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2024-2025 学年度（下）七校协作体 3 月高三联考
数学试题
考试时间：120分钟 满分：150分
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1. 已知集合 ，则 （ ）
A. B. C. D.
2. 已知i为虚数单位，若 ，则 （ ）
A. B. C. 2 D.
3. 已知两个变量x和y之间具有较强的线性相关关系，且y关于x的经验回归方程为 ，由它
计算出成对样本数据 对应的残差为0.12（残差=观测值-预测值），则 （ ）
A. 0.28 B. 0.56 C. 0.34 D. 0.48
4. 若直线 ： 与直线 ： 平行，则这两条直线间的距离为（ ）
A. B. C. D.
5. 已知等比数列 的公比为q，前 项和为 ，若 ，则下列结论公比 （ ）
A. B. C. D.
6. 记 为 的内角 的对边，则“ 为直角三角形”是“ ”的（
）
A. 充要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件
7. 2024年巴黎奥运会乒乓球比赛，中国队表现出色，包揽全部乒乓金牌，其中混双是中国历史上第一块奥运乒乓球混双金牌，由王楚钦和孙颖莎组成的“莎头”组合对战朝鲜队，最终以 的比分赢得胜利.假设
2025年的一次乒乓球比赛中，“莎头”组合再次遇到朝鲜队，采用7局4胜制（先胜4局者胜，比赛结束），
已知每局比赛“莎头”组合获胜的概率为 ，则“莎头”组合以 获胜的概率为（ ）
A. B. C. D.
8. 已知过点 的直线l与抛物线 交于点A，B两点.若A，B的横坐标分别为 .则
（ ）
A. B. C. 0 D. 2
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合
题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知 是两个不重合的平面， 是两条不同的直线，则下列命题中正确的是（ ）
A. 若 ，则
B. 若 ，则
.
C 若 ，则
D. 若 ，则
10. 设正实数m，n满足 ，则（ ）
A. 的最小值为
B. 的最大值为2
C. 的最大值为D. 的最小值为
11. 已知函数 ，则（ ）
A. 是 的一个周期
B. 是非奇非偶函数
C. 的最小值为
D. 关于x的方程 有无数个实数解
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知随机变量 与服从正态分布 ，则 ______.
13. 若非零向量 与单位向量 共线，且 ，则 __________.
14. 如图，已知正四面体 的棱长为1，过点B作截面α分别交侧棱 ， 于E，F两点，且四
面体 的体积为四面体 体积的 ，则 ______， 的最小值为______.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知函数
（1）若 的图象在点 处的切线方程为 ，求a与b的值；
（2）若 在 处有极值 ，求a与b的值.16. 如图，在四棱锥 中，平面 平面ABCD，
，M为棱PC的中点.
（1）证明： 平面PAD；
（2）若 ，求二面角 的正弦值.
的
17. 随着科技 飞速发展，人工智能已经逐渐融人我们的日常生活．在教育领域，AI的赋能潜力巨大.
为了解教师对AI大模型使用情况，现从某地区随机抽取了 200名教师，对使用A、B、C、D四种AI大模
型的情况统计如下：
使用AI大模型
的种数
0 1 2 3 4
性别
男 4 27 23 16 10
女 6 48 27 24 15
在上述样本所有使用3种AI大模型的40人中，统计使用A、B、C、D的AI大模型人次如下：
AI大模型种
A B C D
类
人次 32 30 30 28
用频率估计概率.
（1）从该地区教师中随机选取一人，估计至少使用两种AI大模型（A、B、C、D中）的概率；
的
（2）从该地区使用3种AI大模型（A、B、C、D中） 教师中，随机选出3人，记使用B的有 人，
求 的分布列及其数学期望 ；
（3）从该地区男，女教师中各随机选一人，记他们使用AI大模型（A、B、C、D中）的种数分别为 ，比较 的数学期望 的大小．（结论不要求证明）
18. 已知椭圆 的离心率为 ，且过点 .
（1）求C的方程；
（2）若斜率为1的直线与C相交于E，F两点，且 ，求l的方程；
（3）椭圆C与x轴相交于A，B两点，P为椭圆C上一动点，直线PA，PB与直线 交于M，N两点，
设 与 的外接圆的半径分别为 ， ，求 的最小值.
19. 若数列 满足 ，则称数列 为“平方递推数列”.已知数列 中， ，点
在函数 的图象上，其中n为正整数.
（1）证明数列 是“平方递推数列”，且数列 为等比数列；
（2）设（1）中“平方递推数列”的前n项积为 ，即 ，求 ；
（3）在（2）的条件下，记 ，求数列 的前n项和 ，并求使 的n的最小值.
