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2024-2025 学年高二数学上学期第一次月考卷
参考答案
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）
1．
2． 或
3．30°/
4．
5．①②
6．8
7．①④
8．60°/
9．
10．5
11．5
12．
二、选择题(本题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分；每题有且只有一个正
确选项)
13 14 15 16
D C A A
三、解答题(本大题共有5题，满分78分，第17-19题每题14分，第20、21题每题18分.)
17．（1）如图，
学科网（北京）股份有限公司设 和 交于点 ，连接 ，
为长方体，
∴点 为 中点，
∵点 为 中点，
∴ ， （4分）
∵ 平面 ， 平面 ，
∴ ∥平面 . （6分）
（2） 为长方体，
∴ 平面 ，则直线 与平面 所成角为 ， （8分）
， ，
所以直线 与平面 所成角的正切值为 . （14分）
18．（1）如图，
学科网（北京）股份有限公司因为 平面 ，连接 ，
则 即为直线 与平面 所成的角， （1分）
又 ， ， ，
为 中点，可得 ， ，
所以 ，
即直线 与平面 所成的角的正切值为 . （6分）
（2）由题知， 平面 ， 平面 ，
， 平面 ，
所以平面 平面 . （8分）
因为 平面 ， 平面 ，
所以 ，
又 ， 平面 ， ，
所以 平面 ，又 平面 ，
所以 就是直线 到平面 的距离，
又 为 中点，ME∥AB，
所以E为AC中点，
所以 ，
即直线 到平面 的距离为 . （14分）
19．（1）证明：连接 ，DE，如下所示：
则在等边三角形 中， ，
又因为 ， ， 面 ，
所以 面 ，因为 面 ， （2分）
学科网（北京）股份有限公司所以 ，又 ，
所以 ， ，
所以 ，即 ，
又 ， 、 面 ，
所以 面 ； （6分）
（2）设平面 平面 ，又 //AB， 平面 ，
平面 ，所以 //平面 ，又 平面 ，所以 // ， （8分）
所以 //AB// ，又 ，所以 ，又 ，所以 ，
所以 即为面 和平面 所成二面角的平面角，
由（1）知， ，所以△ 为等腰直角三角形，
故面 和平面 所成锐二面角为 ． （14分）
20．（1） 平面 ， 平面 ，则 ，
所以 ，又 ，所以 ， （1分）
因为 是矩形，所以 ，即 ，当
且仅当 ，即 ， 时等号成立，
所以底面 面积的最大值是 ； （4分）
（2） 平面 ， 平面 ，则 ，
又 ， ， 平面 ，所以 平面 ，
又 平面 ，所以 ， （6分）
， 是 中点，则 ，
又 ， 平面 ，所以 平面 ，
而 平面 ，所以 ，
又因为 ， ， 平面 ，所以 平面 ；
学科网（北京）股份有限公司（10分）
（3）因为 平面 ， 底面 ，平面 与平面 所成锐二面角的大小为 ，
所以 与 的夹角也是 ，即 ， （12分）
所以 ， ，
，
所以 ． （18分）
21．（1）在平面 内延长 ， 相交于点P，则 平面 ，又 平面 ，
则有平面 平面 ， ，即A，G，P三点共线．
因为E为 的中点，F为 的中点，所以 ，所以 ，又因为 ，所
以 ， （3分）
所以 ，即点G为棱 上靠近点 的三等分点 （4分） ．
学科网（北京）股份有限公司（2）在平面 内延长 ， 相交于点Q，连接 ，则平面 平面 ，
在平面 内作 于点M，则 平面ABC，
又 平面 ，所以 ，
在平面 内作 于点N，连接 ，
又 平面 ， ，所以 平面 ，
又 平面 ，所以 ，
所以 为截面 与底面 所成锐二面角的平面角．
在 中，作 于点H， ， ， ， ，
， ， （8分）
由余弦定理 ，则 ，
，可得 ，所以 ，
又 ，所以 ，
故截面 与底面 所成锐二面角的正切值为 . （10分）
学科网（北京）股份有限公司（3）设 ，则 ， ．
设 的面积为S，所以 ，
又因为 ，所以 ，且 ，
故 ，令 ，则 ， （12分）
设 ，
当 时， ，
， ， ，则 ，即 ，
所以 在 上单调递减，
所以 ， ，所以 ，
所以 ． （18分）
学科网（北京）股份有限公司
