高二数学答案_2024-2025高二（7-7月题库）_2024年12月试卷_1206广西河池市2024-2025学年高二上学期12月联盟考试_广西河池市2024-2025学年高二上学期12月联盟考试数学试题PDF版含解析

2024 年秋季学期高二年级校联体第二次联考
数学 参考答案
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的。
1．【答案】C
p
【详解】由焦半径公式得： MF  x  213.故选：C
0 2
2．【答案】C
|1-(-1)|
【详解】由题意得，l 与l 的距离d = = 2 .故选：C.
1 2 12 +12
3．【答案】B
 
【详解】由题意得椭圆焦点在x轴上且经过点 0,2 ，所以b2，c3，a2 b2 c2 13，
x2 y2
椭圆的标准方程为  1.故选：B.
13 4
4．【答案】A
【详解】 a  //b  ， 1  1  2 ，x2，y  4，x y  2.故选：A.
2 x y
5．【答案】A
【详解】由 x2  y1 2 1，可得圆心为 (0,1) ，因为直线 xay20 平分圆 C ：
x2  y1 2 1的周长，
所以直线过圆的圆心，则0a20，解得a2.故选：A.
6．【答案】D
x2 y2
【详解】已知抛物线y2 16x的准线为x4，所以双曲线  1  b0 的一个焦点为
4 b2
x2 y2
(4,0)，所以4b2  42，解得b2 12，所以双曲线  1的渐近线方程为y 3x.故选：
4 12
D.
7．【答案】B
【详解】底面ABCD为等腰梯形，AB//CD,ADDCBC2，AB 4，
如图，在底面ABCD中，过点D作DH  AB，垂足为H ，
  
以D为坐标原点，分别以DH,DC,DD 所在直线为x,y,z轴，建立空间直
1
角坐标系Dxyz.
则D(0,0,0),B( 3,3,0),B( 3,3,4),E( 3,1,2)，
1
  
DB ( 3,3,4),DE( 3,1,2)，DB( 3,3,0)，设平面EDB 的法向量
1 1
高二数学 答案 第1 页 共7页
为n(x,y,z)，
 
 nDB 0   3x3y4z0
则   1 ，所以 ，两式相减可得2yz 0，
nDE 0  3xy2z0
令y 3，解得z2 3,x5，
 
则平面EDB 的一个法向量为n(5, 3,2 3)，BB (0,0,4)
1 1
 
  BB n 4(2 3) 2 3 30
则BB 1 到平面EDB 1 的夹角正弦值sin cos BB 1 ,n   B  B 1 n   4 25312  2 10  10
1
70
cos 1sin2 ，故选：B.
10
8．【答案】B
【详解】由双曲线的对称性以及A，B是双曲线上关于原点对称的两点可知，A，B，O三点共
线，连接AF,AF ,BF,BF ， AB  2C  FF ，则四边形AFBF 为矩形，所以AF  BF ，
1 2 1 2 1 2 1 2 1 1
BF  AF ，
1 2
x2 y2
由双曲线C:  1可得a3，b 7，则
9 7
c a2 b2  97 4 ，
所以 AB  FF 2c8，所以 AF 2  BF 2  AB 2 64，
1 2 1 1
又 AF  BF  AF  AF 2a6，
1 1 1 2
所以 AF 2  BF 2 2 AF BF 36，解得 AF BF 14，
1 1 1 1 1 1
1
所以S  AF BF 7．故选：B．
ABF1 2 1 1
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要
求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．【答案】ABD
【详解】对于A，当a1时，直线l ：x y10，故斜率k 1，则倾斜角为135°，A正确，
1
1
对于B，l l 等价于a1a0，解得a ，故B正确，
1 2 2
对于C，若l ∥l ，aa110且aa1，故a 1 5 ，故C错误，
1 2
2
对于D，l ：xay10令y0且x10，解得x1,y0，故恒过1,0，D正确，故选：
1
ABD．
10．【答案】BC
【详解】A选项：M 在AC 上且AC //AC，
1 1 1 1
M 到AC 的距离等于AC 到AC 的距离，则为定值1，
1 1
高二数学 答案 第2 页 共7页1 2
S  1 2  ，故A选项错误；
MAC 2 2
1 1
如图所示建系， ，B1,1,0，D0,0,0，B  1,1,1  ,M( , ,1)，
1 2 2
1,0,0
 1 1 
  1 1    A  M     2 , 2 ,1   6 6 6
B选项：AM    , ,1，与 AM 同向的单位向量为      , ,   ，
 2 2  AM 6  6 6 3 
4
故B选项正确；
  1 1  
C选项：AB0,1,0，DM ( , ,1)，AD1,0,0，DB 1,1,1
2 2 1
1
 
