙 甲 乙 A．x x ，s2 s2 B．x x ，s2 s2 甲 乙 甲 乙 甲 乙 甲 乙 C．x x ，s2 s2 D．x x ，s2 s2 甲 乙 甲 乙 甲 乙 甲 乙 1 2 3．某家族有X ，Y两种不同的遗传性状，该家族某成员出现X 性状的概率为 ，出现Y性状的概率为 ， 3 15 3 X ，Y两种性状都不出现的概率为 ，则该成员X ，Y两种性状都出现的概率为（ ） 5 1 1 2 4 A． B． C． D． 15 10 15 15 4．已知A，B，C，D四个开关控制着1，2，3，4号四盏灯，只要打开开关A则1，4号灯就会亮，只要 打开开关B则2，3号灯就会亮，只要打开开关C则3，4号灯就会亮，只要打开开关D则2，4号灯就会亮. 开始时，A，B，C，D四个开关均未打开，四盏灯也都没亮.现随意打开A，B，C，D这四个开关中 的两个不同的开关，则其中2号灯灯亮的概率为（ ） 1 1 1 5 A． B． C． D． 6 3 2 6 5．已知等差数列a 为递增数列，且满足a a 34，a a 280，则其通项公式为（ ） n 3 7 4 6 A．a 6n10 B．𝑎 (cid:3404)3𝑛(cid:3397)2 n (cid:3041) C．a 2n7 D．a n10 n n 426．已知抛物线y2 6x，过点P2,3引抛物线的一条弦，使它恰在点P处被平分，则这条弦所在的直线l 的方程为（ ） A．x y50 B．x y10 C．2x y70 D．x2y40 7．如图，设F 、F 分别是椭圆的左、右焦点，点P是以FF 为直径的圆与椭圆在第一象限内的一个交点， 1 2 1 2 延长PF 与椭圆交于点Q，若 PF 4QF ，则直线PF 的斜率为（ ） 2 1 2 2 1 A． B．1 C．2 D．3 2 8．已知点P在圆O:x2  y2 2上运动，若对任意点P，在直线l:x y40上均存在两点A，B，使得  APB 恒成立，则线段AB长度的最小值是（ ） 2 A．2 21 B．2 21 C．3 2 D．6 2 二、多选题 9．某国有企业响应国家关于进一步深化改革，加强内循环的号召，不断自主创新提升产业技术水平，同 时积极调整企业旗下的甲、乙、丙、丁、戊等5种系列产品的结构比例，近年来取得了显著效果.据悉该企 业2021年5种系列产品年总收入是2020年的2倍，其中5种系列产品的年收入构成比例如图所示.则以下说法 正确的是（ ） A．2021年甲系列产品收入和2020年的一样多 B．2021年乙和丙系列产品收入之和比2020年的企业年总收入还多 1 C．2021年丁系列产品收入是2020年丁系列产品收入的 3 D．2021年戊系列产品收入是2020年戊系列产品收入的2倍还多 4310．已知高二某班共51名同学，某次地理测试班级最高分为150分，最低分为50分，现将所有同学本次测 试的原始成绩经过公式yaxb进行折算，其中x为原始成绩，y为折算成绩，折算后班级最高分仍为150 分，最低分为80分，则下列说法正确的是（ ） A．若某同学本次测试的原始成绩为100分，则其折算成绩为115分 B．将原始成绩和折算成绩分别从小到大依次排序后，它们的中位数的序号相同 C．班级折算成绩的方差可能等于原始成绩的方差 D．班级折算成绩的平均值高于原始成绩的平均值 11．A，B两组各有2名男生、2名女生，从A，B两组中各随机选出1名同学参加演讲比赛.甲表示事件“从A 组中选出的是男生小明”，乙表示事件“从B组中选出的是1名男生”，丙表示事件“从A，B两组中选出的是2 名男生”，丁表示事件“从A，B两组中选出的是1名男生和1名女生”，则（ ） A．甲与乙互斥 B．丙与丁互斥 C．甲与乙相互独立 D．乙与丁相互独立 x2 12．已知F 、F 分别为双曲线C:  y2 1的左、右焦点，过C右支上一点Ax ,y x 2作FAF 的 1 2 4 0 0 0 1 2 角平分线l交x轴于M，交y轴于点N，则（ ）  4  A． AF  MF  AF  MF B．点M的坐标为 ,0 1 2 2 1 x  0  1  C．点N的坐标为0,  D．四边形AFNF 面积的最小值为2 5  x  1 2 0 三、填空题 13．采取随机模拟的方法估计某型号防空导弹击中目标的概率，先由计算器算出0到9之间取整数值的随机 数，指定1，2，3，4表示击中目标，5，6，7，8，9，0表示未击中目标，以三个随机数为一组，代表三次 发射的结果，经随机数模拟产生了20组随机数： 107 956 181 935 271 832 612 458 329 683 331 257 393 027 556 498 730 113 537 989 根据以上数据，估计该型号防空导弹三次发射至少有一次击中目标的概率为 . 14．已知数列a 的通项公式为a n2 n，且a 为递减数列，则实数的取值范围是 . n n n 15．已知A3,0，B0,3，从点P0,1射出的光线经x轴反射到直线AB上，又经过直线AB反射到P点， 则光线所经过的路程为 . x2 y2    16．已知椭圆C:  1的右焦点为F ，过点F 作倾斜角为0,  的直线交椭圆C于A，B两 4 3   2 PF 点，弦AB的垂直平分线交x轴于点P，则  . AB 44四、解答题 17．某校为丰富教职工业余文化活动，在教师节活动中举办了“三神杯”比赛，现甲乙两组进入到决赛阶段， 1 决赛采用三局两胜制决出冠军，假设每局比赛没有平局且每一局比赛中甲组获胜的概率为 . 