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高二!#月联合检测卷
数学参考答案
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!!$!%!&!’!$四个选项中直线的斜率分别为(! !)(!) !则倾斜角最大的是直线"*(#
( (
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(
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(
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(
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所以向量!在向量"上的投影向量是 % + "+ ) ! !) !
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1 3 2
2!&$!对于%!1"*2#*3+#可化为#+) ") !若直线不经过第二象限!则# 即
2 2 3
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12,#!23+#!故%错误!
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书书书(")(#+#! ("+(!
对于&!直线方程可整理为"")(##!*("*#).+#!由 得 所以直线
("*#).+#! #+!!
恒过定点"(!!#!故&正确!
对于’!当%+#时!直线方程为#+)(!此时与#轴垂直!故’错误!
!
对于$!直线,"*,#)!+#的横)纵截距均为 !故$正确!综上!选&$!
,
!#!&’$!点,"#!)!#在圆.内!当弦与,.垂直时!所截得的弦最短!此时的直线方程为"
+#!%错误*
圆.和圆4的方程相减可得"*#+#!所以直线’(的方程为"*#+#!&正确*
由圆.$""*!#(*"#*!#(+,!可知圆心为.")!!)!#!半径为槡,!点.到直线’(的距
(
离为 +槡(!故&’(&+(槡"槡,#()"槡(#(+(!’正确*
槡(
易知直线.4的方程为#+"!得’(的中点为"#!##!所以以线段’(为直径的圆的方程
为"(*#(+!!$正确!
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!
上且/不与5重合!易知5&
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-,
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由5/+!5&*"55
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!
5
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上!则点/到平面
! ! !
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则,"!!#!##!&"#!!!!#!/#! !# !, "!!#!!#!
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))(
&,, %#& ! 槡"
到平面,/& 的距离为8!则8+ ! + + !即点, 到平面,/& 的距离为
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槡"
!故$正确!综上!选%’$!
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!(!,!由0.+!0,*(0*)-0&!根据四点共面的充要条件可得!*()-+!!解得!+,!
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(3 )(3 *!+#!
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# 所以点’关于直线-的对称点坐标为 ! !
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设圆.的半径为)!/,.*+#!则9 + )(678#!当/,.*+ 时!9 的最大值
0,.* ( ( 0,.*
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为 )(!此时根据对称性!不妨取直线-的方程为")槡,#)(+#!因为/,.*+ !.,+
( (
槡( , 槡( , 2
.*+)!所以点.到直线-的距离为 )!所以 + )!解得)+ !则!)%+ !解
( 槡!*, ( 槡( (
/
得%+) !
(
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#*! ")-
故&.的方程是 + !即("*,#).+#! --------------"分
,*! )()-
,)# ,
"(#因为直线,&的斜率+ + +) !-----------------2分
,& )()( -
,
所以经过点*且与直线,&平行的直线方程为#*(+) "")"#!即,"*-#)!#+#!
-
----------------------------------!,分
))( ))( ))( !))( ())( !))( !))( ())(
!"!解$"!#因为*/+(/5!所以,/+ ,** ,5+ ,** ,, * ,5!---,分
! , ! , , , ! ,
))( !))( !))( ())(
&,/&+ ,** ,, * ,5
, , ! ,
!))( !))( -))( ())( ))( -))( ))( -))( ))(
+槡,*(* ,,(* ,5(* ,*%,, * ,*%,5* ,, %,5
2 2 ! 2 2 ! 2 2 !
! ! - ( ! - - ! 槡,!
+槡* 3-* 3-* 3!3(3 * 3#* 3(3(3 + ! -----/分
2 2 2 2 ( 2 2 ( ,
))( ))( ))( ))( !))( ))(
"(#&5+&***,*,5+ ,5),*!-------------------2分
(
))( !))( ))( !))( ))( ))( ))(
&&5&+ ,5),* +槡,5(*,*(),5%,*+槡(!----------!!分
( -
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,/%&5+ ,** ,, * ,5 % ,5),*
, , ! , (
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+#* 3(3(3 * 3(() 3!() 3(3!3 )#+!!---------!,分
" ( , , , (
))( ))(
))( ))( ,/%&5 ! ,槡"(
456+,/!&5,+ ))( ))( + + !异面直线,/与&5所成角的余弦值为
&,/&&&5& 槡,! "(
3槡(
,
,槡"(
!---------------------------------!.分
"(
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将点")!!)!#的坐标代入圆&的方程!成立!则点")!!)!#在圆&上! -----,分
)(*!
点")!!)!#与点"#!)(#连线的斜率为 +)!!--------------分
#*!
