文档内容
2025 年秋季学期广西示范性高中高二期中联合调研测试
数学试卷
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内.
2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工
整、笔迹清楚.
3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区书写的答案无效；在草稿纸、试
题卷上答题无效.
4.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀.
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的选项中，只有一项是符
合题目要求的.
1. 已知直线的方程为 ，则该直线的斜率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】将直线的一般方程转化为斜截式方程，直接可得该直线的斜率.
【详解】直线的方程为 ，化为斜截式 ，
故直线的斜率为 .
故选：A.
2. 设P为椭圆 上一点， 分别是C的左，右焦点．若 ，则 （
）
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学科网（北京）股份有限公司A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】依据椭圆定义，列方程组即可解得 的长度.
【详解】椭圆 的长半轴长为3，
由椭圆的定义可知 ，
由 ，可得 ．
故选：C
3. 若函数 在区间 上是增函数，则实数 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用二次函数的性质计算即可.
【详解】易知 在对称轴 右侧是增函数，所以 ，即 .
故选：D
.
4 已知向量 ， ，且 ，那么 （ ）
A. B. C. D. 5
【答案】C
【解析】
【分析】根据空间向量垂直的坐标运算求得 ，然后利用空间向量模的坐标运算求解即可.
【详解】由向量 ， ，且 ，
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学科网（北京）股份有限公司得 ，则 ，则 .
故选：C
5. 已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【详解】绘制圆柱的轴截面如图所示，由题意可得： ，
结合勾股定理，底面半径 ，
由圆柱的体积公式，可得圆柱的体积是 ，故选B.
【名师点睛】涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特殊点(一般为接、切
点)或线作截面，把空间问题转化为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只
画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系，
列方程(组)求解.
6. 已知椭圆 焦点在 轴且离心率为 ，则 的值为（ ）
A. 3 B. C. D.
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学科网（北京）股份有限公司【答案】D
【解析】
【分析】根据椭圆方程，求出 ，代入离心率公式，即可得答案.
【详解】椭圆 变形为 ，
因为焦点在 轴，所以 ，
所以离心率 ，解得 .
故选：D
7. 如图，在平行六面体 中，M为AC与BD的交点，若 ，
， ，则 的值为（ ）
A. 1 B. C. 2 D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据空间向量关系表示出 ，平方处理即可求得模长.
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学科网（北京）股份有限公司【详解】由题平行六面体 中，M为AC与BD的交点，
， ， ，
，
所以
故选：B
8. 阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与阿基米德、欧几里得并称为亚历山大时期数学三巨匠，他研究发现：
如果一个动点 到两个定点的距离之比为常数 （ ，且 ），那么点 的轨迹为圆，这就是著名
的阿波罗尼斯圆.若点 到 ， 的距离之比为 ，则点 到直线 的距离的最
小值为（ ）
A. B. C. 1 D. 3
【答案】B
【解析】
【分析】利用直接法求得点 的轨迹方程，结合圆的性质，即可求解.
【详解】设 ，因为 ，所以 ，即
，
所以 点的轨迹为以 为圆心，半径为 的圆.
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学科网（北京）股份有限公司则点 到直线 的距离 ，
故点 到直线 的距离的最小值为 .
故答案为：B
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.每小题给出的选项中，有多项是符合
题目要求的.
9. 已知直线 ： ，直线 ： ，则（ ）
A. 直线 过定点 B. 当 时，
C. 当 时， D. 当 时，两直线间的距离为
【答案】AC
【解析】
【分析】利用变换主元、两直线位置关系、及平行线间距离公式一一判定选项即可.
【详解】对于A，易知 ，即 时恒成立，
所以直线 过定点 ，故A正确；
对于B、D，若 时，则 ，解之得 ，
此时两直线间距离为 ，故B、D错误；
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学科网（北京）股份有限公司对于C，若 ，则 ，故C正确.
故选：AC
10. 在棱长为2的正方体 中， 、 、 分别为 、 、 的中点，则下列选
项正确的是（ ）
A. B. 直线 与 所成角的余弦值为
C. 三棱锥 的体积为 D. 存在实数 、 使得
【答案】BCD
【解析】
【分析】建立空间直角坐标系，对于A，计算 值的即可判断；对于B，计算 的值即
可判断；对于C， 等体积法即可计算求解；对于D，由 计算求出 即
可得解..
