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高 二 数 学
本试卷满分150分 考试时间120分钟
第Ⅰ卷 选择题（共58分）
一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共 40 分，在每小题所给的四个选项中，有且
只有一项是符合题目要求的）
1. 下列命题中，假命题是（ ）
A. 同平面向量一样，任意两个空间向量都不能比较大小
B. 是向量 的必要不充分条件
C. 只有零向量的模等于0
D. 共线的单位向量都相等
2. 四面体 中， ， ， ，且 ， ，则 等于（ ）
A. B.
C. D.
3. 已知向量 与 共线，则 （ ）
A. B. C. D.
4. 已知空间三点 ， ， 共线，则实数 的值为（ ）
A. 3 B. 5 C. D.
5. 设 是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，则下列命题正确的是（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A. 若 ，则 B. 若 ，则
C. 若 ，则 D. 若 ，则 与 相交
6. 如图，边长为2的正方体的一个顶点A在平面 内，其余顶点在 的同侧，且点B和点D到平面 的
距离均为 ，则平面 与平面 的夹角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
7. 17世纪法国数学家费马在给朋友的一封信中曾提出一个关于三角形的有趣问题：在三角形所在平面内，
求一点，使它到三角形每个顶点的距离之和最小.现已证明：在 中， 若三个内角均小于 ， 则
当点 满足 时，点 到三角形三个顶点的距离之和最小，点 被人们称
为费马点.根据以上知识，已知 为平面内任意一个向量， 和 是平面内两个互相垂直的向量，且 ，
，则 的最小值是（ ）
A. B. C. D.
8. 在平面直角坐标系中，定义： ，其中 ， .若 ，
且 ，则下列结论错误的是（ ）
A. 若 关于x轴对称，则
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学科网（北京）股份有限公司B. 若 关于直线 对称，则
C. 若 ，则
D. 若 ， ，则
二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题所给的四个选项中，有多项
符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9. 如图，已知四面体 ，点 分别是 的中点，下列说法正确的是（ ）
A. B.
C. D.
10. 已知点 ， ，且点 在直线 上，则（ ）
A. 的最小值为 B. 的最小值为
C. 存 在点 ，使得 D. 存在点 ，使得
11. 中国结是一种手工编制工艺品，它有着复杂奇妙的曲线，却可以还原（成单纯的二维线条，其中的数
字“8”对应着数学曲线中的双纽线.在xOy平面上，把与定点 ， 距离之积等于
的动点的轨迹称为双纽线.曲线C是当 时的双纽线，P是曲线C上的一个动点，则下列结论正确的是
（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A. 点P的横坐标的取值范围是 B. 的最大值是
C. 面积 的最大值为2 D. 的取值范围是
第Ⅱ卷 非选择题（共92分）
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15 分）
12. 设平面 的法向量为 ， 是平面 内的定点， 是平面 外一点，则点 到平面 的距离
____________
13. 设点 和 ，在直线 ： 上找一点 ，使 取到最小值，则这个最
小值为__________
14. 是等腰直角三角形，∠A＝90°， ，点D满足 ，点E是BD所在直线上一点，
若 ，则 ______；向量 在向量 上的投影向量记为 ，则实数m的取
值范围为______．
四、解答题（本大题共5小题，共 77 分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步
骤）
15. 已知直线 ．
（1）求证：直线l恒过定点 ；
（2）已知两点 ， ，过点A的直线与线段 有公共点，求直线的倾斜角 的取值范围．
16. 如图，直三棱柱 的体积为4， 是 的中点.
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学科网（北京）股份有限公司（1）求证： 平面 ；
（2）若 的面积为 ，求点 到平面 的距离.
17. 如图，在三棱锥 P-ABC中，AB⊥BC，AB=BC=kPA，点O为AC中点，D是BC上一点，OP⊥底面
ABC，BC⊥面POD．
为
（1）求证：点D BC中点；
（2）当k取何值时，O在平面PBC内的射影恰好是PD的中点．
18. 如图，在四棱锥 中， .
（1）求证： ；
（2）若 ，求平面 与平面 夹角的余弦值.
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学科网（北京）股份有限公司19. 人脸识别是基于人的脸部特征进行身份识别的一种生物识别技术．主要应用距离测试样本之间的相似
度 ， 常 用 测 量 距 离 的 方 式 有 3 种 ． 设 ， ， 则 欧 几 里 得 距 离
； 曼 哈 顿 距 离 ， 余 弦 距 离
，其中 （ 为坐标原点）．
（1）若 ， ，求 ， 之间 曼的哈顿距离 和余弦距离 ；
的
（2）若点 ， ，求 最大值；
（3）已知点 ， 是直线 上的两动点，问是否存在直线 使得 ，
若存在，求出所有满足条件的直线 的方程，若不存在，请说明理由．
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