文档内容
塘沽一中 2025 届高三毕业班第二次月考
数学
本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟.第Ⅰ
卷1至4页，第Ⅱ卷5至8页.
答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上，并在规定位置
粘贴考试用条形码.答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效.考试结束后，
将本试卷和答题卡一并交回.
祝各位考生考试顺利！
第Ⅰ卷
注意事项：
1.每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净
后，再选涂其他答案标号.
2.本卷共9小题，每小题5分，共45分.
一.选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 设集合 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】求出集合 后可求
【详解】 ，故 ，
故选：B．
2. “ ”是“数列 为等差数列”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】根据等差数列的性质结合充分条件与必要条件的证明即可得出答案.
第1页/共25页
学科网（北京）股份有限公司【详解】如果数列 是等差数列，根据等差中项的扩展可得一定有 ，
反之 成立，不一定有数列 是等差数列，
故选：B.
3. 有一散点图如图所示，在5个数据 中去掉 后，下列说法正确的是（ ）
A. 相关系数r变小 B. 残差平方和变小
的
C. 变量x，y负相关 D. 解释变量x与预报变量y 相关性变弱
【答案】B
【解析】
【分析】根据散点图的分布以及相关性的相关定义，结合选项即可逐一求解.
【详解】对于A, 去掉 后，相关性变强，相关系数r变大，
对于B,残差平方和变小，故B正确，
对于C，散点的分布是从左下到右上，故变量x，y正相关，故C错误，
对于D，解释变量x与预报变量y的相关性变强，故D错误，
故选：B
4. 已知直线 ， ，平面 ， ， ，下列命题正确的是（ ）
A. 若 ， ，则
B. 若 ， ， ，则
C. 若 ， ， ，则
D. 若 ， ， ，则
【答案】B
第2页/共25页
学科网（北京）股份有限公司【解析】
【分析】A， 与 平行或 ；B，由线面垂直的判定定理可得；C， 平行或异面；D， 三
条直线或相交或平行.
【详解】对A，若 ， ，则 与 平行或 ，故A错误；
对B，若 ， ， ，则由线面垂直的判定定理可得 ，故B正确；
对C，若 ， ， ，则 平行或异面，故C错误；
对D，若 ， ， ，则 三条直线或相交或平行，故D错误.
故选：B.
5. 已知 ， ， ，则 ， ， 的大小关系为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】结合对数、指数函数的单调性和对数运算即可.
【详解】解：∵ ，且 ，∴ ，
∵ ，∴ ，
∵ ，∴ ，
∴ ，
故选：D.
6. 函数 的图象大致为（ ）
第3页/共25页
学科网（北京）股份有限公司A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用诱导公式化简得 ，由此可得 为奇函数，故排除C，D；再判断函
数在 时的正负情况即可得答案.
【详解】由 ，易知 为奇函数，故排除C，D；
当 时， ，故只有A满足，排除B.
故选：A.
7. 关于函数 的四个结论：
①最大值为 ；②把函数 的图象向右平移 个单位后可得到函数
第4页/共25页
学科网（北京）股份有限公司的图象；③单调递增区间为 ， ；④图象的对称中心
为 ， .其中正确的结论有( )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【答案】B
【解析】
【分析】把 化为 的形式，然后根据三角函数的性质逐个判断即可.
【详解】因为 .对于①， 最大值为
，故①错误；对于②，把函数 的图象向右平移 个单位后可得到函数
的图象，故②错误； 对于③，令
，所以 的单调递增区间为[ ]即
为[ ]， ，故③正确；对于④，令 ，所以图象的对称中
心为( )， ，故④正确，所以正确的有2个.
故选：B.
8. 如图甲是一水晶饰品，其对应的几何体叫星形八面体，也叫八角星体，是一种二复合四面体，它是由两
个有共同中心的正四面体交叉组合而成且所有面都是全等的小正三角形，如图乙所示．若一星形八面体中
两个正四面体的棱长均为2，则该星形八面体体积为（ ）
第5页/共25页
学科网（北京）股份有限公司A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据已知条件及正四面体的体积公式即可求解.
