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公众号：高中试卷君
哈师大附中、大庆铁人中学 2023-2024 学年度高二下学期联合期末考
试
数学试卷
考试时间：120分钟，满分：150分
一、选择题：本题共8小题，每个小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是
符合题目要求的．
1. 已知集合 ， ，则 （ ）
A. B.
C. D.
2. 命题“对 ， ”为真命题的一个充分不必要条件可以是（ ）
A. B.
C. D.
3. 若 满足 ，则（ ）
A. B.
C. D.
4. 某校安排甲、乙、丙三个班级同时到学校礼堂参加联欢晚会，已知甲班艺术生占比 8%，乙班艺术生占
比6%，丙班艺术生占比5%，学生自由选择座位，先到者先选．甲、乙、丙三个班人数分别占总人数的 ，
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， ．若主持人随机从场下学生中选一人参与互动，选到的学生是艺术生的概率为（ ）
A. B. C. D.
5. 为了强化学生安全意识，落实“12530”安全教育，某学校让学生用这5个数字再加一个0来设定自己教室
储物柜密码，若两个0之间至少有一个数字，且两0不都在首末两位，可以设置的密码共有（ ）
A. 72 B. 120 C. 216 D. 240
6. 已知函数 6，若 ，则 的最大值为（ ）
A. B.
C. D.
7. 已知 ，则 的最小值为（ ）
A. B. 0 C. 1 D.
8. 已知 ， ， ，则m，n，p的大小关系为（ ）
A. B.
.
C D.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符
合题目要求．部分选对部分得分，有选错的得0分．
9. 已知 ，则下列说法中正确的有（ ）
A. 的展开式中的常数项为84
B. 的展开式中不含 的项
C. 的展开式中的各项系数之和与二项式系数之和相等
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D. 的展开式中的二项式系数最大的项是第四项和第五项
10. 若函数 在 上有最大值，则a的取值可能为
A. B. C. D.
11. 某校为了解学生对2024欧洲杯的关注度（关注或不关注），对本校学生随机做了一次调查，结果显示
被调查的男、女生人数相同，其中有 的男生“关注”，有 的女生“关注”，若依据小率值 的独
立性检验，认为学生对世界杯的关注度与性别有关联，则调查的总人数可能为（ ）
参考公式： ， ．
0.100 0.050 0.025 0.010 0.001
2.706 3.841 5.024 6.635 10.828
A. 276 B. 288 C. 300 D. 312
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 函数 在点 处的切线与两个坐标轴围成的三角形面积为________．
13. 某省计划在高考中对政治、地理、化学、生物四门选考科目进行赋分制度计分，即将每门选考科目的
考生原始成绩从高到低划分为A、B、C、D、E共5个等级，参照正态分布原则，确定各等级人数所占比
例分别为10%，35%，35%，18%，2%，选考科目成绩计入考生总成绩时，将A至E等级内的考生原始成
绩，依照等比例转换原则，分别转换到 ， ， 、 、 五个分数区间，
得到考生的赋分等级成绩，如果该省某次高考模拟考试政治科目的原始成绩 ，若一名学
生想取得A等的赋分等级，则他的原始分数最低为________分．（分数保留整数）
附：①若 ， ，则 ；②当 时， ．
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14. 设 是函数 的零点，则 ______．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知函数 ．
（1）求函数 的极值；
（2）若曲线 在点 处的切线与曲线 只有一个公共点，求a的值．
16. 某歌手选秀节目，要求参赛歌手先参加初赛．歌手晋级与否由A、B、C三名导师负责．首先由A、B
两位导师对歌手表现进行初评，若两位老师均表示通过，则歌手晋级；若均表示不通过，则歌手淘汰；若
只有一名导师表示通过，则由老师C进行复合审查，复合合格才能通过；并晋级．已知每个歌手通过A、
B、C三位导师审核的概率分别为 ， ， ，且各老师的审核互不影响．
的
（1）在某歌手通过晋级 条件下，求他（她）经过了复合审查的概率；
的
（2）从参赛歌手中选出3人，设其中通过晋级 人数为X，求X的分布列和数学期望．
17. 已知函数 ．
（1）求函数 的单调区间；
（2）若对于任意的 ，且 ，恒有 ，求实数 的取值范围．
18. 某校高一新生共1000人，男女比例为1：1，经统计身高大于170cm的学生共600人，其中女生200人．
该校为了解高一新生身高和体重的关系，在新生中随机抽测了 10人的身高（单位：cm）和体重（单位：
kg）作为一个样本，所得样本数据如下表所示：
编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
身高 164 165 170 172 173 174 176 177 179 180
体重 57 58 65 65 90 70 75 76 80 84
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（1）在对这10个学生组成的样本的检测过程中，采用不放回的方式，每次随机抽取1人检测
（ⅰ）若已进行了三次抽取，求抽取的这三人中至少有两人体重大于74kg的概率；
（ⅱ）求第一次抽取的学生体重大于79kg且第二次抽取的学生身高大于175cm的概率；
（2）由表中数据 的散点图和残差分析，编号为5的数据 残差过大，确定其为离群点，所以应去
掉该数据后再求经验回归方程．已知未去掉离群点的样本相关系数约为0.802，请用样本相关系数说明去
掉离群点 的合理性（相关系数r保留三位小数）．
参考公式及数据：样本相关系数
， ， ， ， ．
19. 帕德近似是法国数学家亨利·帕德发明的用有理多项式近似特定函数的方法，给定两个正整数m，n，函
数 在 处的 阶帕德近似定义为： ，且满足：
， ， …， （注： ，
， ， ，…， 为 的导数）已
知 在 处的 阶帕德近似为 ．
的
（1）求实数a，b 值，并估计 的近似值（保留三位小数）；
（2）求证： ；
（3）求不等式 的解集，其中 ．
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