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2025-2026 学年十堰市八校教联体 11 月联考
高二数学试卷
考试时间：2025年11月4日下午15：00-17：00 试卷满分：150分
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.）
的
1. 已知平面 一个法向量 ，点 在平面 内，则点 到平面 的距
离为（ ）
A. 10 B. 3 C. D.
2. 若直线 ： 与直线 ： 平行，则 ＝（ ）
A. B. 或3 C. D. 3
3. 已知 ，空间向量 为单位向量， ，则空间向量 在向量 方向上的投影向量的模长
为（ ）
A. 2 B. C. D.
的
4. 已知倾斜角为 直线 与直线 垂直，则 的值为（ ）
A. B. C. D.
5. 从四双不同的鞋中任意取出 只,事件“ 只全部不成对”与事件“至少有 只成对”（ ）
A. 是对立事件 B. 不是互斥事件
C. 是互斥但不对立事件 D. 都是不可能事件
6. 如图，在四面体 中， 分别为 的中点， 为 的重心，则 （ ）
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学科网（北京）股份有限公司.
A
B.
.
C
D.
7. 将一颗质地均匀的正方体骰子（六个面的点数分别为 ），先后抛掷两次，将得到的点数分
别记为m，n，记向量 ， 的夹角为 ，则 为钝角的概率是（ ）
A. B. C. D.
8. 在矩形 中， ， ，沿对角线 将矩形折成一个大小为 的二面角 ，
若 ，则下列结论中正确结论的个数为（ ）
①四面体 外接球的表面积为
②点 与点 之间的距离为
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学科网（北京）股份有限公司③四面体 的体积为
④异面直线 与 所成的角为
A. B. C. D.
二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合
题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）
9. 已知直线 ，则（ ）
A. 直线 不过原点
B. 直线 可能与坐标轴垂直
C. 时，直线 与直线 垂直
D. 时，直线 的一个方向向量为
10. 已 知 一 组 样 本 数 据 ， 其 中 为 正 实 数 ． 满 足
．下列说法不正确的是（ ）
A. 样本数据的第50百分位数为
B. 若数据的频率分布直方图为单峰不对称，且在左边“拖尾”，则样本数据的平均数小于中位数
C. 已知这组数据的极差是6，则数据 的极差是11
D. 样本数据的方差 ，则这组样本数据的总和等于80
11. 台球运动已有五、六百年的历史，参与者用球杆在球台上击球.若和光线一样，台球在球台上碰到障碍
物后也遵从反射定律.如图，有一张正方形球台 ，现从角落 沿角 的方向把球打出去，球经2次
碰撞球台内沿后进入角落 的球袋中，则 的值可以为（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A. 3 B. 2 C. D.
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.）
12. 求过点 ，且在两坐标轴上的截距相等的直线 的方程（答案写成直线的一般方程）________.
13. 在正三棱锥 中， ，且该三棱锥的各个顶点均在以 为球心的球面上，设
点 到平面 的距离为 ，到平面 的距离为 ，则 ________．
14. 从方程 的所有非负整数解中随机取出一组解，则该解是正整数解的概率为________.
四、解答题（共5小题，共计77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
15. 已知坐标平面内三点 ， ， .
（1）求直线 ， ， 的斜率和倾斜角；
（2）若 为 的边 上一动点，求直线 的斜率的取值范围.
16. 为了提高市民的环保意识，某市举行了环保知识竞赛，为了解全市参赛者的成绩情况，从所有参赛者
中随机抽取了100人的成绩（均为整数）作为样本，将其整理后分为 6组，并作出了如图所示的频率分布
直方图（最低40分，最高100分）．
（1）求a的值；
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学科网（北京）股份有限公司（2）从频率分布直方图中，估计本次竞赛成绩的众数和平均数；
（3）认定成绩位于前百分之六十的考生为良好，请你估计良好认定的分数线是多少．（保留整数）
17. 如 图 ， 在 四 棱 柱 中 ， 平 面 ， ，
． 分别为 的中点，
（1）求证： 平面 ；
（2）求平面 与平面 夹角余弦值；
（3）求点 到平面 的距离．
18. 在川大附中2024秋季教职工运动会拔河比赛中，高一、高二、高三三个年级组和行政组共四个队伍角
逐冠军.比赛采用“双败淘汰制”：
第一轮，四个队伍通过抽签分成两组，每组两个队伍对阵，每组的胜者进入“胜区”，败者进入“败区”；
第二轮，“胜区”中两个队伍对阵，胜者进入“决赛区”；“败区”中两个队伍对阵，败者直接淘汰出局获第四
名；
第三轮，“败区”的胜者和“胜区”的败者对阵，胜者进入“决赛区”，败者获第三名；
第四轮，“决赛区”的两个队伍进行冠军决赛，胜者获得冠军，败者获第二名.
已知高二和高三年级组水平相当，高一和行政组水平相当，高二对高三、高一对行政组的胜率均为 ，高
二、高三对高一和行政组的胜率均为 ，没有平局，且不同对阵的结果相互独立.经抽签，第一轮由高二对
阵高三，高一对阵行政组.
（1）求比赛结束时，高二比赛的场次是2场的概率；
的
（2）若已知高二输了第一轮 比赛，求高二获得冠军的概率；
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学科网（北京）股份有限公司（3）除“双败淘汰制”外，也经常采用“单败淘汰制”：即四个队伍分成两组后，每组中的两个队伍对阵，每
组的胜者进入“决赛区”，败者淘汰；最后，“决赛区”的两个队伍进行冠军决赛，胜者获得冠军.分别求在以
上两种赛制下高二获得冠军的概率，并比较哪种赛制对高二夺冠有利？请说明理由.
19. 如图①所示，矩形 中， ， ，点M是边 的中点，将 沿 翻折到
，连接 ， ，得到图②的四棱锥 ，N为 中点，
（1）若平面 平面 ，求直线 与平面 所成角的大小；
（2）设 的大小为 ，若 ，求平面 和平面 夹角余弦值的最小值.
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