2 (1) 求甲组最终获得冠军的概率； (2) 已知冠军奖品为28个篮球，在甲组第一局获胜后，比赛被迫取消，奖品分配方案是：如果比赛继续进 行下去，按照甲乙两组各自获胜的概率分配篮球，请问按此方案，甲组、乙组分别可获得多少个篮球？ 18．在平面直角坐标系中，已知圆C:x2  y2 4x8y120，圆N过原点O及点A2,0且直线CN 的  一个方向向量为m1,1. (1) 求圆N的标准方程； (2) 若过点A的直线l被两圆截得的弦长相等，求直线l的方程. 15 19．如图，直三棱柱ABCABC 体积为2 3，E为BC的中点，AEC 的面积为 . 1 1 1 1 2 (1) 求C到平面AEC 的距离； 1 1 (2) 若CE CC ，平面CCE 平面AEC ，求直线AE与平面AEC 所成角的正弦值. 2 1 1 1 1 1 4520．某单位举办了一次“一带一路”知识竞赛，满分100分（95分及以上为认知程度高），结果认知程度高的 有100人，按年龄分成5组，其中第一组：20,25，第二组：25,30，第三组：30,35，第四组：35,40， 第五组：40,45，得到如图所示的频率分布直方图. (1) 根据频率分布直方图，估计年龄落在区间30,45内的人的年龄的平均数（结果保留一位小数）； (2) 若这100人的原始数据中第三组的年龄的平均数与方差分别为33和2，第四组的年龄的平均数与方差分 5 别为37和 ，第五组的年龄的平均数与方差分别为43和1. 2 ①据此计算这100人中30~45岁所有人的年龄的平均数与方差. ②将所得平均数与（1）中平均数的估计值作比较，解释其有差异的原因. 21．点Px,yx0到定点F2,0的距离和它到定直线l:x1的距离之比为 2. (1) 点P的轨迹方程C； 4 7 (2) 设直线l与x轴的交点为M ，延长PF交曲线C于另一点Q，若tanPMQ ，求PMQ的面积. 3 171 22．已知点M1,0及抛物线E:x2 2pyp0上一点Px ,y 满足y  PM 的最小值为 . 0 0 0 4 (1) 求 p； (2) 过点N1,1作两条直线分别交抛物线E于点P，Q，并且都与动圆C相切，若直线PQ经过点M ， 求 MC 的最小值. 46重庆市第一中学校2023-2024学年高二上学期12月定时练习数学试题 一、单选题 eax 1 1．已知 f(x) (a0)是奇函数，则 f(x)在x0处的切线方程是（ ） ex A．y0 B．yx C．y2x D．yex f x  f x  2．定义域为R的函数 f x关于x1对称，且当x x 1时， 2 1 0恒成立，设 2 1 x x 2 1  π 2 a f sin  ，b f   ，c f 2，则（ ）  3 3 A．cab B．cba C．acb D．bca 3．已知S 是等差数列a 的前n项和，且S S ，且a a a a 0，则S 的最大值为（ ） n n 15 10 1 14 15 19 n A．S B．S C．S D．S 12 13 14 15 二、多选题 4．已知函数 f x及其导函数 fx的定义域均为R ，且 fx f xx2e2x， f 00，则 f x（ ） A．不可能在定义域内单调递增 B．有一个极小值点 C．无极大值点 D．无极小值点 三、单选题 5．设a 为等比数列，则“对于任意的nN*，a a ”是“a 为递减数列”的（ ） n n2 n n A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 6．设nN*，圆C ：x2  y2 R2（R 0）与y轴正半轴的交点为P ，与曲线y x 的交点为Q x ,y ， n n n n n n n 直线PQ 与x轴的交点为Aa ,0，若数列x 的通项公式为x 4n 1，要使数列a  pa 成等比数 n n n n n n1 n 列，则常数 p的值为（ ） A．2 B．1 C．1或2 D．2或4              7．已知 a  3， b 1，ab 0， ca  ca 4，d2 4bd 30，则 cd 的最大值为（ ） 2 21 4 21 31 A． 1 B．4 C． 2 D． 3 3 3  π 8．已知函数 f x Asinx0，记 f x的导函数为 fx， f x在区间 0,  上单调，且  2  π π  1 1 π  f   f  0，记gx  f x f   f x f   ，则gx在区间  ,π 上的零点个数为（ ）  2 4  2 6 2  A．0 B．0或1 C．0或2 D．1或2 47四、多选题 S  9．已知数列a 各项均为正数，S 为数列a 的前n项和，且 n是公差为ddR的等差数列，nN*， n n n a  n 下列命题正确的是（ ） 1 A．若a 为等比数列，则d 1 B．若d  ，则a 为等差数列 n 2 n C．若d 1，则a 为递减数列 D．若d 1，则na 为递增数列 n n  1 x 10．已知曲线C：y 3   是双曲线，下列说法正确的是（ ） 2x 3 A．直线x0是曲线C的一条渐近线 B．曲线C的实轴长为 3   C． 1, 3 为曲线C的其中一个焦点 D．当t为任意实数时，直线l：yxt与曲线C恒有两个交点 11．设函数 f x2x axb（a，bR），下列命题正确的是（ ） A．若 f x存在负零点，则b1 B．若a<0，则 f x有且只有一个零点 C．若 f x有且只有两个正零点，则b1 D．若ab10且 f x存在零点，则 f x的零点都是正的 1 12．已知函数 f x1是偶函数，且 f 2xf x．