【详解】由题可建立如图所示的空间直角坐标系，
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学科网（北京）股份有限公司则
对于A：因为 ,故 与 不垂直，故A错误；
对于B： ，
，
所以直线与所成角的余弦值为 ，故B正确；
对于C： ，故C正确；
对于D： ,
若存在实数使得 ，则 ，
即 ，解得 ，故D正确.
故选：BCD.
11. 如图，点 ， ， ， ， 是以 为直径的圆 上一段圆弧， 是
以 为直径的圆 上一段圆弧， 是以 为直径的圆 上一段圆弧，三段弧构成曲线 则（ ）
A. 所在的圆截直线 所得弦的长为
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学科网（北京）股份有限公司B. 与 的公切线的方程为
C. 所在圆与 所在圆的公共弦所在直线的方程为
D. 动点 ， 分别在圆 和 上，动点 在 上， 的最小值为
【答案】BCD
【解析】
【分析】由题知曲线 与 轴围成的图形是一个半圆，一个矩形和两个四分之一圆，故可写出各段圆弧所
在圆的方程，然后根据圆的相关知识判断各选项即可．
【详解】 ， ， 所在圆的方程分别为 ， ， ，
对于A， 所在圆的方程为 ，圆心为 ，
圆心 到直线 的距离为 ，
则所求弦长为 ，故A不正确；
对于B，设 与 的公切线直线斜率存在，则设公切线方程为 ，
则 ，所以 ， ，
所以 与 的公切线的方程为 ，即 ，故B正确；
对于C，由 及 ，
两式相减得 ，即公共弦所在直线方程为，故C正确；
对于D， 关于直线 的对称点为 ，
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学科网（北京）股份有限公司则由图象可知 ，
当 ， ， 三点共线时， 取得最小值，
的最小值为圆 与圆 的圆心距减去两个圆的半径和，
即为 ，故D正确．
故选：BCD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 的三个顶点的坐标分别是 ， ， ，则边 的垂直平分线方程为______.
【答案】
【解析】
【分析】利用两点连线斜率公式及直线垂直的充要条件结合点斜式计算即可.
【详解】易知 ， 的中点坐标为 ，则其中垂线斜率为 ，
所以中垂线方程为： ，整理得 .
故答案为： .
13. 已知某岛屿 正西方向 处有一台风中心，它正向北偏东60°方向移动，移动速度的大小为
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学科网（北京）股份有限公司.距台风中心 以内的地区都将受到影响.若台风中心的这种移动趋势不变，则岛屿 所在地
受到影响的持续时间为______小时.
【答案】
【解析】
【分析】设直角坐标系的原点 为台风中心，求出以 为圆心，以 为半径的圆与直线 所得
弦长即可.
【详解】如图，设直角坐标系的原点 为台风中心， 轴正半轴上存在岛屿 ，
且台风中心在第一象限沿着直线 运动，
以 为圆心，以 为半径的圆与直线 交于 两点，
因为点 到直线 的距离 ，
则 ，
则岛屿 所在地受到影响的持续时间为 小时.
故答案为：
14. 设椭圆 ： 的左、右焦点分别为 、 ， 是椭圆上的一点， ，
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学科网（北京）股份有限公司原点 到直线 的距离为 ，则椭圆 的离心率等于______.
【答案】
【解析】
【分析】利用椭圆的通径长结合解直角三角形构造齐次式计算离心率即可.
【详解】设椭圆的半焦距为c，即 ，
由题意可知 ，即 ，
则 ，
所以 ，整理得 ，
所以 ，即 .
故答案为： .
四、解答题：本题共5小题，共77分.
15. 已知圆心在 轴的正半轴上，半径为2的圆 与直线 ： 相切.
（1）求圆 的方程；
（2）若过点 的直线 与圆 相交于点 、 ， ，求直线 的方程.
【答案】（1）
（2） 或 .
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学科网（北京）股份有限公司【解析】
【分析】（1）设圆心坐标，根据圆的标准方程及直线与圆的位置关系计算即可；
（2）设直线方程，利用弦长公式计算参数即可.
【小问1详解】
设圆心 ，则 ，由题意可知C到 的距离 ，
解之得 ，即圆 的方程为 ；
【小问2详解】
易知 时不与圆 相交，
不妨设 ，则C到 的距离 ，
所以 ，解之得 或 ，
所以 或 .
16. 在 中，内角 ， ， 的对边分别为 ， ， .已知 ， ，
.
（1）求 ；
（2）设 为 边上一点，且 ，求 的面积.
【答案】（1）2 （2）
【解析】
【分析】（1）利用余弦定理计算即可；
.
