文档内容
2025~2026 学年度第一学期八校联盟高二教学质量检测（一）
数学
注意事项：
1.本试卷满分150分，考试时间120分钟.
2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡的相应位置.
3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题卷上无效.
4.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改
动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.
5.考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1. 抛一枚硬币100次，有49次正面朝上，则事件“正面朝上”的概率和频率分别是（ ）
A. 0.5，0.5 B. 0.51，0.51 C. 0.49，0.49 D. 0.5，0.49
【答案】D
【解析】
【分析】根据频率的计算方法以及概率的含义，即可求得答案.
【详解】抛一枚硬币100次，有49次正面朝上，
故“正面朝上”的频率为 ，
每次抛掷硬币时，正面和反面向上的机会均等，故“正面朝上”的概率为0.5.
故选：D
2. 如图，在斜三棱柱 中， 为 的中点， 为 靠近 的三等分点，设
，则用 表示 为（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据空间向量的加法、减法运算得解.
【详解】
故选：A
3. 在投掷一枚质地均匀的骰子试验中，事件A表示“向上的点数为偶数”，事件B表示“向上的点数是5或
6”，事件C表示“向上的点数小于5”，则下列说法正确的是（ ）
A. A与B是对立事件 B. B与C是对立事件
C. A与C是互斥事件 D. A与B是互斥事件
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意，利用互斥事件和对立事件的概念，逐项分析判断，即可求解.
【详解】对于选项A：当向上的点数为3时，事件A与B同时不发生，所以A错误；
对于选项B：事件B与C不能同时发生，且事件B与C必有一个发生，所以B正确；
对于选项C：当向上的点数是2或4时，事件A与事件C同时发生，所以C错误；
对于选项D：当向上的点数是6时，事件A与事件B能同时发生，所以D错误.
故选：B．
4. 在空间直角坐标系 中，已知点 ，若点P与点A关于 平面对称，则
（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先得到 ，从而得到 ，利用模长公式得到答案.
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学科网（北京）股份有限公司【详解】若点 与点 关于 平面对称，则其横坐标互为相反数，纵坐标和竖坐标相等．
又 ，则 ，又 ，所以 ，
.
故选：A
5. 已知随机事件 中， 与 互斥， 与 对立，且 ， ，则 （
）
A. 0.6 B. 0.7 C. 0.8 D. 0.9
【答案】B
【解析】
【分析】根据互斥事件对立事件的概率公式进行求解.
【详解】由于 与 对立， ，则 ，
又 与 互斥， ，则 .
故选：B
6. 在三棱锥 中，若 ， ， ，则 （ ）
A. B. 1 C. D. 0
【答案】B
【解析】
【分析】结合已知条件根据数量积的运算律求解即可.
【详解】因为 ， ， ，
.
所以
故选：B
7. 已知 是空间的一个单位正交基底， ，则空间向量 在 方向上的投影向量为（
）
A. B. C. D.
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学科网（北京）股份有限公司【答案】D
【解析】
【分析】根据空间向量的投影向量公式计算即可.
【详解】因为 是空间的一个单位正交基底，
所以 ， ，
则 ，
，
所以空间向量 在 方向上的投影向量为 ，
故选：D
8. 如图，某电子元件由A，B，C三种部件组成，现将该电子元件应用到某研发设备中，经过反复测试，
A，B，C三种部件不能正常工作的概率分别为 ， ， ，各个部件是否正常工作相互独立．A，B同时
正常工作或C正常工作，则该电子元件能正常工作，那么该电子元件能正常工作的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据给定条件，利用对立事件及相互独立事件的概率公式列式求解.
【详解】设上半部分正常工作为事件M，下半部分正常工作为事件N，该电子元件能正常工作为事件E，
则 ， ，而 ，
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学科网（北京）股份有限公司因此 ，即该电子元件能正常工作的概率是 .
故选：A
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合
要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 为了关注学生的健康成长，某校开展了一次高一年级的学生身高的抽样调查，随机抽取了100名学生，
将他们的身高划分成了A，B，C，D，E五个层次，根据抽样结果得到如下统计图，则样本中（ ）
A. 身高在A层次中的女生人数比男生多
B. 身高在B层次中的人数最多
的
C. 身高在D层次 女生，占女生人数的比例超过15%
D. 身高在E层次中的男生有3人
【答案】BCD
【解析】
【分析】结合已知和两个统计图表，对每一个选项逐一分析判断得解.