当x0,1时，f xxcos ，则下列说法正确的 x 是（ ） A． f x是奇函数 4π1 6π1 B． f x在区间  ,  上有且只有一个零点  π π   6  C． f x在  ,1 上单调递增 5π  1  D． f x区间  ,1 上有且只有一个极值点 π  五、填空题 13．曲线C:x2  y2  x y 围成的封闭图形的面积为 ，若直线ykx2与C恰有两个公共点， 则k的取值范围为 . 14．已知函数 f x x3 3ax2aR在xx ，xx 处分别取得极大值和极小值，记点Ax, f x ， 1 2 1 1 Bx , f x ， f x的图象与x轴正半轴的交点为C.若ABC的外接圆的圆心P在以AB为直径的圆上， 2 2 则a . 4815．已知数列a 和b 都是等差数列，a b 2，a b ，a b a ，设集合A  x xa ,nN  ， n n 1 1 4 3 5 2 3 n B  x xb ,nN  ，C  AB，若将集合C中的元素从小到大排列，形成一个新数列c ．则数列c  n n n 的前20项和为 ．   16．设双曲线的中心为O，右焦点为F，点B满足2FBOF ．若在的右支上存在一点A，使得|OA||OF| 且OAB3OBA，则离心率的取值范围为 ． 六、解答题 17．图1是由矩形ACC A 、等边ABC和平行四边形ABB A 组成的一个平面图形，其中AB2， 1 1 1 2 AA  AA 1，N为AC 的中点.将其沿AC，AB折起使得AA 与AA 重合，连结BC ，BN，如图2. 1 2 1 1 1 2 1 1 (1) 证明：在图2中，ACBN，且B，C，C ，B 四点共面； 1 1 1 (2) 在图2中，若二面角A ACB的大小为，且tan ，求直线AB与平面BCCB 所成角的正弦值. 1 2 1 1 18．已知焦点为F 的抛物线C ：x2 2py(p0)，圆C ：x2  y2 1，直线l与抛物线相切于点P，与圆 1 2 相切于点Q． (1) 当直线l的方程为x y 2 0时，求抛物线C 的方程； 1 S (2) 记S ,S 分别为FPQ,FOQ,的面积，求 1 的最小值． 1 2 S 2 4919．已知数列a 的各项都是正数，S 为a 的前n项和，且对任意nN*都有a3 a3 a3 S2 2S n n n 1 2 n n n (1) 求数列a 的通项公式； n (2) 若b 1 3 ，c  2an ，证明：b 中有且仅有一项在c 中． n S n 2an1a n n n n x2 y2 6 20．已知椭圆E:  1ab0的离心率为 ，F 、F 分别是左、右焦点，P、Q为椭圆上的任 a2 b2 3 1 2 3 10 意两点，当P固定为上顶点时，线段PQ长度的最大值为 ． 10 (1) 求椭圆E的标准方程； 1 (2) 若P、Q均在x轴上方，圆x2  y2  上是否存在点S，使得P、S、F 三点共线，Q、S、F 三点 4 2 1 共线，且PF//QF ，请说明理由． 1 2 21．已知函数 f xx1cosx1，x0,π． (1) 证明： f x有唯一零点； (2) 记 f x的零点为x ，函数gxx1lnx1cosxa1x，若gx在区间0,π有两个极值点， 0 x2 证明：0a 0 2 sin2 x 22．设函数 f x ax2 1，其中0 x π． x2 (1) 若a0，讨论 f x的单调性； (2) 若存在 p,q满足 p0q且 pq0，使得 f p f q，求实数a的取值范围． 50重庆市第八中学校2023-2024学年高二上学期1月月考数学试题 一、单选题 1．若函数 f(x)满足 f(x1)(ex ex)sinx，则 f(1)（ ） A．0 B．1 C．2 D．-1 2．已知 f xx1xaxb为奇函数，则y f x在x0处的切线方程为（ ） A．x y0 B．x y0 C．3x y0 D．3x y0 3．设、是两个不同的平面，直线m，则“对内的任意直线l，都有ml ”是“”的（ ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 4．已知a 为等差数列，a 3，a a 10.若数列b 满足b a a n1,2,，记b 的前n项 n 1 4 6 n n n n1 n 和为S ，则S （ ） n 8 A．32 B．80 C．192 D．224 a 5．已知a 是公比为qq1的等比数列，S 为其前n项和.若对任意的nN*，S  1 恒成立，则（ ） n n n 1q A．a 是递增数列 B．a 是递减数列 n n C．S 是递增数列 D．S 是递减数列 n n 6．已知曲线yx2 2mxm1与x轴交于不同的两点A，B，与y轴交于点C，则过A，B，C（A，B，C均 不重合）三点的圆的半径不可能为（ ） 5 2 5 A． B． C．1 D．2 5 5 7．已知正项等比数列a 的前n项和为S ，且S 2S 6，则a a a a 的最小值为（ ） n n 8 4 9 10 11 12 A．10 B．14 C．20 D．24 51x2 y2 8．设F,F 分别为椭圆C:  1(ab0)的左，右焦点，以F 为圆心且过F 的圆与x轴交于另一点P， 1 2 a2 b2 1 2 与y轴交于点Q，线段QF 与C交于点A．已知APF 与QFF 的面积之比为3:2，则该椭圆的离心率为（ ） 2 2 1 2 2 31 A． B． 133 C． 31 D． 3 4 二、多选题 9．普林斯顿大学的康威教授于1986年发现了一类有趣的数列并命名为“外观数列”（Lookandsaysequence）， 该数列由正整数构成，后一项是前一项的“外观描述”.