【详解】由题意可知星行八面体体积为一个棱长为 的大正四面体与四个棱长为 的小正四面体的体积之
和，
故该星形八面体体积为 .
故选：A.
9. 已知双曲线 的左，右焦点分别为 ，过 的直线与双曲线 分别在第
一、二象限交于 两点， 内切圆的半径为 ，若 ， ，则双曲线 的离心
率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由双曲线定义结合已知得 ，进一步由余弦定理列
方程，结合离心率公式即可求解.
【详解】不妨设内切圆与三边切点分别为P，Q，R，所以 ，
点A在双曲线上，
第6页/共25页
学科网（北京）股份有限公司，
又 ，
， ，
点B在双曲线上，
，
，
，
设内切圆圆心为I，连接 ，如图所示，
，
，
即 ，
为等边三角形， ，
在 由余弦定理得： ，
即： ，
第7页/共25页
学科网（北京）股份有限公司.
故选：A.
【点睛】关键点点睛：关键是得到 ，由此即可顺利得解.
第II卷
注意事项：
1.用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上.
2.本卷共11小题，共105分.
二.填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.试题中包含两个空的，答对1个的给3分，
全部答对的给5分.
10. 已知 是虚数单位，化简 的结果为___________．
【答案】 ##
【解析】
【分析】由复数的除法运算计算．
【详解】 ，
故答案为：
11. 在 的展开式中， 的系数为______．
【答案】
【解析】
【分析】根据二项式定理展开式的通项公式即可求解.
【详解】 的二项展开式为 ，
令 ，解得 ，故所求即为 ．
故答案为： .
第8页/共25页
学科网（北京）股份有限公司12. 盒子里装有同样大小的4个白球和3个黑球，甲先从中取2球（不放回），之后乙再从盒子中取1个球.
（1）则甲所取的2个球为同色球的概率为____________；（2）设事件 为“甲所取的2个球为同色球”，
事件为“乙所取的球与甲所取的球不同色”，则在事件 发生的条件下，求事件 发生的概率
____________.
【答案】 ①. ； ②. .
【解析】
【分析】（1）利用超几何分布求概率即可；
（2）利用条件概公式求解即可.
【详解】解：（1）设事件A为“甲所取的2个球为同色球”
所以 .
（2） ， .
故答案为： ； .
13. 如图，在边长为 1 的正方形 中，P 是对角线 上一点，且 ，则
__________，若点M为线段 （含端点）上的动点，则 的最小值为__________．
【答案】 ①. ②.
第9页/共25页
学科网（北京）股份有限公司【解析】
【分析】建立平面直角坐标系，求得正方形各顶点坐标，利用向量的坐标运算求得 ，可得
的坐标，根据数量积的坐标运算，求得 ；设 ，表示出
，可得 坐标，继而求得 的表达式，结合二次函数性质求得 的最小
值.
【详解】如图，以A为原点， 所在直线为x轴， 所在直线为y轴建立平面直角坐标系，
则 ，
∴ ，
∵P是对角线 上一点，且 ，可得 ，
∴ ， ，
∴ ；
因为点M为线段 （含端点）上的动点，则设 ,
故 ，
所以 ， ，
第10页/共25页
学科网（北京）股份有限公司故 ，
由于 ，所以 时， 取到最小值 ，
即 的最小值为 ，
故答案为： ；
14. 已知圆 ， 为圆 的动弦，且满足 ， 为弦 的中点，两动点 在
直线 上，且 ， 运动时， 恒成立，则线段 中点的横坐标取值范围
是________．
【答案】
【解析】
【分析】由题得出 ，设 的中点 ，由 恒成立，可得以 为圆心，2为半
径的圆与 外离，列出不等式求解即可．
【详解】由题意，圆 的圆心为 ，半径 ，
因为 ， 为弦 的中点，所以 ，
所以点 在以 为圆心，2为半径的圆上，
又由两动点 在直线 上，且 ，设 的中点 ，
则 在以 为圆心，半径为 的圆上，
因为当 在圆 上运动时， 恒成立，
所以以 为圆心，2为半径的圆与 外离，则 ，即 ，解得 或
第11页/共25页
学科网（北京）股份有限公司，
所以线段 中点的横坐标的取值范围是 ，
故答案为： ．
15. 已知函数 ，若函数 有三个零点，则实数 的取值
范围是___________.