  ABDM 2 6
cos AB,DM      ，故C选项正确；
AB DM 6 6
1
4
D选项：设 ，
   
则DB n

1n  =1 11,  1,1− 11 1 0，ADn 110101 0，
1
即  D  B  不垂直n  ，  A  D  不垂直n  ， 1,1,1 不是面ABD的一个法向量，故D选项错误；故选：
1 1
BC．
11．【答案】AD
x2 y2
【详解】对于A中，由椭圆C:  1，可得a5,b3,c4，
25 9
c 4
且1tanFCO   3，可得45FCO60，所以90FPF 120，故在第一象
1 b 3 1 1 2
限有点M，使得FMF 90，根据对称性四个象限各有一个，一共4个，所以A正确；
1 2
对于B中，设 ，则
x2

y2
1，且A5,0,B5,0，可得x225
25
y2，
25 9 9
y  ,  y y2 y2 9
则k
MA
k
MB

x5

x5

x2 25

25

25
为定值，所以B错误.
 y2
9
对于C中，由椭圆的定义，可得 MF  MF 10，
1 2
则
1  1  1   1  1    MF  MF  1  2 MF 2  MF 1  
MF 1 MF 2 10   MF 1 MF 2   1 2 10   MF 1 MF 2  
 
1 MF MF 4 2
 22 2  1   ，
10 MF MF  10 5
 1 2 
高二数学 答案 第3 页 共7页MF MF
当且仅当 2  1 时，即 MF  MF 5时等号成立，所以C错误.
MF MF 2 1
1 2
对于D中，由点N在椭圆外，设直线NF,NF 与椭圆相交于N ,N ，
1 2 1 2
如图所示，则 MN  MF   N F  N N  NF   44 2 42 4 5，
1 min 1 1 1 1
因为 NF 4，且 MN  MF 2a MN  NF 10 MN  NF ，
2 1 2 2
可得 MN  MF  NF ，即 MN  MF  4，
2 2 2
所以  MN  MF  10 N N  N F 10 NF 14 ，所以 MN  MF 4 5,14，
1 max 2 2 2 2 1  
所以D正确.选：AD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．【答案】1
【详解】由题意知，斜率为tan451，则直线方程为y2x1，令即x0，y1，
直线l的纵截距为1.故答案为：1.
5 2
13．【答案】
2
【详解】由已知圆得标准方程为(x1)2(y3)2 r2(r0)的圆心为(1,3)，半径为r，依题意，
|1(3)1| 5 2 5 2
r   .故答案为： .
12(1)2 2 2
2 3
14．【答案】2或
3
m3m m3m 2 3 2 3
【详解】当m0，所以e 2.当m0，e  ，故答案为：2或 .
m 3m 3 3
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．
46 22
【详解】（1）设BC中点D的坐标为x ,y ，则x  1,y  0，-----------------2分
0 0 0 2 0 2
BC边的中线AD过点A  2,2  ,D 1,0 两点，
20
AD所在直线方程为 y0  x1  ，---------------------------------------------------------5分
2(1)
即2x3y20；--------------------------------------------------------------------------------------------6分
高二数学 答案 第4 页 共7页2(2) 4 2
（2）BC的斜率k    ，------------------------------------------------------8分
64 10 5
5
BC的垂直平分线的斜率k  ，-----------------------------------------------------------------10分
2
5
BC的垂直平分线所在直线的方程为y0  x1 ，即5x2y50.-------------------13分
2
16．
【详解】（1）由题意得2a4，---------------------------------------------------------------------1分
c 3
 解得c  3,a 2，--------------------------------------------------------------------------3分
a 2
故b2 a2 c2 431，-------------------------------------------------------------------------4分
x2
故椭圆方程为  y2 1；-------------------------------------------------------------------------------5分
4
y x1

（2）由x2 得5x2 8x0，-------------------------------------------------------------------7分

 y2 1
 4
8
x x  ,x x 0-----------------------------------------------------------------------------------------8分
1 2 5 1 2
2
则弦长 AB   1k2 x x 24x x    11    8   8 2 --------------------------11分
 1 2 1 2 5 5
|0-0-1| 2
O到直线l ：y x1距离为：d = = ---------------------------------------13分
12 +(-1 )2 2
1 1 8 2 2 4
所以三角形AOB 面积：S  AB d     ---------------------------------15分
2 2 5 2 5
17．
【详解】(1)设AC与BD交点为O，连接OE，则OE//PA，所以OE 平面ABCD，
所以OC,OD,OE三条直线两两互相垂直，------------------------------------------------------------------1分
以 OC,OD,OE 所在的直线分别为 x ， y ， z 轴建立如图所示的空间直角坐标系 Oxyz ，
----------------------2分
由题意知OA1,OD2，
则 A(1,0,0),B(0,1,0),C(1,0,0),D(0,2,0),P(1,0,2)，E(0,0,1) ，
 