例如：取第一项为1，将其外观描述为“1个1”，则第 二项为11；将11描述为“2个1”，则第三项为21；将21描述为“1个2，1个1”，则第四项为1211；将1211描述 为“1个1，1个2，2个1”，则第五项为111221,，这样每次从左到右将连续的相同数字合并起来描述，给定 首项即可依次推出数列后面的项.则对于外观数列a ，则（ ） n A．若a 3，则从a 开始出现数字2； 1 4 B．若a kk 1,2,3,,9，则a  nN*的最后一个数字均为k； 1 n C．a 可能既是等差数列又是等比数列； n D．若a 123，则a  nN*均不包含数字4. 1 n 10．设抛物线C：yx2的焦点为F，过抛物线C上不同的两点A，B分别作C的切线，两条切线的交点为P， AB的中点为Q，则（ ） A．PQ x轴 B．PF  AB C．∠𝑃𝐹𝐴 (cid:3404)∠𝑃𝐹𝐵 D． AF  BF 2 PF a 11．已知 f xlnxax 有两个不同的极值点x,x ，则（ ） x 1 2 x x  A．x x 2 B． f 1 2 0   1 2  2  f x  f x  C． f x  f x 0 D． 1 2 12a 1 2 x x 1 2 三、填空题 12．若直线ykx是曲线yalnx的切线，也是曲线yex的切线，则a ． 5213．若数列a 满足a a 1，a a a n2（nN*），则a  . n 1 2 n n＋1 n＋2 100 14．若函数 f x2xsinxa在,上存在唯一的零点x ，函数gxx2 cosxaxa在,上 1 存在唯一的零点x ，且x x ，则实数a的取值范围为 ． 2 1 2 四、解答题 15．已知函数 f x2ex a  x2 x 在R 上是增函数.(a0,e为自然对数的底数) (1) 求实数a的取值范围； 1 1e2 1en (2) 证明：  n2 (n1)2 (3n1)2，其中nN* e 4n2   16．类似平面解析几何中的曲线与方程，在空间直角坐标系中，可以定义曲面（含平面）S的方程，若曲 面S和三元方程 Fx,y,z0之间满足：①曲面S上任意一点的坐标均为三元方程Fx,y,z0的解；②以三元方程 Fx,y,z0的任意解x ,y ,z 为坐标的点均在曲面S上，则称曲面S的方程为Fx,y,z0，方程 0 0 0 x2 y2 z2 Fx,y,z0的曲面为S.已知曲面C的方程为   1. 1 1 4  (1) 已知直线l过曲面C上一点Q1,1,2，以d 2,0,4为方向向量，求证：直线l在曲面C上（即l上 任意一点均在曲面C上）； (2) 已知曲面C可视为平面xOz中某双曲线的一支绕z轴旋转一周所得的旋转面；同时，过曲面C上任意   一点，有且仅有两条直线，使得它们均在曲面C上.设直线l在曲面C上，且过点T 2,0,2 ，求异面直线 l与l所成角的余弦值. 53x2 17．已知椭圆C:  y2 1，过C外一点P作C的两条切线l ,l ，分别交x轴于A,B两点. 4 1 2 (1) 记l ,l 的倾斜角分别为, .若tantan 2，求P的轨迹方程. 1 2 1 2 1 2 (2) 求ABP面积的最小值. π 18．已知函数 f x xalnx(a0)，将曲线𝑦 (cid:3404)𝑓(cid:4666)𝑥(cid:4667)绕原点逆时针旋转 ，得到曲线𝑦 (cid:3404)𝑔(cid:4666)𝑥(cid:4667). 4 (1) 证明：存在唯一的实数a ，使得曲线𝑦 (cid:3404)𝑔(cid:4666)𝑥(cid:4667)是某个函数的图形，并求出a ； 0 0 π (2) 取aa ，设Mm, f m是曲线𝑦 (cid:3404)𝑓(cid:4666)𝑥(cid:4667)图象上任意一点，将曲线𝑦 (cid:3404)𝑓(cid:4666)𝑥(cid:4667)绕点M 逆时针旋转 ，得 0 4 到函数曲线yg x，设函数g x的极小值为hm，求hm的单调性. m m 19．已知定义在R上的函数 f x，其导函数为 fx，记集合A为函数 f x所有的切线所构成的集合， 集合A 为集合A中所有与函数 f x有且仅有n个公共点的切线所构成的集合，其中n1，nN. n (1) 若 f xx2，判断集合A和A的包含关系，并说明理由： 1 (2) 若 f xax3 bx2（a0），求集合A中的元素个数: 1 (3) 若 f xsinx，证明：对任意n1，nN，A 为无穷集. 2n1 54重庆市第一中学校2023-2024学年高二上学期期末考试数学试题 一、单选题 1．已知等差数列a ，其前n项和为S ，a a 12，则S （ ） n n 5 7 11 A．24 B．36 C．48 D．66 2．若函数 f xe2x e2，则 f1（ ） A．e2 B．2e2 C．3e2 D．4e2 3．已知圆锥PO的底面半径为2，若圆锥PO被平行其底面的平面所截，截去一个底面半径为1，高为 3的 圆锥，则圆锥PO的体积为（ ） 3 8 3 A． π B． 3π C． π D．8 3π 3 3 4．已知直线l:x ym0被圆C:x2  y2 4x2y10截得的弦长为4，则m（ ） A．1或3 B．1 C．3 D．3或1 5．a 是各项均为正数的等比数列，S 是a 的前n项和，若a 2且a ，a 2，a 成等差数列，则S  n n n 1 2 4 5 4 （ ） A．15 B．30 C．45 D．60 6．