【答案】
【解析】
【分析】数形结合，分析 与 的交点个数为3时实数 的取值范围即可.
【详解】由题意，函数 有三个零点即 有三个解，即
与 的交点个数为3.
作出 与 的图象，易得当 时不成立，故 .
当 时 与 必有一个交点，则当 有2个交点.
当 时，因为 恒过定点 ，此时 与
第12页/共25页
学科网（北京）股份有限公司或 有2个交点.
①当 与 有2个交点时，考虑临界条件，当 与
相切时， .
设切点 ，则 ，解得 ，此时切点 ， ；
又 最高点为 ，故此时 .
故 .
②当 与 有2个交点时，考虑临界条件，当
与 相切时， ，即
，此时 ，即 ，解得 ，由图
可得 ，故 .
此时
第13页/共25页
学科网（北京）股份有限公司综上
故答案为： .
三.解答题：本大题共5小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
16. 已知 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 ， ．
（1）求 的值；
（2）若 ，
（i）求a的值；
（ii）求 的值．
【答案】（1）
（2）（i） ；（ii）
【解析】
【分析】（1）利用同角基本关系式与正弦定理的边角变换即可得解；
（2）（i）利用余弦定理运算即可得解；（ⅱ）根据三角恒等变换运算即可得解.
【小问1详解】
由 ，且C是三角形的内角，则 ，
因为 ，由正弦定理得 ，
第14页/共25页
学科网（北京）股份有限公司所以 .
【小问2详解】
（i）因为 ，所以 ，又 ，
由余弦定理得 ，
即 ，解得 或 （舍去），
所以 ；
（ⅱ）由（1）知 ，由 知A为锐角，得 ，
所以 ，
，
所以 .
17. 如图所示的几何体中，四边形 为矩形， 平面 ， ， ，
，点 为棱 的中点.
（1）求证： 平面 ；
（2）求平面 与平面 的夹角的余弦值；
第15页/共25页
学科网（北京）股份有限公司（3）求点 到平面 的距离.
【答案】（1）证明见解析；
（2） ；
（3） .
【解析】
【分析】（1）连接BD，交AC于点O，由中位线定理和线面平行判定定理即可证明结果.
（2）建立空间直角坐标系，写出坐标，求得平面 与平面 的法向量，利用空间向量法即可求出
结果.
（3）由（2）中信息，利用空间向量求出点到平面的距离.
【小问1详解】
连接BD，交AC于点O，由P，O分别为DF和DB的中点，得 ，
而 平面APC， 平面APC，所以 平面APC.
【小问2详解】
由直线 平面ABCD， 平面ABCD，得 ，
由矩形ABCD，得 ，以A为原点，直线 分别为 轴，建立空间直角坐标系，
第16页/共25页
学科网（北京）股份有限公司则 ，
，
设平面BCF的法向量 ，则 ，令 ，得 ，
设平面APC的法向量为 ，则 ，令 ，得 ，
所以平面ACP与平面BCF的夹角的余弦值为 .
【小问3详解】
由（2）知，平面APC的法向量 ，而 ，
所以点F到平面ACP的距离 .
18. 已知椭圆 的离心率为 ，
（1）若原点到直线 的距离为 ，求椭圆的方程；
（2）设过椭圆的右焦点且倾斜角为 的直线 和椭圆交于 、 两点，
①当 时，求 的值；
②对于椭圆上任一点 ，若 ，求实数 、 满足的关系式.
【答案】（1）
（2）① ；②
【解析】
第17页/共25页
学科网（北京）股份有限公司【分析】（1）由条件列式解得 、 、 后求解，
（2）①依题意可得椭圆方程为 ，直线 的方程为 ，设 ，
，联立直线与椭圆方程，消元、列出韦达定理，利用弦长公式求出 ；②由向量的坐标运算得
坐标后代入椭圆方程求解.