（2）利用正弦定理结合三角形面积公式计算即可
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学科网（北京）股份有限公司【小问1详解】
由 ，可知 ，
又 ，所以 ，
由余弦定理可知 ，解之得 ；
【小问2详解】
由（1）及正弦定理可知 ，解得 ，
易知 ，所以 ，
，即D为 的中点，
所以 .
17. 某中学为提升学生的数学素养，激发大家学习数学的兴趣，举办了一场“数学文化素养知识大赛”，分为
初赛和复赛两个环节，全校学生参加了初赛，现从参加初赛的全体学生中随机地抽取200人的成绩作为样
本，得到如下频率分布直方图，根据图形，请回答下列问题：
（1）求频率分布直方图中 的值.用样本估计总体，估计该校学生初赛成绩的平均数以及中位数.（同一组
中的数据用该组区间中点值作代表）（保留小数点后两位）；
（2）若甲、乙、丙三位同学均进入复赛，已知甲、乙、丙复赛获一等奖 的概率分别为 ， ， ，甲、
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学科网（北京）股份有限公司乙、丙获一等奖互不影响，求至少有两位同学复赛获一等奖的概率.
【答案】（1） ，平均数为 ，中位数为 ；
（2）
【解析】
【分析】（1）根据频率分布直方图的性质及平均数、中位数的求法计算即可；
（2）利用独立事件的概率公式计算即可.
【小问1详解】
易知 ，
则该校学生初赛成绩的平均数为
，
又 ，则中位数位于 之间，
中位数不妨设为x，则 ；
【小问2详解】
设事件甲、乙、丙获奖分别为
至少两位同学获奖有如下情况：甲乙获奖丙未获奖，甲丙获奖乙未获奖，乙丙获奖甲未获奖，甲乙丙三人
均获奖，
则
.
18. 如图， 和 所在平面垂直， ， .
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学科网（北京）股份有限公司（1）求证： ；
（2）求 与平面 所成角的大小；
（3）求平面 和平面 的夹角的余弦值.
【答案】（1）证明见详解
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）先证明线面垂直，再证线线垂直；
（2）由（1）知 面 ，所以 即为 与平面 所成角，易得 ；
（3）建立空间直角坐标系，分别求出两个平面的法向量，法向量夹角的余弦值即为两个平面夹角的余弦
值.
【小问1详解】
作 于点 ，连接 ，因为 和 所在平面垂直，
平面 平面 ，所以 ， .
因为 , ，所以 ，
所以 ，又 平面 ，
所以 平面 ， 平面 ，所以 .
【小问2详解】
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学科网（北京）股份有限公司由（1）知 ， 平面 ，
平面 ，
所以 即为 与平面 所成角，易得 , ，所以 与
平面 所成角为 .
【小问3详解】
以点 为原点，分别以 所在直线为 轴， 轴， 轴建立空间直角坐标系如图所示：
则 ,
设平面 的法向量 ，
则 ，
令 ，则 ， ，平面 的法向量 ，
则 ，所以平面 和平面 的夹角的余弦值为 .
19. 已知椭圆 ： （ ）的左右焦点分别为 ， ，左右顶点分别为 ， ，上顶
点为 ，且 ， 的周长为6，过右焦点 的直线 与 交于 、 两点（其中 在 轴
上方）.
（1）求椭圆 的方程；
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学科网（北京）股份有限公司（2）求 面积的最大值；
（3）若直线 、 与 轴分别交于 、 两点，判断点 与以 为直径的圆的位置关系，并证
明你的结论.
【答案】（1）
（2）
（3）点 在以 为直径的圆上，证明见解析.
【解析】
【分析】（1）利用椭圆的定义与性质计算即可；
（2）设直线 方程及 坐标，利用韦达定理及三角形面积公式、对勾函数的性质计算即可；
（3）利用点斜式表示两直线方程得出 坐标，利用上问的韦达定理结论结合向量的数量积运算，判定
向量垂直即可说明点在圆上.
【小问1详解】
由题意可知 ，解之得 ，
所以椭圆 ： ；
【小问2详解】
由上知 ，结合题意可设 ，
联立直线l与椭圆方程 ，化简得 ，
则 ，
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学科网（北京）股份有限公司易知
，令 ，
由对勾函数的性质知 在 上单调递增，
则 ，即 ，当且仅当 时取得最大值；
【小问3详解】
易知 ，则 ，所以 ，
同理可得 ，即 ，
可知 ，
由上知 ，代入上式整理得 ，
即 ，所以点 在以 为直径的圆上.
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学科网（北京）股份有限公司