设点A(0,8)，抛物线y2 2px(p0)上的点P到y轴的距离为d，若|PA|d 的最小值为4，则 p（ ） A．6 B．10 C．12 D．16 7．已知定义在(0,)上的函数 f x的导数为 fx，若 f(1)1，且x2f(x)10，则下列式子中一定 成立的是（ ） 1 1 A． f  3 B． f( )π 3 π C． f log eln2 D． f(ln3)log e 2 3 8．已知S 为数列a 的前n项和，若a 2且S 2S ，设b 1log a ，则 n n 1 n1 n n 2 n 1 1 1 1    的值是（ ） bb bb bb b b 1 2 2 3 3 4 2023 2024 2022 2023 4045 1517 A． B． C． D． 2023 2024 2023 2024 二、多选题 9．已知数列a 的前n项和为S ，下列说法正确的是（ ） n n A．若S 2n2 n1，则a 为等差数列 B．若a 为等差数列，则 2an 为等比数列 n n n S  C．若a 为正项等比数列，则log a 为等差数列 D．若a 为等差数列，则 n为等差数列 n 3 n n  n  5510．已知函数 f(x)x3 3x2 2，则下列说法正确的是（ ） A．函数 f(x)在(,0)(2,)上单调递减 B．x2是函数 f(x)的极大值点 C．函数 f(x)有3个零点 D．若函数 f(x)在区间(3a1,a3)上存在最小值，则实数a的取值范围为(3,0] x2 11．已知椭圆C:  y2 1分别以F ，F 为左，右焦点，过点F 且斜率为k(k 0)的直线l交椭圆C于A， 2 1 2 2   9 B两点，点A在x轴上方，M 为线段AB上一点，且满足AM 3MF  F B，则（ ） 2 4 2 A．S 3S B．直线l的斜率为1 △AF1F2 △BF1F2 2 C．AMF 的内切圆半径r  D． AF ， AB ， BF 成等差数列 1 3 1 1 12．已知函数 f(x)  ex a  x，g(x)(xa)lnx，则下列说法正确的是（ ）  1  A．若函数y f(x)存在两个极值，则实数a的取值范围为 ,   e2  B．当a1时，函数yg(x)在(0,)上单调递增 C．当a1时，若存在x1，使不等式 f(mx) f  x2 x  lnx  成立，则实数m的最小值为0 1 D．当a1时，若 f x gx t(t0)，则x x 1lnt的最小值为 1 2 1 2 e 三、填空题 13．曲线y x 在点1,1处的切线方程是 . 14．已知等比数列a 的前3项和为84，a a 21，则公比q . n 2 5 π π 15．若函数 f(x)aex cosx在区间 , 上单调递减，则实数a的取值范围为 .   4 2 y2 x2 16．已知双曲线C:  1(a0)的上、下焦点分别为F ，F ，点P在C上，且PF  y轴，过点F 作 a2 4 2 1 2 2 FPF 的平分线的垂线，与直线PF交于点A，若点A在圆O:x2  y2 a2上，则a的值为 . 1 2 1 56四、解答题 a 17．若x1是函数 f(x)2lnx 的极值点. x2 (1) 求实数a的值及 f(x)的单调区间； 1  (2) 求函数 f(x)在区间 ,2 上的值域.   2  18．已知数列(cid:4668)𝑎 (cid:4669)的前n项和为S ，且S 22a  nN* . (cid:3041) n n n (1) 求(cid:4668)𝑎 (cid:4669)的通项公式； (cid:3041) (2) 设b a log a ，求数列(cid:4668)𝑏 (cid:4669)的前n项和T . n n 2 2n1 (cid:3041) n 19．四棱锥PABCD中，底面ABCD为菱形.若ACBDO，PBPD，PB AC. (1) 求证：PO平面ABCD； 3 π (2) 若AC  BD2，异面直线AB与PD所成角为 ，求二面角PCDA的正弦值. 3 3 5720．已知数列(cid:4668)𝑎 (cid:3041) (cid:4669)的首项a 1  1 2 ，且a n1  1 2 a n     1 2    n  nN*，b n  2n a n 1 . (1) 证明：数列 2na 是等差数列，并求出(cid:4668)𝑎 (cid:4669)的通项公式； n (cid:3041) 1 (2) 记c 为数列(cid:4668)𝑏 (cid:4669)中能使b   mN*成立的最小项，求出c 、c 以及数列c 的前2023项和. m (cid:3041) n 2m1 1 2 m 21．已知P是圆E:(x 2)2  y2 16上的动点，F( 2,0)为定点，线段PF的垂直平分线交线段PE于点Q， 点Q的轨迹为曲线C. (1) 求曲线C的方程； (2) 过点M(4,1)的动直线l交曲线C于不同的A，B两点，N为线段AB上一点，满足 |AM ||BN||AN||BM |，证明：点N在某定直线上，并求出该定直线的方程. 22．已知函数 f(x)ln(mx). (1) 讨论函数F(x) f(x)xm的单调性； (2) 设m(0,1]，求证：(x1)ex emf(x). 58重庆市南开中学校2023-2024学年高二上学期期末考试数学试题 一、单选题 1．抛物线y2 2x的焦点坐标为（ ）  1 A． 0,  B．0,1  2 1  C．  ,0 D．1,0 2  2．若等比数列a 各项均为正数，且a a 4，则a （ ） n 2 4 3 1 A． B．1 C． 2 D．