【详解】对于A，样本中女生人数为 人，则样本中男生人数为60人，
样本中A层次身高的男生人数为 人，女生人数为4人，
所以，样本中A层次身高的女生少于男生，A错误；
对于B，因为男生中B层次的比例最大，女生中B层次的人数最多，
所以样本中B层次身高人数最多，B正确；
对于C，样本中D层次身高的女生有8人，占女生人数的比例为 ，C正确；
对于D，样本中E层次身高的男生有 人，D正确.
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学科网（北京）股份有限公司故选：BCD
10. 如图，在棱长为1的正四面体ABCD中，点M，N分别为棱BC，AD的中点，则（ ）
A. B.
C. 侧棱与底面所成角的余弦值为 D. 直线AM与CN所成角的正弦值为
【答案】ACD
【解析】
【分析】把 分别用 表示，再根据数量积的运算律计算分析，即可判断
ABD，连接 ，在 上取点 ，使得 ，连接 ，则 平面 ，解 即
可判断C.
【详解】由正四面体ABCD，可得 ，
对于A， ，
则 ，
所以 ，故A正确；
对于B， ，
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学科网（北京）股份有限公司则
，故B错误；
对于D， ，
则 ，
，
设直线 所成角为 ，
则 ，
所以直线 所成角的余弦值为 ，正弦值为 ,故D正确；
对于C，连接 ，在 上取点 ，使得 ，连接 ，
则 平面 ，
则 即为直线 与平面 所成角的平面角，
在 中， ，
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学科网（北京）股份有限公司则 ，
由正四面体的结构特征可得，直线 与平面 所成角的相等，
所以侧棱与底面所成角的余弦值为 ，故C正确.
故选：ACD
11. 下列说法正确的是（ ）
A. 已知事件 ，若 ， ，且 ，则
B. 已知事件 ，若 ， 且 与 相互独立，则
C. 已知事件 ，若 ， ，且 ，则 与 相互独立
D. 某班对学生体重进行抽样调查，抽取男生30人，平均数和方差分别为55，15；女生20人，平均数和
方差分别为45，20，则总体样本的方差为
【答案】ACD
【解析】
【分析】对A，根据条件得 ，即可求解；对B和C，利用相互独立事件的概率公式，再结合选
项条件，即可求解；对D，利用分层抽样方差计算公式，结合选项条件，直接求出方差，即可求解.
【详解】对选项A，因为 ，所以 ，则 ，所以选项A正确；
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学科网（北京）股份有限公司对于选项B，因为 与 相互独立， ，则 ，
又 ，所以选项B错误；
对于选项C，因为 ，
又 ，则 ，
所以 与 相互独立，故选项C正确，
对于选项D，样本总体平均数 ，
总体样本的方差为 ，所以选项D正确，
故选：ACD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 现需要对某种疫苗进行检测，从800支疫苗中抽取60支进行检验，利用随机数表抽取样本时，先将
800支按000，001，…，799进行编号，如果从随机数表第7行第10列的数开始向右读，依次读取三位数，
则得到的第4个样本个体的编号是________.（下面摘取了随机数表第7行至第9行）
84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 76
63 01 63 78 59 16 95 56 67 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 79
33 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38 15 51 00 13 42 99 66 02 79 54
【答案】704
【解析】
【分析】根据随机数表读取编号的方法，即可求得答案.
【详解】按照所给随机数表，依次读取的个体编号为157，245，506，704，
所以得到的第4个样本个体的编号是704.
故答案为：704
13. 从装有3个红球和2个黑球的盒子中不放回地一次随机抽取2个球（球除颜色外，其余完全相同），
则至少抽到1个黑球的概率为______．
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学科网（北京）股份有限公司【答案】 ##
【解析】
【分析】利用列举法可得总样本空间为10个，符合的有7个，利用古典概率即可求解.
【详解】设3个红球分别为 ，2个黑球分别为 ，
则试验的样本空间为 ，共10个
样本点，
选出的2个球中至少有1个黑球包含的样本点为 ，共7
个，
则所求概率为 ．
故答案为： .
14. 已知向量 以 为基底时的坐标为 ，则 以 为基底时的坐标为
______．
【答案】
【解析】
【分析】首先根据向量 以 为基底时的坐标，得到 关于 ， ， 的表达式，然后设 以
为基底时的坐标为 ，得到 关于 ， ， 的表达式，最后通过
向量相等建立方程组，求解方程组得到 ， ， 的值，即为所求坐标.
【详解】因为向量 以 为基底时的坐标为 ，所以 ．
设向量 在新基底 下的坐标为 ，
则 ，
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学科网（北京）股份有限公司即
则 ，解得 ，
所以 以 为基底时的坐标为 ．
故答案为： .