所以直线-的斜率为!!--------------------------.分
故直线-的方程为#*!+"*!!即")#+#!-----------------/分
"(#设所求圆的圆心坐标为"($!$#!由于该圆与"轴相切!因此该圆的半径为&$&!--2分
所以该圆的方程是"")($#(*"#)$#(+$(!-----------------!#分
因为该圆被直线-截得的弦长为(槡(!所以该圆圆心到直线")#+#的距离8+
槡&$&()"槡(#(+槡$()(!-------------------------!(分
&$&
由 +槡$()(!解得$+9(!-----------------------!-分
槡(
故圆.的标准方程为"")-#(*"#)(#(+-或""*-#(*"#*(#(+-! -----!.分
!1!"!#证明$因为平面,*5/-平面*&5!平面,*5/1平面*&5+*5!*5-/5!
所以5/-平面*&5!---------------------------(分
又*&2平面*&5!所以5/-*&!---------------------,分
因为*&-&5!且5/1&5+5!所以*&-平面5/&! ------------.分
"(#解$在:;0*&5中!&5+(!*&+(槡,!
))( ))(
以&为原点!&5!&*的方向分别为"轴!#轴的正方向!过点&作垂直
于平面*&5的直线为7轴!建立如图所示的空间直角坐标系!
则,"!!槡,!(槡(#!*"#!(槡,!##!&"#!#!##!/"(!#!(槡(#!
))( ))( ))(
得&,+"!!槡,!(槡(#!&*+"#!(槡,!##!&/+"(!#!(槡(#!---/分
设#+""!#!7#为平面,*&的一个法向量!
))(
$&,%#+"*槡,#*(槡(7+#!
则# 取7+槡(!得#+")-!#!槡(#!---------2分
))(
%&*%#+(槡,#+#!
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&&/%#& - (槡(
所以点/到平面,*&的距离8+ + + !-----------!!分
&#& ,槡( ,
",#解$取:为*5的中点!连接,:!过点&作&;-*5!垂足为;!连接,;!
易知,:-平面*&5!所以,:-:&!则,&+(槡,! -------------!,分
设/*5&+#!则&5+-456#!&;+-456#678#+(678(#!
因为&;-*5!平面,*5/-平面*&5!平面,*5/1平面*&5+*5!所以&;-平面
,*5/!所以/&,;为直线,&与平面,*5/所成的角!-----------!.分
&; (678(# 678(# 槡, ! 槡,
故678/&,;+ + + . !当且仅当#+ 时!取得最大值 !所以直线
,& (槡, 槡, , - ,
槡,
,&与平面,*5/所成角的正弦值的最大值为 !--------------!/分
,
!2!解$"!#""#若%+#!折叠前直线-的方程为#+"!
$ 槡( $ 槡(
"+ ! "+) !
(#+"! ( ( "槡( 槡(# " 槡( 槡(#
联立 解得# 或# 可得, ! !* ) !) !--(分
"(*#(+!!
槡( 槡(
( ( ( (
#+ #+) !
% ( % (
! ! 槡( 槡( !
折叠后三棱锥,6*.4的体积为 3 3(3 3 + !------------分
, ( ( ( "
" 槡( 槡(# "槡( 槡( #
"##易知,#! ! !* !) !# !."#!)!!##!4"#!!!##!
( ( ( (
))( " 槡( 槡(#))( " 槡( 槡( #
,4+ #!!) !) !*4+ ) !!* !# !---------------.分
( ( ( (
设平面,4*的法向量为#+""!#!7#!
$" 槡(# 槡(
(,
))
4
(
%#+#!
!)
(
#)
(
7+#!
则 即# 令#+!!则"+!*槡(!7+槡()!!所以#+"!
))(
*4%#+#! 槡( " 槡(#
) "* !* #+#!
% ( (
*槡(!!!槡()!#!-----------------------------/分
易知$+"#!#!!#为平面*.4的一个法向量!----------------1分
设二面角,6*46.的大小为#!由题可知#为锐角!
$%# 槡()! 槡()!
所以456#+&456+$!#,&+ + + !故二面角
&$&&#& 槡"!*槡(#(*!(*"!)槡(#( 槡/
槡!-)槡/
,6*46.的余弦值为 !----------------------!#分
/
&%&
"(#设折叠前,""!##!*""!##!圆心"#!##到直线-的距离8+ !
! ! ( (
槡(
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则&,*&+(槡!)8(+(槡!) !---------------------!(分
(
(#+"*%!
直线-与圆0方程联立 得("(*(%"*%()!+#!
"(*#(+!!
%()!
即"*"+)%!""+ ! -----------!,分
! ( ! ( (
设,!*在新图形中的对应点分别为,