2 2 π 3．已知函数 f x的导函数是 fx，若 f x fπx2 cosx，则 f  （ ） 4 2 1 2 A． B．0 C． D． 2 2 2 4．函数 f xxlnx的单调递增区间为（ ） 1  A．0,1 B．0,e C．1, D．  , e  5．已知等差数列a 的前n项和为S ，且a a 2，S 36，则S （ ） n n 1 3 9 6 A．12 B．15 C．18 D．24 6．已知函数 f x的导函数为𝑓(cid:4593)(cid:4666)𝑥(cid:4667)，𝑓(cid:4593)(cid:4666)𝑥(cid:4667)的图象如图所示，则 f x的图象可能是（ ） A． B． C． D． x2 y2 1 7．若椭圆C：  1ab0的离心率为 ，左顶点为A，点P，Q为C上任意两点且关于y轴对称， a2 b2 2 则直线AP和直线AQ的斜率之积为（ ） 1 1 3 4 A． B． C． D． 4 2 4 5 592024 8．函数 f x的导函数 fx满足2f x fx2，且 f 12025，则不等式 f x1 的解集是 e2x2 （ ） A．1, B．0,1 C．1,2025 D．2025, 二、多选题 9．下列函数在定义域上为增函数的是（ ） A． f xxlnx B． f xlnxx C． f xxcosx D． f x x2ex 10．设等差数列{a }的前n项和是S ，已知S 0，S 0，则下列选项正确的有（ ） n n 14 15 A．a 0，d 0 B．a a 0 1 7 8 C．S 与S 均为S 的最大值 D．a 0 6 7 n 8 y2 11．已知双曲线C：x2  1的左、右焦点分别为F ，F ，以FF 为直径的圆与双曲线C的一个交点为 4 1 2 1 2 P，下列说法正确的是（ ） A．圆的方程为x2  y2 5 B．双曲线C的渐近线方程为x2y0 C．F 到C的渐近线的距离为2 D．PFF 的面积为4 1 1 2 12．若函数 f xx3 x2 mxn有极值点x0，且 f a f b f c0，abc，则下列说法正确 的是（ ） A．x0，有 f x f x B．x0，使得 f x f x 4 C．bc0 D．ab 3 三、填空题 13．已知数列a 是正项等比数列，且a a 3，a a 9，则a a  . n 2 4 6 8 4 6 1 14．若x1是函数 f x x2 alnxbx，(a1,b2)的极值点，则ab . 2 x2 y2 15．已知F ，F 是椭圆C：  1ab0的左、右焦点，P为C上异于顶点的一点，FPF 的平分 1 2 a2 b2 1 2 线PQ交x轴于点Q.若CAC B ，则椭圆C的离心率为 . 1 1 16．若函数 f xtlnx与函数gxx2的图象存在公切线，则实数t的取值范围为 . 60四、解答题 17．已知等差数列a 满足：a 7，a a 26. n 3 5 7 (1) 求a ； n 1 (2) 若b   nN*，求数列b 的前20项的和. n a2 1 n n x2 y2 6 18．已知椭圆C：  1（ab0）的离心率为 ，焦距为2 2. a2 b2 3 (1) 求椭圆C的方程； (2) 若直线ykx2与C交点P，Q两点，O为坐标原点，且POQ90，求实数k的值. 3x2 ax 19．设函数 f x aR. ex (1) 当a0时，求 f x的极值； (2) 若 f x在3,上为减函数，求a的取值范围. 6120．已知数列a 满足a 1，a 2a n1. n 1 n1 n (1) 求证：数列a n2是等比数列，并求出a ； n n a (2) 记b 2 n ，S 是数列b 的前n项和.若对任意的nN*都有b 4S mb ，求实数m的取值范围. n 2n n n n n 2n 21．已知点F4,0，动点Sx,y到直线l：x1的距离为d，且 FS 2d ，记S的轨迹为曲线C. (1) 求曲线C的方程； (2) 若A，A 分别为曲线C的左、右顶点，M，N两点在直线x6上，且MAF NAF .连接AM ，A N 1 2 1 1 1 2 分别与C交于点P，Q，求证：直线PQ过定点，并求出定点坐标. 22．已知函数 f xxlnxax2 3xaR有两个极值点x ，x ，其中x x . 1 2 1 2 (1) 求a的取值范围； (2) 若不等式2ax klnx 3k1恒成立，求实数k的取值范围. 1 2 62重庆市第八中学校2023-2024学年高二上学期期末考试数学试题 一、单选题 1．已知事件A与事件B互斥，且PA0.3,PB0.5，则（ ） A．PAB0.15 B．PAB0.8 C．P  A  0.5 D．P  B  0.6 x2 y2 x2 y2 2．已知椭圆  1的左焦点是双曲线  1的左顶点，则双曲线的渐近线为（ ） 25 9 a2 9 4 3 4 3 A．y x B．y x C．y x D．y x 5 5 3 4 3．已知等差数列a 的前n项和为S ，若a 9,S 40，则数列a 的公差d （ ） n n 2 4 n 3 A．3 B．2 C． D．4 2 4．某学习小组研究一种卫星接收天线（如图①所示），发现其曲面与轴截面的交线为抛物线，在轴截面内 的卫星波束呈近似平行状态射入形为抛物线的接收天线，经反射聚焦到焦点处（如图②所示）． 已知接收 天线的口径（直径）为2.4，深度为0.4，则该抛物线的焦点到顶点的距离为（ ） A．0.9 B．1.8 C．1.2 D．1.05 5．