AD(1,2,0),AE (1,0,1)---------3分

设平面EAD的法向量为n  x ,y ,z ，
1 1 1
高二数学 答案 第5 页 共7页

 nAD x 2y 0 


 1 1 ，可取n(2,1,2).--------------------------------------------------------------6分
nAE  x z 0
1 1
 
 ACn 4 4
AC (2,0,0)，则点C到平面EAD的距离：d     ----------------------9分
n 414 3
   
(2)PD(1,2,2),AD(1,2,0),PB(1,1,2),BC(1,1,0)，

设平面PBC的法向量为m  x ,y ,z ，
2 2 2
 
 nPB x y 2z 0 
则   2 2 2 ，可取n(1,1,1).---------------------------------------------------------12分
nBC x  y 0
2 2
 
  mn 1 3
所以cos m,n      ，
mn 3 9 9
3
所以平面PBC 与平面PAD夹角的余弦值为 ，---------------------------------------------14分
9
78
所以平面PBC 与平面PAD夹角的正弦值为 .------------------------------------------15分
9
18.
【详解】（1）圆C 化成标准方程为x12y22 4，圆心C 1,2，半径r 2，-------------1分
1 1 1
圆C 化成标准方程为x22 y2 9，圆心C 2,0，半径r 3，-------------------------------------2分
2 2 2
由 r r 1 CC  94  13r r 5，所以两圆相交，----------------------------------------4分
1 2 1 2 1 2
两圆方程作差得  x2 y22x4y1    x2 y24x5  6x4y60．-----------------------------5分
即 公 共 弦 所 在 直 线 的 方 程 为 3x2y30 ． 圆 C 的 圆 心 到 直 线 距 离 为 ：
1
3(1)223 4 13
d   ----------------------------------------------6分
94 13
2
4 13 12 13
公共弦长为：2 22   -----------------------------------8分
 
 13  13
（2）由题可知，设Ax ,y ,Bx ,y ，①当直线斜率不存在时，直线与交点在y轴上，显然不满足
1 1 2 2
题意。-----------------------------------------------------9分
②当直线斜率存在时，设直线l方程为：ykx1
将ykx1代入x2y22x4y10，得x2kx122x4kx110，
整理得，  1k2 x222kx20，22k2 8  1k2 0，----------------------------------11分
22k 2
由一元二次方程根与系数的关系得x x  ，x x  ，--------------------------------12分
1 2 1k2 1 2 1k2
高二数学 答案 第6 页 共7页k2 2k1
y y kx 1kx 1k2x x kx x 1 .-------------------------------------14分
1 2 1 2 1 2 1 2 k2 1
由OAOB 可得xx y y 0，----------------------------------------------------------------------------15分
1 2 1 2
k22k1
化简得 0，即k22k10，解得k 1 2或k1 2．-----------------------17分
k21
19．
【详解】（1）点F到圆E上点的最大距离为 ，---------------------------------------2分
p 1
即(  )12，--------------------------------  --  --- + --- 1 -----------------------------------------3分
2 2
得 p1，----------------------------------------------------------------------------------------------4分
故抛物线C的方程为 y2 2x.---------------------------------------------------------------------5分
（2）
由题意可知F (2,0)------------------------------------------------------------------6分
2
设MN 的方程为xmy2，--------------------------------------------------------7分
， ，
xmy2
联立  1 方,  程 1    2,  2 得y22my40，-----------------------------------------------------------8分
y2 2x
易得 0，所以y  y 2m，y y 4，-------------------------------------------------------10分
1 2 1 2
x my 2，x my 2，---------------------------------------------------------------------------11分
1 1 2 2
y y y y 2my y 4  y  y  8m8m
所以k k  1  2  1  2  1 2 1 2  0，
F 1 M F 1 N x 2 x 2 my 4 my 4  my 4  my 4  my 4my 4
1 2 1 2 1 2 1 2
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------15分
所以k k ，-------------------------------------------------------------------------------------------16分
FM FN
1 1
则直线FM 与直线FN 的倾斜角互补，所以F FM F FN .-------------------------------------17分
1 1 2 1 2 1
高二数学 答案 第7 页 共7页