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤，其
中第15题和第19题为选做题，从选做1和选做2中任选一题作答.两题都答题者以选做1为
准.
15. 已知 ， ， ， ， ，求：
（1） 的值；
（2） 与 夹角的余弦值.
【答案】（1）0 （2）
【解析】
【分析】（1）由向量平行及垂直的坐标表示即可求解；
（2）由向量夹角的坐标公式即可求解.
【小问1详解】
因为 ，所以 ，
解得 ， ，
所以 ，
又 ，则 ，即 ，得 ，
于是 ，则 .
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学科网（北京）股份有限公司【小问2详解】
由（1）得 ，
设 与 的夹角为 ，所以 ，
所以 与 夹角的余弦值为 .
16. 在平面直角坐标系中，已知三点 .
（1）若直线 过点C且与直线AB垂直，求直线 的方程；
（2）若直线 经过点A，且在两坐标轴上的截距相等，求直线 的方程.
【答案】（1） ；
（2） 或 .
【解析】
【分析】（1）求出直线 的斜率，利用垂直关系求出直线 的斜率及方程.
的
（2）按截距是否为0分类，再结合直线 截距式方程求解.
【小问1详解】
由 ，得直线 的斜率为 ，
由 ，得直线 的斜率为 ，
所以直线 的方程为 ，即
【小问2详解】
设直线 在 上的截距为 ，
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学科网（北京）股份有限公司当 时，直线 过原点及点 ，方程为 ，即 ；
当 时，直线 的方程为 ，而直线 过点 ，则 ，直线 的方程为 ，
所以直线 的方程为 或 .
17. 为弘扬传统文化，某校举办了传统文化知识竞赛，满分为 100分，所有参赛学生的成绩都不低于50分．
现从中随机抽取了50名学生的成绩，按照 ， 分成5组，制成了如图所示的
频率分布直方图．
（1）求频率分布直方图中 的值，并估计所抽取的50名学生成绩的平均数、中位数（同一组中的数据用
该组区间的中点值代表）；
（2）若利用分层抽样的方法从样本中成绩不低于70分的学生中抽取6人，再从这6人中随机抽取2人，
求恰有1人成绩在 的概率．
【答案】（1） ，平均数为 分，中位数为 分；
（2）
【解析】
【分析】（1）利用频率分布直方图中所有矩形面积之和为 可求得 的值，将每个矩形的中点值乘以对应
矩形的面积，再将所得结果全部相加可得平均数，根据中位数左边的矩形面积之和为 可求得中位数的
值；
（2）分析可知后三组中所抽取的人数分别为 ，将这 人进行标记，列举出所有的基本事件，利用古
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学科网（北京）股份有限公司典概型的概率公式可求得所求事件的概率.
【小问1详解】
由已知可得 ，解得 ，
所抽取的 名学生成绩的平均数为 （分），
由于前两组的频率之和为 ，前三组的频率之和为 ，
所以，中位数 ，由题意可得 ，解得 （分）.
【小问2详解】
由（1）可知，后三组中的人数分别为 ，故这三组中所抽取的人数分别为 ，
记成绩在 这组的 名学生分别为 ，成绩在 这组的 名学生分别为 ，成绩在
这组的 名学生为 ，
则从中任抽取 人的所有可能结果为 、 、 、 、 、 、 、 、
、 、 、 、 、 、 ，共 种.
其中恰有 人成绩在 为 、 、 、 、 、 、 、 共 种.
故所求概率为 .
18. 在平行六面体 中，底面 是边长为 1 的正方形，侧棱 的长为 2，且
，求：
（1） 的长；
（2）直线 和 所成角的余弦值.
【答案】（1）
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学科网（北京）股份有限公司（2）
【解析】
的
【分析】（1）先设 ， ， ，得出 ，利用向量数量积 运算律计算即
得；
（2）利用空间向量的夹角公式计算即可.
【小问1详解】
如图，连接 ，设 ， ， ，
依题意，
而 ，
，
所以 .
【小问2详解】
连接 ， ，
所以
，
又 ， ，
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学科网（北京）股份有限公司所以 ，
故直线 和 所成角的余弦值为 .
19. 甲､乙两人轮流投篮，每人每次投一球.约定先投中者获胜，一直到有人获胜或每人都已投球3次时投篮
结束.设甲每次投篮投中的概率为 ，乙每次投篮投中的概率为 ，且各次投篮互不影响.