在正方体ABCDABCD 中，点M 是棱CC 的中点，则异面直线BM 与AC所成角的正弦值为（ ） 1 1 1 1 1 10 3 10 15 10 A． B． C． D． 5 10 5 10 6．直线 ykx3与圆 x22 y32 4相交于M,N 两点，若 MN 2 3，则该直线斜率k的取值 范围是（ ）  3  A． , 3 B． 3, 3   3    3 3   C． ,  D． , 3 3,   3 3   x2 y2 7．直线l：x2y 30经过椭圆  1ab0的左焦点F ，且与椭圆交于 A,B两点，若M 为 a2 b2 线段AB中点， MF  OM ，则椭圆的离心率为（ ） 2 1 3 31 A． B． C． D． 2 2 2 2  1  8．已知数列a 满足a a 21n,nN*，且a 5，记数列 的前 n项和为S ，则S （ ） n n n1 2 a a  n 49 n n1 1 1 2 A． B． C． D．2 13 15 15 63二、多选题 9．重庆八中组织全体学生参加了主题为“奋斗百年路，启航新征程”的知识竞赛，随机抽取了200名学生进 行成绩统计，发现抽取的学生的成绩都在50分至100分之间，进行适当分组后（每组的取值区间均为左闭 右开），如图所示，画出频率分布直方图，下列说法正确的是（ ） A．成绩在区间90,100内的学生有46人 B．图中x的值为0.030 C．估计全校学生成绩的中位数约为86.67 D．估计全校学生成绩的80%分位数为90 10．已知圆O：x2  y2 4和圆C：x32 y32 10，则下列说法正确的是（ ） A．圆O与圆C有四条公切线 B．点P为圆O上一动点， PC 的最大值为3 22 C．圆O与圆C的公共弦所在直线方程为x y2 D．圆O与圆C的公共弦长为2 2 11．设数列 a 的前 n项和为 S ，满足 2a a a ，其中a 19，a 17，则下列选项正确的是 n n n1 n n2 1 2 （ ） A．a 为等差数列 n S B． n 20n n C．当n11时，S 有最大值 n D．设b a a a ，则当n8或n10时，数列b 的前n项和取得最大值 n n n1 n2 n x2 y2 12．已知双曲线C：  1a0,b0，过左焦点F 作一条渐近线的垂线，垂足为P，过右焦点F 作 a2 b2 1 2 一条直线交双曲线的右支于A，B两点，FAB的内切圆与FA相切于点Q，则下列选项正确的是（ ） 1 1 b2 A．线段AB的最小值为 a B．FAB的内切圆与直线AB相切于点F 1 2 C．当 PF  QF 时，双曲线的离心率为 5 1 1 D．当点F 关于点P的对称点在另一条渐近线上时，双曲线的渐近线方程为 3x y0 1 三、填空题 13．在等比数列 a 中，a a 3,a a 6，则 a a  ． n 1 2 5 6 9 10 14．某公司招新面试中有3道难度相当的题目，小明答对每道题目的概率都是0.7.若每位面试者共有三次机 会，一旦某次答对抽到的题目，则面试通过，否则就一直抽题到第3次为止，则小明最终通过面试的概率 为 . a  1  15．已知数列a 满足a 1,a  n ，则数列 的前8项和S  ． n 1 n1 a 2 a  8 n n 16．已知抛物线C:y2 2pxp0的焦点为F ，过点M2,0的直线交抛物线C于 A,B两点，若 AM 2 MB,AF 5，则 p ． 64四、解答题 17．为迎接冬季长跑比赛，重庆八中对全体高二学生举行了一次关于冬季长跑相关知识的测试，统计人员 从高二学生中随机抽取100名学生的成绩作为样本进行统计，测试满分为100分，统计后发现所有学生的测 试成绩都在区间40,100内，并制成如图所示的频率分布直方图． (1)估计这100名学生的平均成绩； (2)若在区间70,80内的学生测试成绩的平均数和方差为74和26，在区间80,100内的学生测试成绩的平均 数和方差为89和106，据此估计在70,100内的所有学生测试成绩的平均数和方差． 18．已知数列a 的首项a 1，设S 为数列a 的前n项和，且有2S n1a ． n 1 n n n n (1)求数列a 的通项公式； n (2)令c a 2n，求数列c 的前n项和T ． n n n n 19．如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，ADPD2CD2，PB3，点E为棱PC上的 点，且BCDE． (1)证明：ADPD； (2)若PE2CE，求直线DE与平面PAC所成角的大小． 20．已知抛物线C：y2 2px过点P1,2，过点0,1作直线l与抛物线C交于不同的两点A,B，过点A作x 轴的垂线分别与直线OP,OB交于点M,N ，其中O为原点． (1)求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程； (2)证明：M 为线段AN的中点． 6521．已知等差数列a 的首项a 1，公差d 0．记a 的前n项和为S  nN*． n 1 n n (1)若S2 25a a 25，求S ； 5 2 4 n (2)若对于每个nN*，存在实数x，使a x,a 3x,a 8x成等比数列，求公差d的取值范围． n n1 n2 x2 y2 22．设椭圆E:  1的右焦点为F ，点A,B,P在椭圆E上，点M是线段AB的中点，点F 是线段MP 4 3 的中点． (1)若M为坐标原点，且ABP的面积为2 3，求直线AB的方程； (2)求ABP面积的最大值． 66重庆市渝中区巴蜀中学校2023-2024学年高二上学期期末数学试题 一、单选题 1．