【小问1详解】
由题意得 ， ，而 ，
解得 、 、 ，故椭圆方程为 ，
【小问2详解】
①因为 ， ， ，故 ，
所以 ， ，
故椭圆的方程可化为 ，
易知右焦点为 ，据题意有 ，
由 ，消去 整理得 ，
设 ， ，显然 ，所以 ， ，
所以 ， .
②显然 与 可作为平面向量的一组基底，由平面向量基本定理，
对于这一平面内的向量 ，有且只有一对实数 ， ，使得等 成立．
第18页/共25页
学科网（北京）股份有限公司设 ， ， ， ，
所以 ，
又 ， 在椭圆上，故有 ， ，
点 在椭圆上，所以 ，
所以 ，
即 ，
即 ，
所以 ．
【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：
（1）设直线方程，设交点坐标为(x ,y )、(x ,y )；
1 1 2 2
（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于 （或 ）的一元二次方程，必要时计算 ；
（3）列出韦达定理；
（4）将所求问题或题中的关系转化为 、 的形式；
（5）代入韦达定理求解.
19. 设数列 的前 项和为 ，若对任意的 ，都有 （ 为非零常数），则称数列
为“和等比数列”，其中 为和公比.若{b )是首项为1，公差不为0的等差数列，且{b )是“和等比数列”，令
n n
第19页/共25页
学科网（北京）股份有限公司，数列 的前 项和为 .
（1）求{b )的和公比；
n
（2）求 ；
（3）若不等式 对任意的 恒成立，求 的取值范围.
【答案】（1）4 （2）
（3）
【解析】
【分析】（1） 设等差数列 的公差为 ，前 项和为 ，由 是“和等比数列”，所以 ，
化简可得 的值；
（2）由（1）可知 ，由错位相减得出 ；
（3）设 ，计算得 ，再分 为奇数和偶数两种情况求解可得 的取值范围.
【小问1详解】
设等差数列 的公差为 ，前 项和为 ，
则 ，
所以 .
因为 是“和等比数列”，
所以 ，即 ，对任意的 都成立，
第20页/共25页
学科网（北京）股份有限公司所以 ，解得 ，
所以 的和公比为
【小问2详解】
可知 ，则 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
即 ，所以 .
【小问3详解】
设 ，
.
不等式 对任意的 恒成立，
即不等式 对任意的 恒成立.
当 为奇数时， ，则 ；
第21页/共25页
学科网（北京）股份有限公司当 为偶数时， ，则 .
综上， 的取值范围是
.
20 已知函数 ．
（1）求函数 的极值；
（2）证明：对任意的 ，有 ；
（3）若 ，证明： ．
【答案】（1） ；
（2）证明见解析； （3）证明见解析.
【解析】
【分析】（1）先求出导函数，再令 根据导函数的单调性得出极值.
（2）先构造函数 ，再求导得出函数单调性，得出函数最小值 ，得出
，同乘 即可得出 证明不等式；
（3）先构造函数 ，应用单调性可得 ，再分
， 三种情况分别证明即可.
【小问1详解】
因为 ，
第22页/共25页
学科网（北京）股份有限公司令 ，
又因为 单调递减； 单调递增；
所以 的极小值为 ，无极大值.
【
小问2详解】
令 ，
可得 ，令 ，
单调递增， ，
单调递减；
单调递增；
所以 ，
所以 ，
所以 ，即得 ，
所以
【小问3详解】
对任意的 ，令 ，
所以
第23页/共25页
学科网（北京）股份有限公司令
单调递增， ，
单调递减，
所以设 ，则 即
可得 ，
当 单调递增，所以 ，可得
所以 ，
当 单调递减，所以 ，可得
所以 ，
当
因为 单调递增，所以 ，可得 可得
，
因为 单调递减，所以 ，可得 可得
，
第24页/共25页
学科网（北京）股份有限公司所以 ，
所以 .
【点睛】方法点睛：先构造函数 ，根据导函数得出函数单调性，应用单调性可得
，再把 分为 ，
三种情况分别证明即可.
第25页/共25页
学科网（北京）股份有限公司