的
（1）若甲先投，求投篮结束时，乙只投了2个球 概率；
（2）为使乙获胜的概率更大，应该由谁首次投篮？
【答案】（1）
（2）乙
【解析】
【分析】（1）设 ， 分别表示甲、乙在第 次投篮投中，记“投篮结束时乙只投了2个球”
为事件C，由互斥事件概率的加法公式和独立事件的乘法公式计算可得答案；
（2）由互斥事件概率的加法公式和独立事件的乘法公式，分别求解甲和乙首次投篮时乙获胜的概率，比
较大小即可求解.
【小问1详解】
根据题意，设 ， 分别表示甲、乙在第 次投篮投中，
则 ， ，
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学科网（北京）股份有限公司记“投篮结束时乙只投了2个球”为事件C，
则
．
【小问2详解】
若由甲首次投篮，设“乙获胜”为事件 ，
则
；
若由乙首次投篮，记“乙获胜”为事件E，则
.
因为 ，所以为使乙获胜的概率更大，应该由乙首次投篮.
20. 如图，在直三棱柱 中， ， ， ， 是 的中点.
（1）求证： ；
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学科网（北京）股份有限公司（2） 为线段 上的动点，则是否存在 使得 平面 ？若存在，请求出 的值，若不存
在，请说明理由；
（3）若 为 中点， 为 的重心， 为 上一点，且 ，过 作任一平面
分别交 、 、 于 、 、 ，若 ， ， ，求证：
为定值.
【答案】（1）证明见解析
（2）存在，
（3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）建立空间直角坐标系，根据空间位置关系的向量证明方法，即可证明结论；
（2）假设存在 使得 平面 ，设 ，根据线面垂直可得
，求出参数的值，即可得结论；
（3）由 为 的重心，可得 ，利用向量的运算推出
，再根据 、 、 、 四点共面，则存在 ，使得
，继而得 ，结合空间向量基本定理即可证
明结论.
【小问1详解】
证明：以 为原点，分别以 、 、 所在直线为 、 、 轴建立空间直角坐标系，
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学科网（北京）股份有限公司， ， ，
则 、 、 、 、 ，
是 的中点，则 ， ， ，
， ，即 .
【小问2详解】
假设存在 使得 平面 ，
由（1）得 ， ，
设 ，其中 ，
则 ， ，
因为 平面 ， 平面 ，
故 ， 平面 ，
若 平面 ，则只需 ，解得 ， ，
故存在点 ，使得 平面 ，此时 .
【小问3详解】
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学科网（北京）股份有限公司证明：因为 为 的重心，则 ，
即 ，可得 ，
因为 为 上一点，且 ，则 ，
因为 、 、 、 四点共面，则存在 ，使得 ，
即 ，
所以 ，
又因为 ，且 、 、 不共面，
由空间向量基本定理可得 ，
因此 为定值.
21. 如图，在四棱锥 中，底面 是菱形， ． 平面
平面 分别是棱 的中点， 分别在线段 ，
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学科网（北京）股份有限公司上，且 ．
（1）证明： 四点共面；
（2）证明： 平面 ；
（3）设直线 与直线 交于点 ，当直线 与平面 所成角的正弦值为
时，求 的值．
【答案】（1）证明见解析
（2）证明见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）先证明 ， ，可得 ， 从而可得结论；
（2）取AB中点为I，连接CI，先证明 与 ，再利用线面垂直的判定定理可得 平面
；
（3）取BC中点为N，以A点为坐标原点，再分别以AN，AD和AP所在直线为 轴， 轴和 轴建立空间
直角坐标系，求出直线MC的方向向量与平面EFGH的法向量，利用线面角的正弦值列方程可求 的值．
【小问1详解】
， 分别是棱 ， 的中点， ，
， ，
， ， ， ， 四点共面．
【小问2详解】
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学科网（北京）股份有限公司底面ABCD是菱形， ，
， 是等边三角形，
取AB中点为I，连接CI，则 ，
又平面 平面 ，且平面 平面 ，
平面PAB，又PA 平面PAB， ，
又 ，且 ， 平面 ，
平面 ．
【小问3详解】
平面PBC， 平面PAC，又平面PBC 平面PAC ，
，即直线MC就是直线PC．
取BC中点为N，以A点为坐标原点，再分别以AN，AD和
AP所在直线为 轴， 轴和 轴建立如图6所示的空间直角
坐标系：
则 ， ， ， ，
， ，
设 ，则 ， ，
由 可得：
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学科网（北京）股份有限公司， ，
设平面EFGH的一个法向量为 ，
则 取 ，则 ， ，
，
设直线MC与平面EFGH所成角为 ，
则 ，
化简得： ，解得： 或 ，
又 ， ．
第23页/共23页
学科网（北京）股份有限公司