已知正三棱柱所有棱长均为2，则该正三棱柱的体积为（ ） 2 3 4 A．2 3 B．4 C． D． 3 3 2．已知点Px,y满足 (x1)2  y2  x1，则点P的轨迹为（ ） A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．圆 3．在长方体ABCDABCD 中，AB AA 1,AD2，则异面直线AC,AD的夹角余弦值为（ ） 1 1 1 1 1 1 10 4 2 6 A． B． C． D． 10 5 3 6 4．已知圆C :(xa)2 (y1)2 1与圆C :(x1)2 (y3)2 4有且仅有2条公切线，则实数a的取值范围 1 2 是（ ）     A． 1 5,1 5 B． 1 5,1 21 C．2,0 D．  1 21,1 5  5．已知等差数列a 的前n项和为S ，且S 0,S 0，则数列S 的最大项是（ ） n n 9 10 n A．S B．S C．S D．S 6 5 9 8 6．已知直线mx y10与直线xmy20相交于点A,B为直线y2x6上一动点，则线段AB长度 的最小值为（ ） 5 7 5 5 5 5 A． B． C． D． 5 10 6 6 7．等比数列a 的前n项和为S ，若a 2且S 17S ，则S （ ） n n 1 8 4 3 A．6 B．6或14 C．-6或14 D．2或6或14 8．正四面体的外接球与内切球的半径比为（ ） A．1:1 B．2:1 C．3:1 D．4:1 二、多选题 9．已知双曲线C:Ax2 By2 1的渐近线方程为y2x，则该双曲线的方程可以是（ ） y2 x2 A．x2  1 B．  y2 1 4 4 y2 C． x2 1 D．4y2 x2 1 4 10．抛物线C:y2 2px(p0)的焦点是F ，过焦点F 的直线l与C相交于不同的两点A,B，O是坐标原点， 下列说法正确的是（ ） A．以 AF 为直径的圆与y轴相切 B．若M3,2是线段AB的中点，且k 1，则 p2 AB π AF C．AOB D．若 2，则直线l的斜率为 2 2 BF 11．如图，正方体ABCDABCD 的棱长为2,M 是棱AB的中点，N为正方体表面ADDA 内的一个动点， 1 1 1 1 1 1 且满足MN //平面ABD，下列说法正确的是（ ） 1 A．动点N的轨迹是一段圆弧 4 B．三棱锥N CDD 体积的最大值为 1 3 C．MN  AC 1 2 D．直线MN 与AM 夹角正切的最小值为 2 6712．已知数列a 满足：nN*,a a2 2a b，其中bR，数列a 的前n项和是S ，下列说法正 n n1 n n n n 确的是（ ） A．当b1,时，数列a 是递增数列 n B．当b6时，若数列a 是递增数列，则a ,32, n 1 5 n2 3n C．当b ,a 2时，S  4 1 n 2 1 1 1 3 D．当b2,a 3时，    1 a 2 a 2 a 2 10 1 2 n 三、填空题 13．已知直线l :xkyk 0,l :x y20，且l //l ，则l 与l 之间的距离为 . 1 2 1 2 1 2 14．已知函数 f xx98x99，则 f99 . 15．已知a 为等比数列，且a 3,a 12，则a  . n 3 7 5 x2 y2 π 16．已知双曲线  1(a0,b0)的左､右焦点分别为F,F ，倾斜角为 且过点F 的直线与双曲线的 a2 b2 1 2 3 2 右支交于P,Q两点，设PFF 内切圆O 的半径为r,△QFF 的内切圆O 的半径为r ，则圆心O,O 的横坐 1 2 1 1 1 2 2 2 1 2 标为 （填a或b），若 r2 r2 2a2，则双曲线离心率的最小值为 . 1 2 四、解答题 17．已知数列a 为等差数列，a 的前n项和为S ,a 11,S 9. n n n 6 3 (1) 求数列a 的通项公式； n 1 2 n (2) 求证：   1. 2S 3S n1S 1 2 n 18．已知曲线 f xx3 x1， (1) 求曲线在点P1,1处的切线方程； 2 1 (2) 求过点Q ,  且与曲线相切的直线方程. 3 3 19．如图1所示，ABC为等腰直角三角形，AB AC 2,E,F 分别为AC,BC中点，将△CEF 沿直线EF翻 π 折，使得AEC  ，如图2所示. 2 (1) 求证：平面AEC平面ABFE； (2) 求平面BCF与平面CEF夹角的余弦值. 68x2 20．已知双曲线C:  y2 1(a0)的左､右焦点分别为F,F ，点P为双曲线上一点，且 PF  PF 4 a2 1 2 1 2 (1) 求双曲线C的标准方程； (2) 已知直线l :ykx1与双曲线C交于M,N 两点，且S 2 6 ，其中O为坐标原点，求k的值. MN MON 21．已知a 的前n项和为S ，且满足nN*,S 2a 2. n n n n (1) 求a 的通项公式； n (2) 若数列b 满足：b 1，且nN*,b b 2n，求数列a b 的前n项和. n 1 n1 n n n x2 y2 10   22．已知椭圆C:  1(ab0)的离心率为 ，上顶点B 0, 3 . a2 b2 4 (1) 求椭圆C的标准方程；     (2) O为坐标原点，M  3,0 ,N 3,0 ，点A是椭圆C上的动点，过A作直线AM,AO,AN分别交椭圆C S S 于另外P,R,Q三点，求 AOM  AON 的取值范围. S S APR AQR 69， ； ， ． 业精于勤 荒于嬉 行成于思 毁于随